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Truncar un poliedro significa cortar sus vértices (o sus aristas). En esta página cortaremos los vértices de algunos poliedros para obtener otros.

Si partimos de los sólidos platónicos (poliedros regulares) y truncamos los vértices de un modo simétrico obtenemos algunos de los sólidos arquimedianos (poliedros semirregulares).

Ya hemos estudiado el tetraedro truncado que es el único poliedro arquimediando que se obtiene al truncar el tetraedro.

El tetraedro truncado
El tetraedro truncado es un sólido arquimediano que tiene 4 triángulos y 4 hexágonos.

Vamos a investigar truncamientos del cubo y del octaedro. Ambos poliedros están relacionados pues son poliedros duales.

Empezamos con el cubo y cortamos los vértices de modo que obtenemos triángulos equiláteros. Las caras cuadradas del cubo son ahora octógonos (en principio, irregulares)

Truncando un cubo, solo un poco | matematicasvisuales

Podemos truncar los ocho vértices de modo que las caras cuadradas orignales sean octógonos regulares. El resultado se llama cubo truncado.

El cubo truncado (o hexahedro truncado) es un sólido arquimediando. Tiene 14 caras regulares (6 octógonos y 8 triángulos).

Truncando un cubo: cubo truncado | matematicasvisuales

Podemos construir un cubo truncado con mucha facilidad usando cartulina y gomas elásticas:

Truncando un cubo: cubo truncado | matematicasvisuales
Truncando un cubo: cubo truncado, Lámpara en el Palau Baró de Quadras, edificio modernista en Barcelona | matematicasvisuales
Cubo truncado que es una lámpara en el Palau Baró de Quadras, edificio modernista en Barcelona

Si truncamos el cubo con mayor profundidad obtenemos otro sólido arquimediano, el cuboctaedro. Tiene 6 cuadrados y 8 triángulos equiláteros.

El volumen del cuboctaedro
El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices.
Truncando un cubo: cuboctaedro | matematicasvisuales
Truncando un cubo: cuboctaedro hecho con cartulina | matematicasvisuales

También podemos obtener un cuboctaedro truncando un octaedro.

El volumen del cuboctaedro (II)
El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices. También se obtiene a partir de un octaedro truncando sus vértices

Otro truncamiento del octaedro tiene el nombre de octaedro truncado. Obtenemos este poliedro cuando truncamos los vértices de un octaedro de modo que sus caras triángulares se transforman en hexágonos regulares. Puesto que cuatro caras se unen en los vértices de un octaedro, cuando truncamos esos vértices obtenemos cuadrados. El octaedro truncado tiene 6 cuadrados y 8 hexágonos. También es unos de los poliedros arquimedianos.

El volumen del octaedro truncado
El octaedro truncado es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un octaedro truncando sus vértices. Su volumen se puede calcular a partir del volumen del octaedro.
Truncando un octaedro: octaedro truncado | matematicasvisuales
El octaedro truncado tesela el espacio
El octaedro truncado es un poliedro que tiene la propiedad de teselar el espacio: con poliedros congruentes podemos rellenar el espacio sin dejar huecos.
El octaedro truncado es un sólido arquimediano que tesela el espacio 4| Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales
Truncando un octaedro, sólo un poco | matematicasvisuales
El volumen del octaedro
El volumen del octaedro es 4 veces el del tetraedro. El cálculo del volumen del octaedro es sencillo y así podemos obtener el volumen del tetraedro.
Truncamientos del cubo y del octahedro: truncated cube, truncated octahedron and cuboctahdron | matematicasvisuales
Truncamientos del cubo y del octahedro: octaedro truncado | matematicasvisuales
Truncamientos del cubo y del octahedro: cuboctaedro como truncamiento de un octaedro | matematicasvisuales
Truncamientos del cubo y del octahedro: cuboctaedro como truncamiento de un cubo | matematicasvisuales
Truncamientos del cubo y del octahedro: cubo truncado | matematicasvisuales

Obtenemos un cuboctaedro truncando un cubo o un octaedro. Podemos ver esta relación como una consecuencia de la dualidad entre el cubo y el octaedro.

El cubo y el octaedro son poliedros duales | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Así vio Kepler esta relación:

Cubo y octaedro son poliedros duales, así lo vio Kepler  | matematicasVisuales

El cubo y el octaedro, al ser poliedros duales, tienen el mismo número de aristas. Si pensamos en la figura formada por un cubo y un octaedro puestos de modo que sus aristas se bisecan ortogonalmente obtenemos una figura que es un compuesto de cubo y octaedro. A veces se dice que están en posición recíproca. La parte común de este compuesto es un cuboctaedro. De hecho la figura compuesta es la primera estelación del cuboctaedro. Los vértices de este cuboctaedro están en los puntos medios de los lados.

Cuboctaedro estrellado
El poliedro compuesto por un cubo y un octaedro es un cuboctaedro estrellado. O lo que es lo mismo, el cuboctaedro es el sólido común al cubo y al octaedro en este poliedro.
Cuboctaedro estrellado o compuesto de cubo y octaedro | matematicasvisuales
Cuboctaedro estrellado o compuesto de cubo y octaedro. La parte común es un cuboctaedro | matematicasvisuales

Si nos fijamos en los vértices de esta figura compuesta, el cuboctaedro estrellado, resulta que son los vértices de un poliedro llamado dodecaedro rómbico. Un poliedro con interesantes propiedades que es el dual del cuboctaedro. En los siguientes meses dedicaremos atención a este poliedro.

REFERENCIAS

W.W. Rouse Ball and H.S.M. Coxeter - 'Matematical Recreations & Essays', The MacMillan Company, 1947.
Magnus Wenninger - 'Polyhedron Models', Cambridge University Press.
Peter R. Cromwell - 'Polyhedra', Cambridge University Press, 1999.

MÁS ENLACES

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