matematicas visuales home | visual math home

El cuboctaedro es un sólido arquimediano. Sus caras son cuadrados y triángulos equiláteros. Obtenemos un cuboctaedro partiendo de un cubo y truncando sus vértices (por la mitad de cada arista). También se obtiene un cuboctaedro truncando un octaedro. El cubo y el octaedro son poliedros duales.

El cuboctaedro está formado por 6 cuadrados (uno por cada cara del cubo) y 8 triángulos equiláteros (uno por cada vértice del cubo).

Vamos a calcular el volumen del cuboctaedro de lado 1 a partir del volumen del cubo.

Si el cuboctaedro tiene arista 1, el cubo que lo contiene es:

Volumen del cuboctaedro: Cuboctaedro en un cubo| matematicasvisuales
Dibujo de Leonardo da Vinci del dodecaedro (duodecedron solidus) para el libro 'La divina proporción' de Luca Pacioli. (Imagen usada con permiso de MathDl Convergence Loci. Haz click sobre la imagen para ver más reproducciones de calidad)

El volumen de este cubo es:

El cuboctaedro se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices. Para calcular su volumen tenemos que restar del volumen del cubo el volumen de las esquinas truncadas.

El volumen de cada una de las 8 esquinas es:

Volumen del cuboctaedro: el volumen de cada esquina que truncamos| matematicasvisuales

Ahora ya podemos calcular el volumen del cuboctaedro (lo que restamos al cubo, las 8 pirámides, pueden formar un octaedro de arista 1)

Volumen del cuboctaedro: Se obtiene restando del volumen del cubo el volumen de un octaedro de arista 1| matematicasvisuales
Volumen del cuboctaedro: Cuboctaedro | matematicasvisuales

Entonces el volumen del cuboctaedro de arista a es:

Vamos a ver otra propiedad interesante del cuboctaedro. Si pensamos que este cubo está formado por ocho cubos más pequeños (que tienen en común el vértice en el centro del cubo grande) podemos ver que la distancia desde el centro del cuboctaedro (su centro de gravedad) hasta cualquier vértice es la longitud de la arista (pues es igual a la diagonal de una cara de un cubo de los pequeños).

Volumen del cuboctaedro: Cuboctaedro en un cubo para ver que la distancia de cada vértice al centro es la misma que la longitud de cada arista| matematicasvisuales

Entonces un cuboctaedro está formado por seis medios octaedros y ocho tetraedros. Todas estas pirámides tienen un vértice en el centro de gravedad del cuboctaedro. Así tenemos un tercer método para calcular el volumen del cuboctaedro.

El cuboctaedro es la única configuración espacial con esta propiedad, que la longitud de cada arista sea la misma distancia desde su centro de gravedad a cada vértice.

Además, sus 24 aristas forman cuatro hexágonos cuyo centro es el centro de gravedad del cuboctaedro.

En este cuboctaedro de origami (papiroflexia), ¿puedes ver uno de los hexágonos en un plano paralelo a la base?

Volumen del cuboctaedro: Cuboctaedro origami siguiendo instrucciones de Tomoko Fusè 'Unit Origami', un hexágono| matematicasvisuales
Volumen del cuboctaedro: Cuboctaedro origami siguiendo instrucciones de Tomoko Fusè 'Unit Origami'| matematicasvisuales
Hice este cuboctaedro (origami, papiroflexia) siguiendo las instrucciones del libro de Tomoko Fusè 'Unit Origami' (Japan Publications, Inc. 1990)

¿Puedes ver en este esqueleto del cuboctaedro los cuatro hexágonos?

Volumen del cuboctaedro: Esqueleto de cuboctaedro para ver los cuatro hexágonos| matematicasvisuales
Volumen del cuboctaedro: Otro esqueleto de cuboctaedro para ver los cuatro hexágonos| matematicasvisuales

Los vértices de este bonito modelo de origami modular, la Omega Star, son los vértices de un cuboctaedro:

Cuboctaedro: Omega Star, origami modular, los vértices de la Omega Star son vértices de un cuboctaedro | matematicasvisuales

Una propiedad intereante del cuboctaedro es que la distancia desde el centro del sólido a cada vértices es igual a la longitud de los lados:

