Objetivos:
El primer objetivo es pasar un rato agradable hablando de unos pocos poliedros. Repasaremos algunas propiedades de los sólidos
platónicos (en especial, del cubo y octaedro), de un sólido arquimediano (el cuboctaedro) y de un sólido de Catalán (dodecaedro rómbico o rombododecaedro).
El segundo objetivo es animar a la realización de modelos de poliedro usando técnicas sencillas (papiroflexia, cartulina, tubos, gomas, Zome, etc.).
Construiremos un dodecaedro rómbico o una celda hexagonal de las abejas con cartulina que, a la vez, es una cajita.
IMPORTANTE: Necesitaremos tijera, regla y pegamento.
También papel y lápiz.
Se anima a los participantes a construir algún poliedro y traerlo a la sesión para que todos nos animemos a hacer estas figuras.
Esta sesión tiene un espíritu parecido a la sesión del Taller de Talento Matemático realizada el 9 de Mayo de 2014.
Material para la sesión sobre construcción de poliedros (Zaragoza el 9 de Mayo de 2014). Empezaremos con el tetraedro, el cubo y el octaedro y presentaremos el cuboctaedro y el dodecaedro rómbico. Relacionaremos este poliedro con los panales de abeja. Construimos una cajita que es un dodecaedro rómbico.
En ese enlace estudiamos con más detalle algunas propiedades del cubo, octaedro, cuboctaedro y el dodecaedro rómbico, entre otros poliedros.
Empezaremos por los cinco sólidos platónicos. En particular, nos fijaremos en dos de ellos: el cubo y el octaedro.
Presentación de los cinco sólidos platónicos: tetraedro, cubo, octaedro, icosaedro y dodecaedro.
Veremos que hay una importante relación entre parejas de estos sólidos platónicos que llamamos dualidad.
Estudiamos el concepto de dualidad de poliedros aplicado a los sólidos platónicos. El cubo y el octaedro son duales, el icosaedro y el dodecaedro son duales y el tetraedro decimos que es autodual.
El cubo y el octaedro están relacionados de este modo y decimos que son poliedros duales.
A partir de la dualidad podemos colocar un octaedro dentro de un cubo o un cubo dentro de un octaedro de modo que los vértices de uno estén en los centros de las
caras del otro.
Así lo vio Kepler (Kepler fue un importante matemático que vivió entre 1571 y 1630. Se interesó mucho por los poliedros):
Por otra parte, dos poliedros duales tienen el mismo número de aristas. En el caso de poliedros regulares podemos
colocar las aristas de modo que se bisequen y se corten ortogonalmente. A veces se dice que están en posición recíproca.
Material para la sesión del TTM (Zaragoza el 23 de Octubre de 2015) . Estudiamos la dualidad de poliedros y, en particular, los poliedros platónicos duales. Construimos una cubo de cartulina con un octaedro de origami modular.
En el caso del cubo y del octaedro obtenemos un nuevo poliedro:
Hay un sólido común al cubo y al octaedro en 'posición recíproca'. Este poliedro tiene por caras cuadrados y triángulos equiláteros y se llama cuboctaedro.
Descrito por Luca Pacioli y dibujado por Leonardo da Vinci
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su cuboctaedro.
Es un sólido de una familia de poliedros que se llaman arquimedianos. Algunos de estos poliedros son descritos en el libro de Pacioli 'La Divina Proporción'
pero fuero descritos sistemáticamente por Kepler.
Podemos pensar que el cuboctaedro es un poliedro que construimos a partir del cubo quitando unos vértices (unas pirámides). Este proceso de obtener un poliedro a partir de otro se llama truncamiento.
Truncando un cubo podemos obtener un cubo truncado y un cuboctaedro. Si truncamos un octaedro podemos conseguir un octaedro truncado y, también, un cuboctaedro.
También podemos decir obtenemos un cuboctaedro truncado un octaedro.
Varios poliedros arquimedianos se obtienen a partir de sólidos platónicos con este procedimiento de truncamiento.
El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices.
El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices. También se obtiene a partir de un octaedro truncando sus vértices
Otro procedimiento para obtener nuevos poliedros es añadir pirámides a las caras. Podemos entonces ver al cubo o al octaedro como un cuboctaedro al que le hemos añadido
unas pirámides en algunas caras.
