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Sólidos platónicos

Hay cinco poliedros que destacan por su regularidad (o simetría), son los llamados poliedros o sólidos platónicos.

El nombre de 'sólidos platónicos' proviene de que son nombrados por el filósofo griego Platón en su libro "Timeo" (escrito en torno al año 360 a.C.), aunque eran conocidos desde tiempo inmemorial.

Esta es una representación antigua de estos cinco poliedros en el libro de Kepler (1571-1630) "Harmonices Mundi" ("La harmonía del mundo"). En esta ilustración se muestran los poliedros y su asociación con los cuatro elementos. El tetraedro con el fuego, el octaedro con el aire, el cubo con la tierra y el icosaedro con el agua. El dodecaedro estaría asociado con el universo o cosmos.

Sólidos platónicos: Cinco sólidos platónicos por Kepler | matematicasVisuales

Es muy instructivo construir estos cinco sólidos platónicos y aquí pretendemos animar a realizar esta actividad. En esta página se muestran ejemplos de construcciones con diferentes técnicas.

Estos poliedros platónicos forman parte de una colección que fue hecha en la década de los treinta del siglo pasado:

Sólidos platónicos: Cinco sólidos platónicos | matematicasVisuales

La regularidad se concreta en dos exigencias:

Todas sus caras son congruentes (iguales) y tienen que ser un polígono regular.

Todos los vértices tienen que ser iguales. En cada vértice tienen que concurrir el mismo número de caras y, por lo tanto, también el mismo número de aristas.

Resulta que estos polígonos regulares que forman las caras de cada sólido platónico sólo pueden ser triángulos equiláteros, cuadrados y pentágonos.

Sólo se pueden construir cinco sólidos con estas características. Las caras de tres de ellos son triángulos equiláteros (el tetraedro, el octaedro y el icosaedro), el cubo tiene las caras cuadradas y el dodecaedro tiene sus caras que son pentágonos regulares.

Un modo de construir estos poliedros es a partir de su desarrollo plano. Alberto Durero es el primero en publicar desarrollos planos de varios poliedros, entre ellos, los platónicos. Las ilustraciones de estos desarrollos son de su libro "Underweysung der Messung" ("Tratado de la medida", 1525).

Vamos a ver estos poliedros y contar sus elementos:



Tetraedro

Las caras del tetraedro son triángulos equiláteros.

Sólidos platónicos: Tetraedro con origami | matematicasVisuales
Sólidos platónicos: Desarrollo del tetraedro por Durer |   | matematicasVisuales
Sólidos platónicos: Tetraedro. Los vértices están hechos con impresora 3D | matematicasVisuales

Podemos decir que diferentes técnicas de construcción se fijan en elementos particulares de las figuras. Por ejemplo, para hacer esta construcción del tetraedro con bolitas necesitamos cuatro bolas que se corresponden con los vértices de la figura.

Sólidos platónicos: Tetraedro hecho con cuatro bolitas | matematicasVisuales

El tetraedro es un poliedro sencillo y es fácil contar sus caras, aristas y vértices:

Sólidos platónicos: Tetraedro  | matematicasVisuales

PARA SABER MÁS

Volumen del tetraedro
El volumen del tetraedro es un tercio del paralelepípedo que lo contiene.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos: Tetraedro regular
El primer dibujo del desarrollo plano del tetraedro regular fue publicado por Durero en su libro 'Underweysung der Messung' ('Los cuatro libros de la medida'), el año 1525.
Cubo
Sólidos platónicos: cubo hecho con cartulina | matematicasVisuales

Estamos muy familiarizados con el cubo. Sus caras son cuadrados y todos sabemos que un dado tiene 6 caras.

Sólidos platónicos: desarrollo del cubo por Durer | matematicasVisuales

Contamos las caras, aristas y vértices del cubo:

Sólidos platónicos: Cubo  | matematicasVisuales
Octaedro

Las caras del octaedro son triángulos equiláteros.

Sólidos platónicos: octaedro hecho con cartulina | matematicasVisuales
Sólidos platónicos: desarrollo del octaedro por Durer | matematicasVisuales
Sólidos platónicos:  octaedro | matematicasVisuales
Sólidos platónicos: octaedro hecho con bolitas  | matematicasVisuales

Contamos las caras, aristas y vértices del octaedro:

PARA SABER MÁS

El volumen del octaedro
El volumen del octaedro es 4 veces el del tetraedro. El cálculo del volumen del octaedro es sencillo y así podemos obtener el volumen del tetraedro.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos: Octaedro regular
El primer dibujo del desarrollo plano del octaedro regular fue publicado por Durero en su libro 'Underweysung der Messung' ('Los cuatro libros de la medida'), el año 1525.
Leonardo da Vinci: Dibujo del octaedro para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro.
Icosaedro
Sólidos platónicos: Icosaedro hecho con cartulina cara a cara pegada | matematicasVisuales

El icosaedro tiene 20 caras triángulares. Su desarrollo nos lo mostró Durero:

Sólidos platónicos: Tetrahedron |   | matematicasVisuales

Los poliedros formados por triángulos, como el icosaedro, el tetraedro y el octaedro, tienen la particularidad de que si se construyen uniendo varillas, la estructura resultante es rígida. Este hecho tiene aplicaciones en arquitectura e ingeniería. Otro ejemplo de este tipo de estructuras son las cúpulas geodésicas.

Sólidos platónicos: Icosaedro realizado con tubos de aluminio | matematicasVisuales
Sólidos platónicos: Icosaedro. Sus vértices están impresos en 3d | matematicasVisuales

¿Cómo podemos contar las aristas y los vértices de un icosaedro sin dejarnos ninguno? Hay un truquillo.