Cuboctaedro: construcción de un cuboctaedro con Zome | matematicasvisuales
Cuboctaedro: la distancia del centro a cada vértices es la longitud de los lados, con Zome | matematicasvisuales
Cuboctaedro: la distancia del centro a cada vértices es la longitud de los lados, con tubos de aluminio | matematicasvisuales

Cuboctaedro: un cuboctaedro en Rothenburg ob der Tauber (Alemania) | matematicasvisuales
Un cuboctaedro en una pared en Rothenburg ob der Tauber (Alemania, 2013)
Un cuboctaedro en una puerta de la Schottenkirche St. Jakob (Iglesia de Santiago) en Regensburg (Alemania, 2014) | matematicasvisuales
Un cuboctaedro en una puerta de la Schottenkirche St. Jakob (Iglesia de Santiago) en Regensburg (Alemania, RCR 2014)

Cuboctaedros en la Schöner Brunnen (La Fuente Bonita) en Nuremberg (Alemania, 2014).

En la Schöner Brunnen (La Fuente Bonita) en Nuremberg podemos ver representaciones de varios científicos de la Antigüedad:

Cuboctaedro: Schöner Brunnen (La Fuente Bonita) en Nuremberg (Alemania, 2014) | matematicasvisuales
Schöner Brunnen (La Fuente Bonita) en Nuremberg (Alemania, 2014, RCR)
Cuboctaedro: Pitágoras in Schöner Brunnen (La Fuente Bonita) en Nuremberg (Alemania, 2014) | matematicasvisuales
Pitágoras en Schöner Brunnen (La Fuente Bonita) en Nuremberg (Alemania, 2014, RCR)
Cuboctaedro: Euclides in Schöner Brunnen (La Fuente Bonita) en Nuremberg (Alemania, 2014) | matematicasvisuales
Euclides en Schöner Brunnen (La Fuente Bonita) en Nuremberg (Alemania, 2014, RCR)
Cuboctaedro: Ptolemeo in Schöner Brunnen (La Fuente Bonita) en Nuremberg (Alemania, 2014) | matematicasvisuales
Ptolomeo en Schöner Brunnen (La Fuente Bonita) en Nuremberg (Alemania, 2014, RCR)

En El Escorial (cerca de Madrid) hay una serie de paneles, pienso que no del todo bien conocidos y muy interesantes. En ellos hay varios poliedros (cuboctaedro, icosidodecaedro y más). Estos paneles están hechos en marquetería (taracea, "intarsia"). Cromwell hace referncia a estos trabajos: "Hay también algunos ejemplos de poliedros en el palacio real de El Escorial en las afueras de Madrid. El palacio fue erigido por Felipe II (1527-1598), de quien se dice que destacó en Matemáticas cuando estudiaba siendo príncipe. Las puertas de la sala del trono fueron un regalo de su suegro, Maximiliano II. Fueron realizados por un artesano alemán. Estos paneles de marquetería contienen algunos elementos típicos (laúdes, libros) y algunos poliedros". (Cromwell, p. 117)

El Escorial: marquetería con varios poliedros | matematicasvisuales
El Escorial: marquetería con varios poliedros | matematicasvisuales
El Escorial: marquetería con varios poliedros: cuboctaedro | matematicasvisuales
El Escorial: marquetería con varios poliedros: cuboctaedro | matematicasvisuales

REFERENCIAS

Hugo Steinhaus, Instantáneas matemáticas (pags. 187-192),Editorial Salvat (1986)
Podemos leer algunas páginas de este libro en Google Books (en inglés): Mathematical Snapshots.
Magnus Wenninger - 'Polyhedron Models', Cambridge University Press.
Peter R. Cromwell - 'Polyhedra', Cambridge University Press, 1999.
H.Martin Cundy and A.P. Rollet, 'Mathematical Models', Oxford University Press, Second Edition, 1961.
W.W. Rouse Ball and H.S.M. Coxeter - 'Matematical Recreations & Essays', The MacMillan Company, 1947.
Mª Paz Aguiló, La ebanistería alemana en el Monasterio de El Escorial.

