matematicas visuales home | visual math home
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas
Poliedros cara a cara con gomas elásticas

Recortar cada cara de un poliedro por separado tiene las ventajas de que no tenemos que preocuparnos del desarrollo plano del poliedro (que puede ser muy complicado) y que se pueden combinar colores.

Una técnica sencilla consiste en unir estas caras usando gomas elásticas. De un modo simple y barato podemos construir muchos poliedros desmontables.

Conocí esta técnica de construir poliedros hace más de treinta años, sin saber su origen. Ha sido Marco Ginoulhiac, profesor de la Facultad de Arquitectura de la Universidad de Oporto (Portugal) el que me ha hecho notar que este juego de construcción fue diseñado por uno de los más famosos arquitectos de Seattle, Fred Bassetti. Bassetti patentó este juego de construcción y lo produjo con el nombre de 'Flexagons'. Podemos leer la patente original.

Marco Ginoulhiac mantiene el blog Architectural Toys.

Las siguientes plantillas son una extensión de las propuestas por Bassetti. Con ellas podemos construir todos los sólidos platónicos, los arquimedianos y muchos más:

Construcción de poliedros con cartulina y gomas elásticas: Download, print, cut and build | matematicasVisuales
Construcción de poliedros con cartulina y gomas elásticas: Download, print, cut and build | matematicasVisuales
Construcción de poliedros con cartulina y gomas elásticas: Download, print, cut and build | matematicasVisuales
Construcción de poliedros con cartulina y gomas elásticas: Download, print, cut and build | matematicasVisuales
Construcción de poliedros con cartulina y gomas elásticas: Download, print, cut and build | matematicasVisuales
Construcción de poliedros con cartulina y gomas elásticas: Download, print, cut and build | matematicasVisuales
Construcción de poliedros con cartulina y gomas elásticas: Download, print, cut and build | matematicasVisuales
Construcción de poliedros con cartulina y gomas elásticas: Download, print, cut and build | matematicasVisuales
Descargar, imprimir, cortar y construir.
Cuboctaedro

El volumen del cuboctaedro (II)
El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices. También se obtiene a partir de un octaedro truncando sus vértices
Volume of a cuboctahedron: a cuboctahedron made with rubber bands and paper | matematicasvisuales
Volume of a cuboctahedron: a cuboctahedron and a octahedron made with rubber bands and paper | matematicasvisuales
Volume of a cuboctahedron: plane net of a cuboctahedron made with rubber bands and paper | matematicasvisuales
Tetraedro truncado
El tetraedro truncado
El tetraedro truncado es un sólido arquimediano que tiene 4 triángulos y 4 hexágonos.
Construcción de poliedros con cartulina y gomas elásticas: tetraedro truncado | matematicasVisuales
Construcción de poliedros con cartulina y gomas elásticas: tetraedro truncado | matematicasVisuales
Construcción de poliedros con cartulina y gomas elásticas: tetraedro truncado | matematicasVisuales

Durero también publicó el desarrollo plano del tetraedro truncado:

Truncated tetrahedron: desarrollo plano según Durero | matematicasVisuales
Cubo truncado
Truncamientos del cubo y del octaedro
Truncando un cubo podemos obtener un cubo truncado y un cuboctaedro. Si truncamos un octaedro podemos conseguir un octaedro truncado y, también, un cuboctaedro.

Necesitamos seis octógonos y ocho triángulos equiláteros:

Cubo truncado: Necesitamos seis octógonos y ocho triángulos equiláteros | matematicasVisuales

Éste es el desarrollo plano del cubo truncado:

Construcción de poliedros con cartulina y gomas elásticas: Cubo truncado, desarrollo plano | matematicasVisuales
Construcción de poliedros con cartulina y gomas elásticas: Cubo truncado | matematicasVisuales
Construcción de poliedros con cartulina y gomas elásticas: Cubo truncado | matematicasVisuales
Construcción de poliedros con cartulina y gomas elásticas: Cubo truncado, construcción con cartulina y gomas elásticas | matematicasVisuales
Cubo romo

En el libro de Durero 'Underweysung der Messung' el autor publicó los primeros dibujos de desarrollos planos de poliedros. Por ejemplo, este cubo romo:

Construcción de poliedros con cartulina y gomas elásticas: Durer's snub cube plane net | matematicasVisuales
Construcción de poliedros con cartulina y gomas elásticas: snub cube plane net | matematicasVisuales
Construcción de poliedros con cartulina y gomas elásticas: snub cube plane net | matematicasVisuales
Construcción de poliedros con cartulina y gomas elásticas: snub cube plane net | matematicasVisuales
El octaedro truncado tesela el espacio

Ya hemos visto propiedades interesantes del octaedro truncado, en particular, que es un poliedro arquimediano que tesela el espacio. Es decir, que copias iguales de este poliedro rellenan el espacio sin dejar huecos.

