matematicas visuales home | visual math home

El octaedro tiene una estelación que es el octaedro estrellado. Fue dibujado por Leonardo da Vinci para el libro de Luca Pacioli 'La divina proporción' en 1509.

Leonardo da Vinci: Dibujo del octaedro estrellado (Stella Octangula)  para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro estrellado (que Kepler llamó stella octangula).

Cien años después, Johannes Kepler lo llamó 'Stella octangula'.

Puede verse como el poliedro compuesto por dos tetraedros (un tetraedro y su dual, un segundo tetraedro). Los ocho vértices son los vértices de un cubo.

Esta estelación está formada por un octaedro con tetraedros en cada cara.

Es fácil calcular el volumen del octaedro estrellado si conocemos el volumen de un octaedro y el volumen de un tetraedro.

El octaedro estrellado (Stella octangula): es un octaedro con ocho pirámdes en cada cara | matematicasvisuales
El octaedro estrellado o stella octangula | matematicasvisuales

Entonces el volumen de un octaedro estrellado o stella octangula de lado a es:

Vamos a ver un poco más el concepto de dualidad de poliedros.

Los elementos principales de un poliedro son los vértices, las aristas y las caras. Por ejemplo, un tetraedro tiene cuatro vértices, seis aristas y cuatro caras (elementos de dimensión 0, 1 y 2 respectivamente).

El dual (o recíproco) de un poliedro es un poliedro que tiene el mismo número de aristas que el original pero que tiene cambiados el número de caras y vértices.(Wenninger)

Por ejemplo, el cubo y el octaedro son poliedros duales. Un cubo tiene ocho vértices y seis caras y un octaedro tiene ocho caras y seis vértices. Ambos tienen doce aristas.

En el caso del tetraedro, tiene cuatro vértices y cuatro caras. Por lo tanto, el dual de un tetraedro es otro tetraedro. Decimos que el tetraedro es autodual.

A partir de un poliedro regular podemos construir el dual considerando el circuncentro de cada cara y conectando puntos de caras adyacentes. Estas aristas son las aristas del poliedro dual.

Un tetraedro es el dual de otro tetraedro el tetraedro es un poliedro auto-dual | matematicasvisuales
Un tetraedro es el dual de otro tetraedro: el tetraedro es un poliedro auto-dual | matematicasvisuales

¿Cuál es el tamaño relativo de estos dos tetraedros?

Otra manera interesante de construir el dual de un sólido platónico o arquimediano es modificar los tamaños de modo que las respectivas aristas de un poliedro y su dual sean perpendiculares y se bisequen. De este modo se forma un poliedro compuesto.

En el caso del tetraedro, el tetraedo y su dual o recíproco forma un compuesto de dos tetraedros que es la Stella octangula de Kepler.

Como ya hemos visto, el sólido común a ambos tetraedros es un octaedro.

Estos dos tetraedros están contenidos en un cubo. Resulta que el cubo y el octaedro son poliedros duales.

Octaedro estrellado o Stella Octangula dentro de un cubo | matematicasvisuales

Las aristas de la Stella octangula son las diagonales de las caras de un cubo y se cruzan dos a dos en los vértices del octaedro. (Cundy, p. 129)

Podemos considerar que la Stella octangula tiene ocho caras que estan en los planos de las caras del octaedro. Es decir, que la Stella octangula es estellación de un octaedro.

Octaedro estrellado o Stella Octangula: Detalle en una casa del Museo al Aire Libre de la Selva Negra (cerca de Gutach, Alemania) | matematicasvisuales
Detalle en una casa del Museo al Aire Libre de la Selva Negra (cerca de Gutach, Alemania)

REFERENCIAS

Hugo Steinhaus, Instantáneas matemáticas (pags. 187-192),Editorial Salvat (1986)
Podemos leer algunas páginas de este libro en Google Books (en inglés): Mathematical Snapshots.
Magnus Wenninger - 'Polyhedron Models', Cambridge University Press.
Magnus Wenninger - 'Dual Models', Cambridge University Press.
Peter R. Cromwell - 'Polyhedra', Cambridge University Press, 1999.
H.Martin Cundy and A.P. Rollet, 'Mathematical Models', Oxford University Press, Second Edition, 1961.
W.W. Rouse Ball and H.S.M. Coxeter - 'Matematical Recreations & Essays', The MacMillan Company, 1947.