El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices. También se obtiene a partir de un octaedro truncando sus vértices
Si partiendo del cuboctaedro añadimos unas determinadas pirámides a todas sus caras volvemos a obtener el poliedro formado por el cubo y el octaedro en posición recíproca.
En este caso podemos ver este poliedro de otra manera: sus caras son prolongación de las caras del cuboctaedro. Este procedimiento se llama estelación y el poliedro resultante
en este caso recibe el nombre de cuboctaedro estrellado.
Por lo tanto hay varios métodos para obtener un poliedro a partir de otros. Hemos visto varios: a partir de un poliedro podemos construir su dual, por truncamiento, añadiendo
pirámides y prolongando sus caras (estelación).
Si nos fijamos en el cuboctaedro estrellado podemos pensar en otro poliedro. Es el poliedro que lo envuelve, es decir, uniendo adecuadamente los vértices de este poliedro
obtenemos otros poliedro 'exterior'. Este poliedro tiene doce caras que son rombos y se llama dodecaedro rómbico.
El dodecaedro rómbico fue descrito por primera vez por Kepler y tiene interesantes propiedades:
Es el dual del cuboctaedro.
Puede construirse a partir de un cubo añadiendo seis pirámides.
Añadiendo seis pirámides a un cubo podemos construir nuevos poliedros que tienen veinticuatro caras triángulares. Para unas determinadas pirámides obtenemos un dodecaedro rómbico que tiene doce caras rómbicas.
Una cadena de seis pirámides puede plegarse hacia dentro y formar un cubo y puede plegarse hacia fuera y colocarse sobre otro cubo y formar un dodecaedro rómbico.
Tesela el espacio.
Podemos llenar el espacio con dodecaedros rómbicos sin dejar huecos.
Tres de sus rombos forman la base de las celdas de las abejas.
La Humanidad ha estdo siempre fascinada por cómo las abejas construyen sus panales. Kepler relacionó la forma de los panales con un poliedro que llamamos dodecaedro rómbico.
Queremos cerrar un prisma hexagonal como lo hacen las abejas, usando tres rombos iguales. ¿Qué forma deben tener estos tres rombos para cerrar el prisma con la menor superficie?
REFERENCIAS
Hugo Steinhaus - Mathematical Snapshots - Oxford University Press - Third Edition. (Versión en castellano publicada por
Salvat 'Instantáneas matemáticas', 1986).
Magnus Wenninger - 'Polyhedron Models', Cambridge University Press.
Peter R. Cromwell - 'Polyhedra', Cambridge University Press, 1999.
H.Martin Cundy and A.P. Rollet, 'Mathematical Models', Oxford University Press, Second Edition, 1961.
W.W. Rouse Ball and H.S.M. Coxeter - 'Matematical Recreations & Essays', The MacMillan Company, 1947.
Luca Pacioli - De divina proportione - (La divina proporción) Ediciones Akal, 4ª edición, 2004. Traducción al castellano de Juan Calatrava.
MÁS ENLACES
Exposición sobre los cinco sólidos platónicos: tetraedro, cubo, octaedro, icosaedro y dodecaedro. Construcción de los poliedros encajados. El Omnipoliedro. Algunas propiedades básicas que se pueden aprender de esta construcción.
Material para la sesión sobre construcción de poliedros que se realizó en Zaragoza el 13 de Abril de 2012. El objetivo es disfrutar haciendo poliedros y obtener alguna conclusión matemática a partir de esas construcciones.
Material para la sesión sobre poliedros (Zaragoza el 7 de Noviembre de 2014). Estudiaremos el volumen del octaedro y del tetraedro y veremos que el octaedro truncado nos puede ayudar en esta tarea. Construimos una cubo de cartulina con un tetraedro de origami modular en su interior.
Material para la sesión del TTM (Zaragoza el 23 de Octubre de 2015) . Estudiamos la dualidad de poliedros y, en particular, los poliedros platónicos duales. Construimos una cubo de cartulina con un octaedro de origami modular.
Material para la sesión del TTM (Zaragoza, el 10 de marzo de 2023). Con plantillas para descargar y construir varias figuras geométricas.
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El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices.
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