La técnica de construir poliedros recortando cada cara por separado y después pegando las caras o uniéndolas con gomas nos va a ayudar.

Para hacer un icosaedro necesitamos 20 triángulos equiláteros. Estos triángulos tienen 60 aristas y 60 vértices.

Pensemos primero en las aristas. Estas 60 aristas de triángulo se pegan de 2 en 2 para formar una arista del icosaedro, por lo tanto, ya sabemos el número de aristas de un icosaedro.

En un vértice del icosaedro se juntan 5 vértices de triángulos. Esto nos dice el número de vértices del icosaedro.

Sólidos platónicos: ttm13: | Icosaedro | matematicasVisuales

PARA SABER MÁS

El icosaedro y su volumen
Los veinte vértices de un icosaedro están en tres rectángulos áureos. A partir de esta propiedad podemos calcular el volumen del icosaedro.
Construcción de poliedros : El rectángulo áureo y el icosaedro
Con tres rectángulos áureos podemos construir un icosaedro.
Dodecaedro
Sólidos platónicos: Dodecaedro | matematicasVisuales
Sólidos platónicos: Dodecaedro | matematicasVisuales
Sólidos platónicos: Dodecaedro | matematicasVisuales

Contamos las caras, aristas y vértices del dodecaedro. Podemos usar el truquillo que hemos empleado para el icosaedro.

Sólidos platónicos: Pirita con una cristalización en forma de dodecaedro irregular | matematicasVisuales

PARA SABER MÁS

El dodecaedro regular
Algunas propiedades de este sólido platónico y su relación con la razón áurea. Construcción de dodecaedros (y otros poliedros relacionados) usando diferentes técnicas.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos: Dodecaedro regular
El primer dibujo del desarrollo plano del dodecaedro regular fue publicado por Durero en su libro 'Underweysung der Messung' ('Los cuatro libros de la medida'), el año 1525.
Leonardo da Vinci: Dibujo del dodecaedro para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su dodecaedro.


INVESTIGA

La unión de dos tetraedros es un poliedro formado por seis triángulos equiláteros. ¿Por qué la unión de dos tetraedros no se considera un sólido platónico?



INVESTIGA

En este breve repaso de los poliedros podríamos citar a muchas personas que hicieron contribuciones. Por lo menos, a Platón, Euclides, Arquímedes, Pacioli, Durero, Kepler entre otros muchos más. Un cambio crucial en cómo vemos los poliedros lo asociamos a Euler. Euler considera que un poliedro está formado por vértices (elementos de dimensión 0), aristas (dimensión 1) y caras (dimensión 2). Con este cambio de punto de vista deduce la famosa Fórmula de Euler: Caras menos Aristas más Vértices es igual a 2.

Sólidos platónicos: Fórmula de Euler para los poliedros, Característica de Euler |   | matematicasVisuales

Esta fórmula es válida para los poliedros que 'se parecen a esferas', en particular no deben tener agujeros. Los poliedros platónicos y los arquimedianos, en particular, la cumplen.

Una consecuencia de este punto de vista es que podemos considerar ciertas deformaciones del poliedro y la fórmula se sigue verificando pues lo importante no es que las aristas sean rectas o que tengan tales o cuales medidas. Podemos imaginar la figura hecha de goma y estirando (sin rasgar) deformamos el poliedro pero la fórmula se seguirá cumpliendo. Estas ideas (junto con el problema de los Puentes de Koningsberg -que resolvió Euler-) están en el origen de una rama de las Matemáticas que llamamos Topología.

Repasar el número de vértices, aristas y caras de los sólidos platónicos y comprobar que se cumple la Fórmula de Euler.



INVESTIGA

La demostración de que hay solo cinco sólidos platónicos no es tan simple.

Se suele apoyar en la fórmula de Euler para los poliedros (que, por cierto, también está relacionada con los mapas y con el problema de los cuatro colores)

Para empezar se rebajan las condiciones de la definición de poliedro regular. Diremos que un poliedro es regular si todas sus caras tienen el mismo número de lados y si en cada vértice se une el mismo número de caras.

Por lo tanto, no se exige que las caras sean polígonos regulares.

En estas condiciones, viendo las posibilidades de recuento de caras, aristas y vértices se prueba que, como mucho, hay cinco posibilidades.

Entonces, si consideramos que las caras tienen que ser polígonos regulares, tenemos que construir los cinco sólidos platónicos usando geometría métrica.

Un modo sería definir los vértices y comprobar que todas las aristas son de la misma longitud y todos los ángulos en los vértices son iguales.

Para ver los detalles se puede consultar los libros de Rademacher y Toeplitz (capítulos 12 y 13) y el de Cromwell.

REFERENCIAS

Peter R. Cromwell - Polyhedra, Cambridge University Press, 1999.
Hans Rademacher y Otto Toeplitz - Números y figuras, Alianza Editorial, 1970.
Sitio web sobre construcción de poliedros de George Hart
Hugo Steinhaus - Mathematical Snapshots - Oxford University Press - Third Edition. (Versión en castellano publicada por Salvat 'Instantáneas matemáticas', 1986).
Magnus Wenninger - 'Polyhedron Models', Cambridge University Press.
H.Martin Cundy and A.P. Rollet, 'Mathematical Models', Oxford University Press, Second Edition, 1961.
W.W. Rouse Ball and H.S.M. Coxeter - 'Matematical Recreations & Essays', The MacMillan Company, 1947.

MÁS ENLACES

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