El octaedro truncado formado por medios cubos
Con medios cubos podemos formar el octaedro truncado. El cubo tesela el espacio y también el octaedro truncado. También calculamos su volumen.
El octaedro truncado tesela el espacio
El octaedro truncado es un poliedro que tiene la propiedad de teselar el espacio: con poliedros congruentes podemos rellenar el espacio sin dejar huecos.

Este poliedro era conocido por Leonardo da Vinci. Lo dibujó para el libro "La Divina Proporción" que escribió su amigo Luca Pacioli.

Leonardo da Vinci: Dibujo del octaedro truncado para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro truncado.
Construcción de poliedros con cartulina y gomas elásticas:  | matematicasVisuales
Construcción de poliedros con cartulina y gomas elásticas:  | matematicasVisuales

Vamos a reproducir la siguiente teselación del espacio usando sólo los hexágonos.

Construcción de poliedros con cartulina y gomas elásticas: octaedro truncado | matematicasVisuales
Construcción de poliedros con cartulina y gomas elásticas: octaedro truncado | matematicasVisuales
Construcción de poliedros con cartulina y gomas elásticas: octaedro truncado | matematicasVisuales
Construcción de poliedros con cartulina y gomas elásticas: octaedro truncado | matematicasVisuales
Construcción de poliedros con cartulina y gomas elásticas: octaedro truncado | matematicasVisuales
Construcción de poliedros con cartulina y gomas elásticas: octaedro truncado | matematicasVisuales
Dodecaedro
Desarrollos planos de cuerpos geométricos: Dodecaedro regular
El primer dibujo del desarrollo plano del dodecaedro regular fue publicado por Durero en su libro 'Underweysung der Messung' ('Los cuatro libros de la medida'), el año 1525.
Construcción de poliedros con cartulina y gomas elásticas: dodecaedro plane net| matematicasVisuales
Construcción de poliedros con cartulina y gomas elásticas: dodecaedro | matematicasVisuales
Dodecaedro truncado
Construcción de poliedros con cartulina y gomas elásticas: dodecaedro truncado | matematicasVisuales
Construcción de poliedros con cartulina y gomas elásticas: dodecaedro truncado | matematicasVisuales
Icosaedro truncado

El icosaedro truncado es un poliedro arquimediano que se obtiene al cortar los 12 vértices de un icosaedro.

El icosaedro y su volumen
Los veinte vértices de un icosaedro están en tres rectángulos áureos. A partir de esta propiedad podemos calcular el volumen del icosaedro.

Es un poliedro muy interesante pues está relacionado con la estructura molecular del Carbono-60. También recibe el nombre de Fullereno y está presente en muchos campos de fútbol pues éste es un poliedro que se usa para construir los balones de muchos deportes.

Construcción de poliedros con cartulina y gomas elásticas: icosaedro truncado| matematicasVisuales

Sólo con los hexágonos podemos construir una cúpula:

Construcción de poliedros con cartulina y gomas elásticas: icosaedro truncado| matematicasVisuales
Icosidodecaedro
Construcción de poliedros con cartulina y gomas elásticas: Icosidodecaedro | matematicasVisuales
Lámpara icosaedro
El icosaedro y su volumen
Los veinte vértices de un icosaedro están en tres rectángulos áureos. A partir de esta propiedad podemos calcular el volumen del icosaedro.

Esta lámpara es muy sencilla de construir y muy bonita:

Construcción poliedros| Lámpara icosaedro con gomas  | matematicasVisuales
Construcción poliedros| Lámpara icosaedro con gomas: descargar plantilla | matematicasVisuales

Anexo: Lámpara danesa (IQlight):

Las piezas se esta lámpara se encajan entre sí y no necesitan pegamento.

Construcción poliedros| lámpara IQLight | matematicasVisuales

Este modelo fue diseñado por el danés Holger Strom y se llama IQlight. El poliedro en el que se basa es un triacontaedro rómbico.

REFERENCIAS

Fred Bassetti, famoso arquitecto de Seattle que diseñó este juego de construcción de poliedros.
Patente original de Bassetti. El juego fue comercializado con el nombre de 'Flexagons'.
Magnus Wenninger - 'Polyhedron Models', Cambridge University Press.
Carlos A. Furuti: Desarrollos de poliedros con mapas del mundo. Muchos desarrollos con proyecciones cartograficas. Una combinación muy buena.
Gijs Korthals Altes: Modelos de poliedros en cartulina para descargar, recortar y pegar.
Hugo Steinhaus - Mathematical Snapshots - Oxford University Press - Third Edition (p. 197)
Peter R. Cromwell - 'Polyhedra', Cambridge University Press, 1999.
H.Martin Cundy and A.P. Rollet, 'Mathematical Models', Oxford University Press, Second Edition, 1961 (p. 87).
W.W. Rouse Ball and H.S.M. Coxeter - 'Matematical Recreations & Essays', The MacMillan Company, 1947.