MÁS ENLACES

El volumen del octaedro
El volumen del octaedro es 4 veces el del tetraedro. El cálculo del volumen del octaedro es sencillo y así podemos obtener el volumen del tetraedro.
El volumen del cuboctaedro
El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices.
Cuboctaedro estrellado
El poliedro compuesto por un cubo y un octaedro es un cuboctaedro estrellado. O lo que es lo mismo, el cuboctaedro es el sólido común al cubo y al octaedro en este poliedro.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (1): Prismas y sus desarrollos planos
Estudiamos los prismas y vemos cómo se pueden desarrollar en un plano. Se explica el cálculo del área lateral de un prisma recto.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (2): Prismas cortados por un plano oblicuo
Prismas con base regular o irregular cortados por un plano no paralelo a la base y sus desarrollos planos.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (3): Cilindros
Los cilindros son superficies de revolución que pueden desarrollarse en un plano. Se explica cómo calcular la superficie lateral y total de un cilindro.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (4): Cilindros cortados por un plano oblicuo
La sección de un cilindro por un plano es una elipse. Estas figuras se llaman segmentos cilíndricos o cilindros truncados y pueden desarrollarse en el plano.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (5): Pirámides y troncos de pirámide
Desarrollos planos de pirámides y de troncos de pirámide de base regular con diferentes números de lados.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (6): Pirámides truncadas por un plano oblicuo
Desarrollos planos de pirámides truncadas por un plano oblicuo.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (7): Conos y troncos de conos
Desarrollos planos de conos y troncos de cono. Cálculo del área lateral de estas figuras.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (8): Conos truncados por un plano oblicuo
Desarrollos planos de conos truncados por un plano oblicuo. La sección es una elipse.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos: Dodecaedro regular
El primer dibujo del desarrollo plano del dodecaedro regular fue publicado por Durero en su libro 'Underweysung der Messung' ('Los cuatro libros de la medida'), el año 1525.
El icosaedro y su volumen
Los veinte vértices de un icosaedro están en tres rectángulos áureos. A partir de esta propiedad podemos calcular el volumen del icosaedro.
El dodecaedro regular
Algunas propiedades de este sólido platónico y su relación con la razón áurea. Construcción de dodecaedros (y otros poliedros relacionados) usando diferentes técnicas.
El volumen del octaedro truncado
El octaedro truncado es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un octaedro truncando sus vértices. Su volumen se puede calcular a partir del volumen del octaedro.
Sección hexagonal de un cubo
Podemos cortar un cubo por la mitad con un plano de modo que la sección sea un hexágono regular. Ocho de estos medios cubos forman un octaedro truncado.
El octaedro truncado formado por medios cubos
Con medios cubos podemos formar el octaedro truncado. El cubo tesela el espacio y también el octaedro truncado. También calculamos su volumen.
El octaedro truncado tesela el espacio
El octaedro truncado es un poliedro que tiene la propiedad de teselar el espacio: con poliedros congruentes podemos rellenar el espacio sin dejar huecos.
El volumen del octaedro truncado
El octaedro truncado es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un octaedro truncando sus vértices. Su volumen se puede calcular a partir del volumen del octaedro.
Cubo achaflanado
Achaflanando un cubo, truncando sus aristas, podemos obtener un poliedro semejante (pero no igual) al octaedro truncado. También podemos obtener un dodecaedro rómbico.
Leonardo da Vinci: Dibujo del octaedro truncado para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro truncado.
Leonardo da Vinci: Dibujo del cuboctaedro para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su cuboctaedro.
Leonardo da Vinci: Dibujo del dodecaedro para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su dodecaedro.
Leonardo da Vinci: Dibujo del octaedro estrellado (Stella Octangula)  para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro estrellado (que Kepler llamó stella octangula).
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Origami modular
El origami modular es una técnica preciosa que consiste en plegar varias unidades independientes que se unen sin pegamento para formar poliedros.
Recursos: Construcción de poliedros con cartulina y gomas elásticas
Si recortamos las caras sueltas de los poliedros podemos unirlas con gomas elásticas o pegamento y construir poliedros más complicados y con varios colores.
El tetraedro truncado
El tetraedro truncado es un sólido arquimediano que tiene 4 triángulos y 4 hexágonos.
Truncamientos del cubo y del octaedro
Truncando un cubo podemos obtener un cubo truncado y un cuboctaedro. Si truncamos un octaedro podemos conseguir un octaedro truncado y, también, un cuboctaedro.