MÁS ENLACES

Cuboctaedro estrellado
El poliedro compuesto por un cubo y un octaedro es un cuboctaedro estrellado. O lo que es lo mismo, el cuboctaedro es el sólido común al cubo y al octaedro en este poliedro.
El volumen del octaedro estrellado (stella octangula)
El octaedro estrellado fue dibujado por Leonardo para el libro 'La divina proporción' de Luca Pacioli. Años más tarde, Kepler nombró este poliedro stella octangula.
Volumen del tetraedro
El volumen del tetraedro es un tercio del paralelepípedo que lo contiene.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (1): Prismas y sus desarrollos planos
Estudiamos los prismas y vemos cómo se pueden desarrollar en un plano. Se explica el cálculo del área lateral de un prisma recto.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (2): Prismas cortados por un plano oblicuo
Prismas con base regular o irregular cortados por un plano no paralelo a la base y sus desarrollos planos.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (3): Cilindros
Los cilindros son superficies de revolución que pueden desarrollarse en un plano. Se explica cómo calcular la superficie lateral y total de un cilindro.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (4): Cilindros cortados por un plano oblicuo
La sección de un cilindro por un plano es una elipse. Estas figuras se llaman segmentos cilíndricos o cilindros truncados y pueden desarrollarse en el plano.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (5): Pirámides y troncos de pirámide
Desarrollos planos de pirámides y de troncos de pirámide de base regular con diferentes números de lados.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (6): Pirámides truncadas por un plano oblicuo
Desarrollos planos de pirámides truncadas por un plano oblicuo.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (7): Conos y troncos de conos
Desarrollos planos de conos y troncos de cono. Cálculo del área lateral de estas figuras.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (8): Conos truncados por un plano oblicuo
Desarrollos planos de conos truncados por un plano oblicuo. La sección es una elipse.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos: Dodecaedro regular
El primer dibujo del desarrollo plano del dodecaedro regular fue publicado por Durero en su libro 'Underweysung der Messung' ('Los cuatro libros de la medida'), el año 1525.
El icosaedro y su volumen
Los veinte vértices de un icosaedro están en tres rectángulos áureos. A partir de esta propiedad podemos calcular el volumen del icosaedro.
El dodecaedro regular
Algunas propiedades de este sólido platónico y su relación con la razón áurea. Construcción de dodecaedros (y otros poliedros relacionados) usando diferentes técnicas.
El volumen del octaedro truncado
El octaedro truncado es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un octaedro truncando sus vértices. Su volumen se puede calcular a partir del volumen del octaedro.
Sección hexagonal de un cubo
Podemos cortar un cubo por la mitad con un plano de modo que la sección sea un hexágono regular. Ocho de estos medios cubos forman un octaedro truncado.
El octaedro truncado formado por medios cubos
Con medios cubos podemos formar el octaedro truncado. El cubo tesela el espacio y también el octaedro truncado. También calculamos su volumen.
El octaedro truncado tesela el espacio
El octaedro truncado es un poliedro que tiene la propiedad de teselar el espacio: con poliedros congruentes podemos rellenar el espacio sin dejar huecos.
El volumen del octaedro truncado
El octaedro truncado es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un octaedro truncando sus vértices. Su volumen se puede calcular a partir del volumen del octaedro.
Leonardo da Vinci: Dibujo del octaedro truncado para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro truncado.
Leonardo da Vinci: Dibujo del cuboctaedro para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su cuboctaedro.
Leonardo da Vinci: Dibujo del dodecaedro para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su dodecaedro.
Leonardo da Vinci: Dibujo del octaedro estrellado (Stella Octangula)  para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro estrellado (que Kepler llamó stella octangula).
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Origami modular
El origami modular es una técnica preciosa que consiste en plegar varias unidades independientes que se unen sin pegamento para formar poliedros.
El tetraedro truncado
El tetraedro truncado es un sólido arquimediano que tiene 4 triángulos y 4 hexágonos.
Truncamientos del cubo y del octaedro
Truncando un cubo podemos obtener un cubo truncado y un cuboctaedro. Si truncamos un octaedro podemos conseguir un octaedro truncado y, también, un cuboctaedro.
Cubo achaflanado
Achaflanando un cubo, truncando sus aristas, podemos obtener un poliedro semejante (pero no igual) al octaedro truncado. También podemos obtener un dodecaedro rómbico.