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Poliedros: Cuboctaedro y dodecaedro rómbico
Taller de Talento Matemático (Zaragoza) 2019

Sesión del Taller de Talento Matemático de Zaragoza (décimo sexta edición) por Roberto Cardil.

Programada para el viernes día 18 de Octubre de 2019 a las 18:15.





Objetivos:

El primer objetivo es pasar un rato agradable hablando de unos pocos poliedros. Repasaremos algunas propiedades de los sólidos platónicos (en especial, del cubo y octaedro), de un sólido arquimediano (el cuboctaedro) y de un sólido de Catalán (dodecaedro rómbico o rombododecaedro).

El segundo objetivo es animar a la realización de modelos de poliedro usando técnicas sencillas (papiroflexia, cartulina, tubos, gomas, Zome, etc.). Construiremos un dodecaedro rómbico o una celda hexagonal de las abejas con cartulina que, a la vez, es una cajita.

IMPORTANTE: Necesitaremos tijera, regla y pegamento. También papel y lápiz.

Taller Talento Matemático Zaragoza: necesitamos regla, tijera y pegamento |    | matematicasVisuales

Se anima a los participantes a construir algún poliedro y traerlo a la sesión para que todos nos animemos a hacer estas figuras.



Esta sesión tiene un espíritu parecido a la sesión del Taller de Talento Matemático realizada el 9 de Mayo de 2014.

Construcción de poliedros. Cuboctaedro y dodecaedro rómbico: Taller de Talento Matemático de Zaragoza. Curso 2013-2014.
Material para la sesión sobre construcción de poliedros (Zaragoza el 9 de Mayo de 2014). Empezaremos con el tetraedro, el cubo y el octaedro y presentaremos el cuboctaedro y el dodecaedro rómbico. Relacionaremos este poliedro con los panales de abeja. Construimos una cajita que es un dodecaedro rómbico.

En ese enlace estudiamos con más detalle algunas propiedades del cubo, octaedro, cuboctaedro y el dodecaedro rómbico, entre otros poliedros.

Empezaremos por los cinco sólidos platónicos. En particular, nos fijaremos en dos de ellos: el cubo y el octaedro.

Los sólidos platónicos.
Presentación de los cinco sólidos platónicos: tetraedro, cubo, octaedro, icosaedro y dodecaedro.

Veremos que hay una importante relación entre parejas de estos sólidos platónicos que llamamos dualidad.

Los sólidos platónicos: dualidad.
Estudiamos el concepto de dualidad de poliedros aplicado a los sólidos platónicos. El cubo y el octaedro son duales, el icosaedro y el dodecaedro son duales y el tetraedro decimos que es autodual.

El cubo y el octaedro están relacionados de este modo y decimos que son poliedros duales.

A partir de la dualidad podemos colocar un octaedro dentro de un cubo o un cubo dentro de un octaedro de modo que los vértices de uno estén en los centros de las caras del otro.

El cubo y el octaedro son poliedros duales | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Así lo vio Kepler (Kepler fue un importante matemático que vivió entre 1571 y 1630. Se interesó mucho por los poliedros):

Cubo y octaedro son poliedros duales, así lo vio Kepler | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Por otra parte, dos poliedros duales tienen el mismo número de aristas. En el caso de poliedros regulares podemos colocar las aristas de modo que se bisequen y se corten ortogonalmente. A veces se dice que están en posición recíproca.

Poliedros duales: el cubo y el octaedro. Taller de Talento Matemático de Zaragoza. Curso 2015-2016.
Material para la sesión del TTM (Zaragoza el 23 de Octubre de 2015) . Estudiamos la dualidad de poliedros y, en particular, los poliedros platónicos duales. Construimos una cubo de cartulina con un octaedro de origami modular.

En el caso del cubo y del octaedro obtenemos un nuevo poliedro:

Cuboctaedro estrellado: Estelación del cuboctaedro o poliedro compuesto por un cubo y un octaedro | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Hay un sólido común al cubo y al octaedro en 'posición recíproca'. Este poliedro tiene por caras cuadrados y triángulos equiláteros y se llama cuboctaedro.

Descrito por Luca Pacioli y dibujado por Leonardo da Vinci

Leonardo da Vinci: Dibujo del cuboctaedro para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su cuboctaedro.

Es un sólido de una familia de poliedros que se llaman arquimedianos. Algunos de estos poliedros son descritos en el libro de Pacioli 'La Divina Proporción' pero fuero descritos sistemáticamente por Kepler.

Volumen del cuboctaedro: Cuboctaedro | matematicasvisuales

Podemos pensar que el cuboctaedro es un poliedro que construimos a partir del cubo quitando unos vértices (unas pirámides). Este proceso de obtener un poliedro a partir de otro se llama truncamiento.

Truncamientos del cubo y del octaedro
Truncando un cubo podemos obtener un cubo truncado y un cuboctaedro. Si truncamos un octaedro podemos conseguir un octaedro truncado y, también, un cuboctaedro.

También podemos decir obtenemos un cuboctaedro truncado un octaedro.

Varios poliedros arquimedianos se obtienen a partir de sólidos platónicos con este procedimiento de truncamiento.

