El cuboctaedro es un sólido arquimediano. Sus caras son cuadrados y triángulos equiláteros. Obtenemos un cuboctaedro partiendo de un
cubo y truncando sus vértices (por la mitad de cada arista). También se obtiene un cuboctaedro truncando un octaedro.
El cubo y el octaedro son poliedros duales.
El cuboctaedro está formado por 6 cuadrados (uno por cada cara del cubo) y 8 triángulos equiláteros (uno por cada vértice del cubo).
Vamos a calcular el volumen del cuboctaedro de lado 1 a partir del volumen del cubo.
Si el cuboctaedro tiene arista 1, el cubo que lo contiene es:
El volumen de este cubo es:
El cuboctaedro se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices. Para calcular su volumen tenemos que restar del
volumen del cubo el volumen de las esquinas truncadas.
El volumen de cada una de las 8 esquinas es:
Ahora ya podemos calcular el volumen del cuboctaedro (lo que restamos al cubo, las 8 pirámides, pueden formar un octaedro de arista 1)
Entonces el volumen del cuboctaedro de arista a es:
Vamos a ver otra propiedad interesante del cuboctaedro. Si pensamos que este cubo está formado por ocho cubos más pequeños (que tienen en común el vértice en el centro del cubo grande)
podemos ver que la distancia desde el centro del cuboctaedro (su centro de gravedad) hasta cualquier vértice es la longitud de la arista
(pues es igual a la diagonal de una cara de un cubo de los pequeños).
Entonces un cuboctaedro está formado por seis medios octaedros y ocho tetraedros. Todas estas pirámides tienen un vértice en el centro de gravedad del cuboctaedro.
Así tenemos un tercer método para calcular el volumen del cuboctaedro.
El cuboctaedro es la única configuración espacial con esta propiedad, que la longitud de cada arista sea la misma distancia desde su
centro de gravedad a cada vértice.
Además, sus 24 aristas forman cuatro hexágonos cuyo centro es el centro de gravedad del cuboctaedro.
En este cuboctaedro de origami (papiroflexia), ¿puedes ver uno de los hexágonos en un plano paralelo a la base?
Hice este cuboctaedro (origami, papiroflexia) siguiendo las instrucciones del libro de Tomoko Fusè 'Unit Origami' (Japan Publications, Inc. 1990)
¿Puedes ver en este esqueleto del cuboctaedro los cuatro hexágonos?
Los vértices de este bonito modelo de origami modular, la Omega Star, son los vértices de un cuboctaedro:
Una propiedad intereante del cuboctaedro es que la distancia desde el centro del sólido a cada vértices es igual a la longitud de los lados:
Un cuboctaedro en una pared en Rothenburg ob der Tauber (Alemania, 2013)
Un cuboctaedro en una puerta de la Schottenkirche St. Jakob (Iglesia de Santiago) en Regensburg (Alemania, RCR 2014)
Cuboctaedros en la Schöner Brunnen (La Fuente Bonita) en Nuremberg (Alemania, 2014).
En la Schöner Brunnen (La Fuente Bonita) en Nuremberg podemos ver representaciones de varios científicos de la Antigüedad:
Schöner Brunnen (La Fuente Bonita) en Nuremberg (Alemania, 2014, RCR)
Pitágoras en Schöner Brunnen (La Fuente Bonita) en Nuremberg (Alemania, 2014, RCR)
Euclides en Schöner Brunnen (La Fuente Bonita) en Nuremberg (Alemania, 2014, RCR)
Ptolomeo en Schöner Brunnen (La Fuente Bonita) en Nuremberg (Alemania, 2014, RCR)
En El Escorial (cerca de Madrid) hay una serie de paneles, pienso que no del todo bien conocidos y muy interesantes. En ellos
hay varios poliedros (cuboctaedro, icosidodecaedro y más). Estos paneles están hechos en marquetería (taracea, "intarsia").
Cromwell hace referncia a estos trabajos:
"Hay también algunos ejemplos de poliedros en el palacio real de El Escorial en las afueras de Madrid. El palacio fue erigido por
Felipe II (1527-1598), de quien se dice que destacó en Matemáticas cuando estudiaba siendo príncipe. Las puertas de la sala del
trono fueron un regalo de su suegro, Maximiliano II. Fueron realizados por un artesano alemán. Estos paneles de marquetería
contienen algunos elementos típicos (laúdes, libros) y algunos poliedros".
(Cromwell, p. 117)
REFERENCIAS
Hugo Steinhaus, Instantáneas matemáticas (pags. 187-192),Editorial Salvat (1986)
Magnus Wenninger - 'Polyhedron Models', Cambridge University Press.
Peter R. Cromwell - 'Polyhedra', Cambridge University Press, 1999.
H.Martin Cundy and A.P. Rollet, 'Mathematical Models', Oxford University Press, Second Edition, 1961.
W.W. Rouse Ball and H.S.M. Coxeter - 'Matematical Recreations & Essays', The MacMillan Company, 1947.
Mª Paz Aguiló, La ebanistería alemana en el Monasterio de El Escorial.
MÁS ENLACES
El poliedro compuesto por un cubo y un octaedro es un cuboctaedro estrellado. O lo que es lo mismo, el cuboctaedro es el sólido común al cubo y al octaedro en este poliedro.
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El primer dibujo del desarrollo plano del dodecaedro regular fue publicado por Durero en su libro 'Underweysung der Messung' ('Los cuatro libros de la medida'), el año 1525.
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Algunas propiedades de este sólido platónico y su relación con la razón áurea. Construcción de dodecaedros (y otros poliedros relacionados) usando diferentes técnicas.
El octaedro truncado es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un octaedro truncando sus vértices. Su volumen se puede calcular a partir del volumen del octaedro.
Podemos cortar un cubo por la mitad con un plano de modo que la sección sea un hexágono regular. Ocho de estos medios cubos forman un octaedro truncado.
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El octaedro truncado es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un octaedro truncando sus vértices. Su volumen se puede calcular a partir del volumen del octaedro.
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro truncado.
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su cuboctaedro.
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su dodecaedro.
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro estrellado (que Kepler llamó stella octangula).
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Achaflanando un cubo, truncando sus aristas, podemos obtener un poliedro semejante (pero no igual) al octaedro truncado. También podemos obtener un dodecaedro rómbico.
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