MÁS ENLACES

Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Discos de cartulina
Técnica simple para construir poliedros pegando discos de cartulina.
Acona Biconbi, diseño de Bruno Munari
El diseñador italiano Bruno Munari pensó 'Acona Biconbi' como un trabajo de escultura. También es un juego de construcción con el que podemos jugar con colores y formas.
Construcción de poliedros : El rectángulo áureo y el icosaedro
Con tres rectángulos áureos podemos construir un icosaedro.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Origami modular
El origami modular es una técnica preciosa que consiste en plegar varias unidades independientes que se unen sin pegamento para formar poliedros.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Tubos
Tubos de plástico o aluminio unidos son muy útiles para construir esqueletos de poliedros.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Tensegrity
Tensegrity es la construcción de estructuras con tensores o elementos elásticos. Es un placer construir y tocar estos poliedros elásticos.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Zome
Zome es un conjunto de piezas de plástico ideal para construir poliedros desmontables. De las infinitas posibilidades de Zome, aquí lo usamos para calcular el volumen del dodecaedro.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Taller de Talento Matemático de Zaragoza
Material para la sesión sobre construcción de poliedros que se realizó en Zaragoza el 13 de Abril de 2012. El objetivo es disfrutar haciendo poliedros y obtener alguna conclusión matemática a partir de esas construcciones.
Construcción de poliedros. Cuboctaedro y dodecaedro rómbico: Taller de Talento Matemático de Zaragoza. Curso 2013-2014.
Material para la sesión sobre construcción de poliedros (Zaragoza el 9 de Mayo de 2014). Empezaremos con el tetraedro, el cubo y el octaedro y presentaremos el cuboctaedro y el dodecaedro rómbico. Relacionaremos este poliedro con los panales de abeja. Construimos una cajita que es un dodecaedro rómbico.
El cubo, el octaedro, el tetraedro y otros poliedros: Taller de Talento Matemático de Zaragoza. Curso 2014-2015.
Material para la sesión sobre poliedros (Zaragoza el 7 de Noviembre de 2014). Estudiaremos el volumen del octaedro y del tetraedro y veremos que el octaedro truncado nos puede ayudar en esta tarea. Construimos una cubo de cartulina con un tetraedro de origami modular en su interior.
Poliedros duales: el cubo y el octaedro. Taller de Talento Matemático de Zaragoza. Curso 2015-2016.
Material para la sesión del TTM (Zaragoza el 23 de Octubre de 2015) . Estudiamos la dualidad de poliedros y, en particular, los poliedros platónicos duales. Construimos una cubo de cartulina con un octaedro de origami modular.
El cuboctaedro y el octaedro truncado. Taller de Talento Matemático de Zaragoza, España. Curso 2016-2017 XIII edición.
Material para la sesión del TTM (Zaragoza, el 21 de Octubre de 2016). Con plantillas para descargar y construir varias figuras geométricas.
Volúmenes de pirámides, del tetraedro y del octaedro. Taller de Talento Matemático de Zaragoza, España. Curso 2017-2018 XIV edición.
Material para la sesión del TTM (Zaragoza, el 20 de Octubre de 2017). El objetivo principal es disfrutar con las Matemáticas y fomentar la construcción de poliedros por su valor estético y también porque nos facilitan la comprensión de resultados matemáticos.
El dodecaedro regular
Algunas propiedades de este sólido platónico y su relación con la razón áurea. Construcción de dodecaedros (y otros poliedros relacionados) usando diferentes técnicas.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos: Dodecaedro regular
El primer dibujo del desarrollo plano del dodecaedro regular fue publicado por Durero en su libro 'Underweysung der Messung' ('Los cuatro libros de la medida'), el año 1525.
El volumen del cuboctaedro
El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices.
El tetraedro truncado
El tetraedro truncado es un sólido arquimediano que tiene 4 triángulos y 4 hexágonos.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (1): Prismas y sus desarrollos planos
Estudiamos los prismas y vemos cómo se pueden desarrollar en un plano. Se explica el cálculo del área lateral de un prisma recto.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (3): Cilindros
Los cilindros son superficies de revolución que pueden desarrollarse en un plano. Se explica cómo calcular la superficie lateral y total de un cilindro.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (5): Pirámides y troncos de pirámide
Desarrollos planos de pirámides y de troncos de pirámide de base regular con diferentes números de lados.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (7): Conos y troncos de conos
Desarrollos planos de conos y troncos de cono. Cálculo del área lateral de estas figuras.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos: Dodecaedro regular
El primer dibujo del desarrollo plano del dodecaedro regular fue publicado por Durero en su libro 'Underweysung der Messung' ('Los cuatro libros de la medida'), el año 1525.