El volumen del cuboctaedro
El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices.
El volumen del cuboctaedro (II)
El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices. También se obtiene a partir de un octaedro truncando sus vértices

Otro procedimiento para obtener nuevos poliedros es añadir pirámides a las caras. Podemos entonces ver al cubo o al octaedro como un cuboctaedro al que le hemos añadido unas pirámides en algunas caras.

El volumen del cuboctaedro (II)
El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices. También se obtiene a partir de un octaedro truncando sus vértices

Si partiendo del cuboctaedro añadimos unas determinadas pirámides a todas sus caras volvemos a obtener el poliedro formado por el cubo y el octaedro en posición recíproca.

Cuboctaedro estrellado: Estelación del cuboctaedro o poliedro compuesto por un cubo y un octaedro | matematicasvisuales
Cuboctaedro estrellado: El cuboctaedro es el poliedro común al cubo y al octaedro en el poliedro compuesto de un cubo y un octaedro | matematicasvisuales

En este caso podemos ver este poliedro de otra manera: sus caras son prolongación de las caras del cuboctaedro. Este procedimiento se llama estelación y el poliedro resultante en este caso recibe el nombre de cuboctaedro estrellado.

Por lo tanto hay varios métodos para obtener un poliedro a partir de otros. Hemos visto varios: a partir de un poliedro podemos construir su dual, por truncamiento, añadiendo pirámides y prolongando sus caras (estelación).

Si nos fijamos en el cuboctaedro estrellado podemos pensar en otro poliedro. Es el poliedro que lo envuelve, es decir, uniendo adecuadamente los vértices de este poliedro obtenemos otros poliedro 'exterior'. Este poliedro tiene doce caras que son rombos y se llama dodecaedro rómbico.

El dodecaedro rómbico fue descrito por primera vez por Kepler y tiene interesantes propiedades:



Es el dual del cuboctaedro.



Puede construirse a partir de un cubo añadiendo seis pirámides.

Dodecaedro rómbico (3): cubo con pirámides
Añadiendo seis pirámides a un cubo podemos construir nuevos poliedros que tienen veinticuatro caras triángulares. Para unas determinadas pirámides obtenemos un dodecaedro rómbico que tiene doce caras rómbicas.
Dodecaedro rómbico (6): Un dodecaedro rómbico plegado dentro de un cubo.
Una cadena de seis pirámides puede plegarse hacia dentro y formar un cubo y puede plegarse hacia fuera y colocarse sobre otro cubo y formar un dodecaedro rómbico.


Tesela el espacio.

Dodecaedro rómbico (5): El dodecaedro rómbico es un poliedro que tesela el espacio.
Podemos llenar el espacio con dodecaedros rómbicos sin dejar huecos.


Tres de sus rombos forman la base de las celdas de las abejas.

Dodecaedro rómbico (1): los panales de las abejas
La Humanidad ha estdo siempre fascinada por cómo las abejas construyen sus panales. Kepler relacionó la forma de los panales con un poliedro que llamamos dodecaedro rómbico.
Dodecaedro rómbico (2): Un problema de optimización en torno a los panales de las abejas
Queremos cerrar un prisma hexagonal como lo hacen las abejas, usando tres rombos iguales. ¿Qué forma deben tener estos tres rombos para cerrar el prisma con la menor superficie?

Construcción de un dodecaedro rómbico

Vamos a construir un modelo en cartulina. Hay dos variantes que son dos cajas. Una con forma de dodecaedro rómbico y la otra es una celda de panal de abeja. Cuando tengamos muchos modelos podremos encajar unos con otros y ver cómo teselan el espacio.

El diseño fue ideado por John Edminster y se pueden encontrar referencias en Beach Packaging Design.

Se puede ver cómo cabe un octaedro dentro del dodecaedro y también un cubo. Dentro del cubo se puede poner un cubococtaedro (en este caso, una estrella omega hecha con papiroflexia):

Estos son los modelos que se pueden descargar:

Caja dodecaedro rómbico | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales
Caja dodecaedro rómbico, panal  | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Un octaedro que se puede incluir en el dodecaedro rómbico:

Octaedro que se puede incluir en el dodecaedro rómbico | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales
Octaedro que se puede incluir en el dodecaedro rómbico | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Un cubo que se puede incluir en el dodecaedro rómbico. Con seis cuadrados se puede hacer una Omega Star de papiroflexia (que es un cuboctaedro) que cabe dentro del cubo:

cubo que se puede incluir en el dodecaedro rómbico | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

REFERENCIAS

Hugo Steinhaus - Mathematical Snapshots - Oxford University Press - Third Edition. (Versión en castellano publicada por Salvat 'Instantáneas matemáticas', 1986).
Magnus Wenninger - 'Polyhedron Models', Cambridge University Press.
Peter R. Cromwell - 'Polyhedra', Cambridge University Press, 1999.
H.Martin Cundy and A.P. Rollet, 'Mathematical Models', Oxford University Press, Second Edition, 1961.
W.W. Rouse Ball and H.S.M. Coxeter - 'Matematical Recreations & Essays', The MacMillan Company, 1947.
Luca Pacioli - De divina proportione - (La divina proporción) Ediciones Akal, 4ª edición, 2004. Traducción al castellano de Juan Calatrava.

MÁS ENLACES

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