El octaedro tiene una estelación que es el octaedro estrellado.
Fue dibujado por Leonardo da Vinci para el libro de Luca Pacioli 'La divina proporción' en 1509.
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro estrellado (que Kepler llamó stella octangula).
Cien años después, Johannes Kepler lo llamó 'Stella octangula'.
Puede verse como el poliedro compuesto por dos tetraedros (un tetraedro y su dual, un segundo tetraedro).
Los ocho vértices son los vértices de un cubo.
Esta estelación está formada por un octaedro con tetraedros en cada cara.
Es fácil calcular el volumen del octaedro estrellado si conocemos el volumen de un octaedro
y el volumen de un tetraedro.
Entonces el volumen de un octaedro estrellado o stella octangula de lado a es:
Vamos a ver un poco más el concepto de dualidad de poliedros.
Los elementos principales de un poliedro son los vértices, las aristas y las caras. Por ejemplo, un tetraedro tiene
cuatro vértices, seis aristas y cuatro caras (elementos de dimensión 0, 1 y 2 respectivamente).
El dual (o recíproco) de un poliedro es un poliedro que tiene el mismo número de aristas que el original pero
que tiene cambiados el número de caras y vértices.(Wenninger)
Por ejemplo, el cubo y el octaedro son poliedros duales. Un cubo tiene ocho vértices y seis caras y
un octaedro tiene ocho caras y seis vértices. Ambos tienen doce aristas.
En el caso del tetraedro, tiene cuatro vértices y cuatro caras. Por lo tanto, el dual de un tetraedro es otro tetraedro.
Decimos que el tetraedro es autodual.
A partir de un poliedro regular podemos construir el dual considerando el circuncentro de cada cara y conectando puntos
de caras adyacentes. Estas aristas son las aristas del poliedro dual.
¿Cuál es el tamaño relativo de estos dos tetraedros?
Otra manera interesante de construir el dual de un sólido platónico o arquimediano es modificar los tamaños de modo
que las respectivas aristas de un poliedro y su dual sean perpendiculares y se bisequen.
De este modo se forma un poliedro compuesto.
En el caso del tetraedro, el tetraedo y su dual o recíproco forma un compuesto de dos tetraedros que es la Stella octangula
de Kepler.
Como ya hemos visto, el sólido común a ambos tetraedros es un octaedro.
Estos dos tetraedros están contenidos en un cubo. Resulta que el cubo y el octaedro son poliedros duales.
Las aristas de la Stella octangula son las diagonales de las caras de un cubo y se cruzan dos a dos en los vértices del
octaedro. (Cundy, p. 129)
Podemos considerar que la Stella octangula tiene ocho caras que estan en los planos de las caras del octaedro.
Es decir, que la Stella octangula es estellación de un octaedro.
Detalle en una casa del Museo al Aire Libre de la Selva Negra (cerca de Gutach, Alemania)
REFERENCIAS
Hugo Steinhaus, Instantáneas matemáticas (pags. 187-192),Editorial Salvat (1986)
Magnus Wenninger - 'Polyhedron Models', Cambridge University Press.
Magnus Wenninger - 'Dual Models', Cambridge University Press.
Peter R. Cromwell - 'Polyhedra', Cambridge University Press, 1999.
H.Martin Cundy and A.P. Rollet, 'Mathematical Models', Oxford University Press, Second Edition, 1961.
W.W. Rouse Ball and H.S.M. Coxeter - 'Matematical Recreations & Essays', The MacMillan Company, 1947.
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Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro estrellado (que Kepler llamó stella octangula).
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