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Las abejas construyen sus panales de un modo que ha sido fascinante desde siempre para la Humanidad.

Panales de abeja y el dodecaedro rómbico: honeycomb, bee cells | matematicasVisuales

El primer matemático del que tenemos noticia que se interesó por este tema fue Pappus de Alejandría (alrededor del año 320 de nuestra era). En sus 'Colecciones Matemáticas', Libro V, trata el problema de la isoperimetría, es decir, la comparación de áreas o volúmenes de figuras con el mismo perímetro o área. Es un tipo de problemas de optimización. Por ejemplo, buscamos formas geométricas que, con unas determinadas condiciones, contengan el mayor volumen con la misma superficie.

En el prefacio, Pappus consideró cómo las abejas construyen sus panales, con la forma hexagonal de las celdas, y escribió:

... antes de recolectar el nectar de las flores más bonitas que crecen en la tierra, hacen para él, para la recepción de la miel, los recipientes que llamamos panales (con sus celdas) todas iguales, semejantes y contiguas unas a otras, y de forma hexagonal. Y podemos inferir que esto lo han logrado en virtud de una cierta previsión geométrica. Deben pensar por fuerza que las figuras deben de ser continguas unas a otras, es decir, que tengan sus lados en común, de modo que ninguna materia extraña pueda entrar en los intersticios entre ellas y manchar la pureza de su producto. Sólo tres figuras geométricas satisfacen la condición, y me refiero solo a figuras regulares que sean equiláteras y equiángulas, porque las abejas no considerarían figuras que no fueran uniformes... Habiendo entonces tres figuras capaces por ellas mismas de llenar el espacio en torno al mismo punto [desde luego, se refiere al triángulo, cuadrado y hexágono], las abejas, debido a su sabiduaría instintiva, eligen para la construcción de su colmena la figura que tiene más ángulos porque ellas conciben que contendrá más miel que cualquiera de las otras dos.' (Podemos leer más sobre Pappus en la nota 16 del libro 'The Six Cornered Snowflake' o en 'A History of Greek Mathematics' [Dover, 1981] de Tomas Heath).

Panales de abeja y el dodecaedro rómbico: panales, celdas de abeja, estructura hexagonal | matematicasVisuales

En su precioso libro 'De Nive Sexangula' (escrito en Praga en 1611, y que podemos consultar en inglés: 'The Six Cornered Snowflake: a New Year's gif'), Kepler estudió la forma de los copos de nieve, de las semillas de la granada, de los guisantes y muchas cosas más. También está interesado en la forma de los panales, pero no solo en la estructura hexagonal sino también en el fondo de las celdas, lo que él llama la 'quilla'.

Panales de abeja y el dodecaedro rómbico: panales, celdas de abeja, el fondo o quilla, forma rómbica | matematicasVisuales

Kepler escribió:

'Si preguntas a los geómetras que plan siguen las abejas para construir sus celdas, contestarán que siguen un plan hexagonal. La respuesta está clara si miramos las aberturas o entradas y los lados que forman las celdas. Cada celda está rodeada de otras seis, y está separada de las contiguas por un lado común. Pero si observamos el fondo de cada celda nos daremos cuenta de que inclina en un ángulo obtuso formado por tres planos. Este fondo (que podemos llamar la 'quilla') se une a los seis lados de la celda por otros seis ángulos, tres altos que son trilaterales, igual que el ángulo en el fondo de la quilla, y otros tres más bajos, en medio, que son cuadriláteros. También se puede observar que las celdas están alineadas en dos capas, con las aperturas orientadas en direcciones opuestas; las bases están unidas y empaquetadas; y los vértices de cada quilla en una capa encajan en los tres vértices de las tres quillas de la otra... Los tres planos de una quilla son todos idénticos y su forma es la que los geómetras llaman rombo'. (Johannes Kepler, 'De Nive Sexangula').

