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El tetraedro truncado es un sólido arquimediano que tiene cuatro triángulos equilátros y cuatro hexágonos regulares. Fue dibujado por Leonardo para el libro de Luca Pacioli 'De Divina Proportione' y estudiado por Kepler en 'Harmonices mundi'.

Leonardo da Vinci: Dibujo del tetraedro truncado para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su tetraedro truncado.
Tetraedro truncado:  Kepler | matematicasVisuales

Podemos leer El libro de Kepler 'Harmonices Mundi' en Posner Library Collection.

Tetraedro truncado:  | matematicasVisuales

Sabemos cómo calcular el volumen de un tetraedro. Para calcular el volumen de un tetraedro truncado la idea principal es:

Tetraedro truncado: volume | matematicasVisuales

Queremos calcular el volumen de un tetraedro truncado de lado 1. Empezamos considerando un tetraedro de lado 3.

Tetraedro truncado: volume | matematicasVisuales

Podemor recordar que el volumen de un tetraedro de lado a es:

El volumen del tetraedro de lado 3 es:

Tetraedro truncado: tetrahedron with side length 3 | matematicasVisuales

Además necesitamos el volumen del tetraedro de lado 1:

Tetraedro truncado:  | matematicasVisuales

Por lo tanto, el volumen del tetraedro truncado de lado 1 es:

Podemos controlar la profundidad del truncamiento:

Tetraedro truncado: controlando la profundidad del truncamiento | matematicasVisuales

Obtenemos un octaedro como un caso extremo:

Tetraedro truncado: octaedro que se obtiene como caso extremo al truncar un tetraedro | matematicasVisuales

Podemos jugar con la transparencia y obtener proyecciones muy bonitas:

Tetraedro truncado: transparencia y proyecciones | matematicasVisuales

Tetraedro truncado: transparencia y proyecciones | matematicasVisuales

Recursos: Construcción de poliedros con cartulina y gomas elásticas
Si recortamos las caras sueltas de los poliedros podemos unirlas con gomas elásticas o pegamento y construir poliedros más complicados y con varios colores.
Tetraedro truncado: modelo construido con cartulina y gomas | matematicasVisuales
Tetraedro truncado: modelo construido con cartulina y gomas | matematicasVisuales
Tetraedro truncado: modelo construido con cartulina y gomas | matematicasVisuales

Durero fue el primero en publicar el desarrollo plano de un tetraedro truncado:

Tetraedro truncado:  | matematicasVisuales
Tetraedro truncado: modelo construido con cartulina y caras pegadas | matematicasVisuales
Tetraedro truncado: modelo construido con cartulina y caras pegadas | matematicasVisuales
Tetraedro truncado: modelo construido con cartulina y caras pegadas | matematicasVisuales
Tetraedro truncado: modelo construido con cartulina y caras pegadas | matematicasVisuales

REFERENCIAS

W.W. Rouse Ball and H.S.M. Coxeter - 'Matematical Recreations & Essays', The MacMillan Company, 1947.
Magnus Wenninger - 'Polyhedron Models', Cambridge University Press.
Peter R. Cromwell - 'Polyhedra', Cambridge University Press, 1999.

MÁS ENLACES

Recursos: Construcción de poliedros con cartulina y gomas elásticas
Si recortamos las caras sueltas de los poliedros podemos unirlas con gomas elásticas o pegamento y construir poliedros más complicados y con varios colores.
Volumen del tetraedro
El volumen del tetraedro es un tercio del paralelepípedo que lo contiene.
El volumen del octaedro
El volumen del octaedro es 4 veces el del tetraedro. El cálculo del volumen del octaedro es sencillo y así podemos obtener el volumen del tetraedro.
El dodecaedro regular
Algunas propiedades de este sólido platónico y su relación con la razón áurea. Construcción de dodecaedros (y otros poliedros relacionados) usando diferentes técnicas.
El volumen del octaedro truncado
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El volumen del cuboctaedro (II)
El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices. También se obtiene a partir de un octaedro truncando sus vértices
El icosaedro y su volumen
Los veinte vértices de un icosaedro están en tres rectángulos áureos. A partir de esta propiedad podemos calcular el volumen del icosaedro.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos: Dodecaedro regular
El primer dibujo del desarrollo plano del dodecaedro regular fue publicado por Durero en su libro 'Underweysung der Messung' ('Los cuatro libros de la medida'), el año 1525.
Cubo achaflanado
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Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro truncado.
Leonardo da Vinci: Dibujo del cuboctaedro para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su cuboctaedro.
Leonardo da Vinci: Dibujo del octaedro estrellado (Stella Octangula)  para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro estrellado (que Kepler llamó stella octangula).
Leonardo da Vinci: Dibujo del dodecaedro para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su dodecaedro.
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El octaedro truncado es un poliedro que tiene la propiedad de teselar el espacio: con poliedros congruentes podemos rellenar el espacio sin dejar huecos.
Cubo achaflanado
Achaflanando un cubo, truncando sus aristas, podemos obtener un poliedro semejante (pero no igual) al octaedro truncado. También podemos obtener un dodecaedro rómbico.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Origami modular
El origami modular es una técnica preciosa que consiste en plegar varias unidades independientes que se unen sin pegamento para formar poliedros.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Tensegrity
Tensegrity es la construcción de estructuras con tensores o elementos elásticos. Es un placer construir y tocar estos poliedros elásticos.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Tubos
Tubos de plástico o aluminio unidos son muy útiles para construir esqueletos de poliedros.
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Zome es un conjunto de piezas de plástico ideal para construir poliedros desmontables. De las infinitas posibilidades de Zome, aquí lo usamos para calcular el volumen del dodecaedro.