Construcción de poliedros. Técnicas sencillas
Poliedros cara a cara con gomas elásticas
Recortar cada cara de un poliedro por separado tiene las ventajas de que no tenemos que preocuparnos del desarrollo
plano del poliedro (que puede ser muy complicado) y que se pueden combinar colores.
Una técnica sencilla consiste en unir estas caras usando gomas elásticas. De un modo simple y barato podemos construir muchos poliedros desmontables.
Conocí esta técnica de construir poliedros hace más de treinta años, sin saber su origen. Ha sido Marco Ginoulhiac,
profesor de la Facultad de Arquitectura de la Universidad de Oporto (Portugal)
el que me ha hecho notar que este juego de construcción fue diseñado por uno de los más famosos arquitectos
de Seattle, Fred Bassetti. Bassetti patentó este
juego de construcción y lo produjo con el nombre de 'Flexagons'.
Podemos leer la patente original.
Marco Ginoulhiac mantiene el blog Architectural Toys.
Una variante de esta idea fue el Material PLOT. Este material tenía las piezas ya troqueladas y se ha utilizado en Francia y España
desde los años ochenta del siglo pasado, por lo menos. El nombre PLOT proviene de las iniciales de las cuatro ciudades francesas que
participaron en un proyecto en el que se mostró PLOT (Poitiers, Limoges, Orleans y Tours).
Uno de los difusores de este material en España fue Florencio Villarroya Bullido (profesor jubilado, I.E.S. Miguel Catalán, Zaragoza).
Florencio realizó una preciosa sesión con este material en el
Taller de Talento Matemático de Zaragoza, el 20 de mayo de 2022.
En el artículo 'El empleo de materiales en la
enseñanza de la geometría', el profesor Florencio Villaroya desarrolló algunas ideas para usar este material.
Esta técnica se ha usado para contruir los poliedros de la exposición 'Los sólidos arquimedianos':
Exposición sobre los sólidos arquimedianos realizados por alumnos de 1ºESO del IES Alonso Quijano de Alcalá de Henares.
Las siguientes plantillas son una extensión de las propuestas por Bassetti.
Con ellas podemos construir todos los sólidos platónicos, los arquimedianos y muchos más:
Descargar, imprimir, cortar y construir.
Cuboctaedro
El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices. También se obtiene a partir de un octaedro truncando sus vértices
Tetraedro truncado
El tetraedro truncado es un sólido arquimediano que tiene 4 triángulos y 4 hexágonos.
Durero también publicó el desarrollo plano del tetraedro truncado:
Cubo truncado
Truncando un cubo podemos obtener un cubo truncado y un cuboctaedro. Si truncamos un octaedro podemos conseguir un octaedro truncado y, también, un cuboctaedro.
Necesitamos seis octógonos y ocho triángulos equiláteros:
Éste es el desarrollo plano del cubo truncado:
Cubo romo
En el libro de Durero 'Underweysung der Messung' el autor publicó los primeros dibujos de desarrollos planos de poliedros. Por ejemplo, este cubo romo:
El octaedro truncado tesela el espacio
Ya hemos visto propiedades interesantes del octaedro truncado, en particular, que es un poliedro arquimediano que tesela el espacio.
Es decir, que copias iguales de este poliedro rellenan el espacio sin dejar huecos.
Con medios cubos podemos formar el octaedro truncado. El cubo tesela el espacio y también el octaedro truncado. También calculamos su volumen.
El octaedro truncado es un poliedro que tiene la propiedad de teselar el espacio: con poliedros congruentes podemos rellenar el espacio sin dejar huecos.
Este poliedro era conocido por Leonardo da Vinci. Lo dibujó para el libro "La Divina Proporción" que escribió su amigo Luca Pacioli.
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro truncado.
Vamos a reproducir la siguiente teselación del espacio usando sólo los hexágonos.
Dodecaedro
El primer dibujo del desarrollo plano del dodecaedro regular fue publicado por Durero en su libro 'Underweysung der Messung' ('Los cuatro libros de la medida'), el año 1525.
Dodecaedro truncado
Icosaedro truncado
El icosaedro truncado es un poliedro arquimediano que se obtiene al cortar los 12 vértices de un icosaedro.
Los veinte vértices de un icosaedro están en tres rectángulos áureos. A partir de esta propiedad podemos calcular el volumen del icosaedro.
Es un poliedro muy interesante pues está relacionado con la estructura molecular del Carbono-60. También recibe el nombre de
Fullereno y está presente en muchos campos de fútbol pues éste es un poliedro que se usa para construir los balones de muchos deportes.
Sólo con los hexágonos podemos construir una cúpula:
Icosidodecaedro
Lámpara icosaedro
Los veinte vértices de un icosaedro están en tres rectángulos áureos. A partir de esta propiedad podemos calcular el volumen del icosaedro.
Esta lámpara es muy sencilla de construir y muy bonita:
Anexo: Lámpara danesa (IQlight):
Las piezas se esta lámpara se encajan entre sí y no necesitan pegamento.
Este modelo fue diseñado por el danés Holger Strom y se llama IQlight.
El poliedro en el que se basa es un triacontaedro rómbico.
REFERENCIAS
Fred Bassetti, famoso arquitecto de Seattle
que diseñó este juego de construcción de poliedros.
George Hart es una referencia para todos los aficionados a la construcción
de poliedros.
Hugo Steinhaus - Mathematical Snapshots - Oxford University Press - Third Edition. Una traducción española fue hecha por Luis Bou García y fue publicada por la Editorial
Salvat con el título 'Instantáneas Matemáticas' en 1986.
Magnus Wenninger - 'Polyhedron Models', Cambridge University Press.
Peter R. Cromwell - 'Polyhedra', Cambridge University Press, 1999.
H.Martin Cundy and A.P. Rollet, 'Mathematical Models', Oxford University Press, Second Edition, 1961.
W.W. Rouse Ball and H.S.M. Coxeter - 'Matematical Recreations & Essays', The MacMillan Company, 1947.
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Exposición sobre los sólidos arquimedianos realizados por alumnos de 1ºESO del IES Alonso Quijano de Alcalá de Henares.
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Podemos dibujar los desarrollos planos en cartulina y construir poliedros uniendo solapas con pegamento.
MÁS ENLACES
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