Panales de abeja y el dodecaedro rómbico, celda hexagonal de un panal, el fondo o quilla está formado por tres rombos | matematicasVisuales

D'Arcy Thompson también dedica especial atención a los panales de las abejas en su famoso libro 'Sobre el crecimiento y la forma'. El capítulo 'Las celdillas de las abejas' comienza así:

'La más famosa de todas las configuraciones hexagonales, y una de las más hermosas, es la celdilla de las abejas. Como en el basalto o coral, tenemos que tratar con un conjunto de cilindros iguales entre sí, de sección circular, comprimidos en prismas hexagonales regulares; pero en este caso, tenemos dos capas de esos cilindros o prismas, uno mirando en una dirección y el otro en la otra, y surge un nuevo problema en conexión con sus extremos internos. Podemos suponer que los cilindros originales tiene extremos esféricos, lo que constituye su forma normal y simétrica de terminación; así pues, para un empaquetamiento más compacto, es obvio que el extremo de cualquier cilindro de una capa tocará, y encajará entre, los extremos de tres cilindros de la otra. Es exactamente igual a cuando apilamos balas de cañón en un montón; empezamos con tres, una cuarta encaja entre las otras tres, y la cuarta forma una "tétrada", o disposición tetragonal regular.

'Por tanto, igual de obvio como era que, mediante presión mutua de los lados de seis células adyacentes, una celula cualquiera sería estrujada en un prisma hexagonal, también lo es que, mediante presión mutua contra los extremos de tres vecinas opuestas, el extremo de todas las celulas se comprimirá en una pirámide triédrica.' (Traducción de Ana María Rubio Díez y Mario X. Ruiz-González)

Panales de abeja y el dodecaedro rómbico, celda hexagonal de un panal, el fondo o quilla está formado por tres rombos | matematicasVisuales

Esta construcción con rombos está relacionada con un poliedro que llamamos dodecaedro rómbico. Kepler fue el primer matemático que escribó sobre este poliedro.

En los meses siguientes vamos a estudiar más propiedades de los panales y del dodecaedro rómbico.

Podemos construir una preciosa caja inspirada en los panales. Puedes descargar la plantilla, imprimirla en cartulina y construir este modelo. El diseñador de esta caja fue John Edminster y puedes encontrar más referencias sobre él en Beach Packaging Design.

Panales de abeja y el dodecaedro rómbico, construcción de caja diseñada por John Edminster | matematicasVisuales
Panales de abeja y el dodecaedro rómbico, construcción de caja diseñada por John Edminster | matematicasVisuales
Panales de abeja y el dodecaedro rómbico, construcción de caja diseñada por John Edminster | matematicasVisuales

Las siguientes fotos las tomé en Tartanedo, una pueblo de Guadalajara (España), con mi amigo el ceramista Luis Larriba:





En la siguiente versión de la aplicación podemos aumentar el número de celdillas o sólo representar una de ellas.

REFERENCIAS

Johannes Kepler - 'De Nive Sexangula' (Tenemos una versión bilingüe en latin e inglés en 'The Six Cornered Snowflake: a New Year's gif' - Paul Dry Books, Philadelphia, Pennsylvania, 2010. Con notas y comentarios muy interesantes de Owen Gingerich y Guillermo Bleichmar. Las ilustraciones las realizó la matemática española Capi Corrales Rodrigáñez.
D'Arcy Thompson - On Growth And Form - Cambridge University Press, 1942. Traducción española de Ana María Rubio Díez y Mario X. Ruiz-González publicada por Cambridge University Press.
Hugo Steinhaus - Mathematical Snapshots - Oxford University Press - Third Edition. Una traducción española fue hecha por Luis Bou García y fue publicada por la Editorial Salvat con el título 'Instantáneas Matemáticas' en 1986.
Magnus Wenninger - 'Polyhedron Models', Cambridge University Press.
Peter R. Cromwell - 'Polyhedra', Cambridge University Press, 1999.
H.Martin Cundy and A.P. Rollet, 'Mathematical Models', Oxford University Press, Second Edition, 1961.
W.W. Rouse Ball and H.S.M. Coxeter - 'Matematical Recreations & Essays', The MacMillan Company, 1947.

MÁS ENLACES

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Si plegamos los seis tejadillos del dodecaedro dentro de un cubo queda un espacio vacío en el interior. Este espacio es un dodecaedro no regular con todas sus caras pentagonales iguales. Este dodecaedro es un caso particular de piritoedro.