Presentación de los cinco sólidos platónicos: tetraedro, cubo, octaedro, icosaedro y dodecaedro.
Sus caras son triángulos equiláteros (al igual que el tetraedro y el icosaedro).
Con sus veinte caras triangulares tiene una belleza especial. Su construcción es sencilla y hemos propuesto
hacerla con diferentes técnicas: su desarrollo, que mostramos al final de la página, es muy fácil de dibujar y
montar con cartulina, lo hemos construído con tubos, con discos de cartulina,
con el juego Acona Biconbi de Bruno Munari y el resultado siempre es bonito. También hemos
hecho un icosaedro con tensegridad (tensegrity). Vale la pena
probar cualquiera (o todas) de estas técnicas.
Si nos fijamos en un vértice vemos que cinco caras triangulares se unen en un vértice. Los lados que quedan libres
forman un pentágono regular.
PARA SABER UN POCO MÁS
Esto nos podría sugerir que existe una relación entre el icosaedro y el dodecaedro. El dodecaedro es un sólido
platónico cuyas caras son pentágonos. De hecho es así y su relación es profunda. En particular decimos que el
icosaedro y el dodecaedro son poliedros duales. Puedes saber más de la dualidad entre los sólidos platónicos
en la siguiente página.
Estudiamos el concepto de dualidad de poliedros aplicado a los sólidos platónicos. El cubo y el octaedro son duales, el icosaedro y el dodecaedro son duales y el tetraedro decimos que es autodual.
Por otra parte, hemos visto que la diagonal de un pentágono y su lado están en proporción áurea. Puede no venir
mal repasar cómo se dibuja un pentágono con regla y compás pues lo que hacemos es construir esta proporción
áurea.
La diagonal y el lado de un pentágono regular están en proporción áurea. El punto de intersección de dos diagonales de un pentágono regular divide a ambas en la razón áurea o 'en razón extrema y media'.
A partir de la definición de Euclides de la división de un segmento en su razón media y extrema introducimos una propiedad de los rectángulos áureos y deducimos la ecuación y el valor de la proporción áurea.
Un rectángulo áureo se puede descomponer en un cuadrado y otro rectángulo áureo.
¿Hay alguna relación entre el icosaedro y los rectángulos áureos? Resulta que sí y da lugar a una construcción
muy bonita e interesante.
Los doce vértices de un icosaedro están en tres
rectángulos áureos que están en tres planos ortogonales
dos a dos.
Un material excelente para hacer esta construcción es la madera contrachapada.
En cada vértice hay clavado un alfiler y las aristas son
hilo con goma.
Para empezar quizás sea más sencillo hacerlo con cartulina. Os propongo unas plantillas con varios rectángulos áureos
para descargar, imprimir, recortar
y montar.
Antes de mostraros algunos truquillos para hacer esta construcción con madera o DM vamos a hacer algunas comprobaciones
para ver que realmente los vértices forman triángulos equiláteros.
REPASO
Necesitaremos el Teorema de Pitágoras, recordar la altura de un triángulo equilátero y alguna propiedad del
número áureo.
Los triángulos equiláteros son figuras semejantes. Si calculamos el área de un solo triángulo equilátero, por semejanza, sabremos el área de cualquier triángulo equilátero. Repasaremos relaciones entre longitudes y áreas de figuras semejantes aplicadas a este caso particular.
La diagonal y el lado de un pentágono regular están en proporción áurea. El punto de intersección de dos diagonales de un pentágono regular divide a ambas en la razón áurea o 'en razón extrema y media'.
Podemos ver la siguiente construcción con tres rectángulos áureos como el esqueleto de un octavo de icosaedro.
El triángulo que se muestra, por simetría, es un triángulo equilátero y es una cara del icosaedro.
En la parte superior hemos marcado otro triángulo, en este caso rectángulo. Es otra media cara del icosaedro.
Si nos imaginamos la otra media cara está claro que el triángulo es isósceles, pero ¿es equilátero?
Un manera sencilla de convencernos de esto es calcular la altura de uno de esos triángulos.
Para hacer los cálculos más sencillos supondremos que los tres rectángulos tienen el lado corto que mide 1,
el lado largo será el número áureo y el icosaedro tiene ahora arista que mide 2.
Expresamos la altura aplicando el Teorema de Pitágoras:
Recordamos esta relación de la proporción áurea:
Entonces:
Y con esta altura h el triángulo superior que hemos marcado es medio triángulo equilátero de arista 2.
La distancia entre dos vértices contiguos es siempre la misma y los veinte vértices son los vértices de un
icosaedro.
Ahora vamos a mostrar algunos pasos para construir un modelo con madera o DM. Este ejemplo es desmontable:
Empezamos haciendo el dibujo:
Lijar con el papel de lija apoyado en una superficie plana es un truco muy bueno para que los lados de los
rectángulos nos queden bien rectos.
Podemos usar diferentes materiales, por ejemplo, cartón-pluma:
Si se tiene acceso a una máquina de corte láser se puede reproducir el modelo tantas veces como se quiera. Es un
procedimiento muy rápido y preciso.
Sara San Gregorio,
que desarrolla, entre otros, el proyecto
Microarquitectura en
MediaLab-Prado de Madrid,
digitalizó el dibujo y cortó este modelo:
PARA PENSAR UN POCO
A partir de esta construcción podemos calcular el volumen de un icosaedro:
Construir el icosaedro con cartulina es sencillo. Durero nos muestra el desarrollo (Durero fue el primero en publicar estos desarrollos
planos de poliedros):
Una construcción muy interesante es la que relaciona el octaedro y el icosaedro. Se puede colocar un icosaedro en un octaedro (en dos
posiciones simétricas). Esta construcción también nos ayuda a calcular el volumen del icosaedro.
Un icosaedro se puede poner dentro de un octaedro de modo que sus 12 vértices estén en las 12 aristas del octaedro. Dos construcciones nos ayudan a comprender esta relación y, gracias a ella, calcularemos el volumen del icosaedro.
En el siguiente enlace se muestra una tensegridad bien conocida basada en el icosaedro (con alguna variante).
Tensegrity es la construcción de estructuras con tensores o elementos elásticos. Es un placer construir y tocar estos poliedros elásticos.
Durante el confinamiento por la Covid19 se propuso una combinación de la construcción del icosaedro con tres rectángulos
áureos hechos con el cartón de una caja de leche y gomas. Algunos alumnos encontraron soluciones inteligentes a la falta de
materiales.
Proponemos hacer esta famosa construcción del esqueleto de un icosaedro formado por tres rectángulos áureos usando el cartón de una caja de leche.
Esta sería otra tensegridad. En este caso los vértices de los rectángulos están hechos con una impresora 3d y los lados de
los rectángulos son tubos de plástico.
REFERENCIAS
La construcción del icosaedro con tres rectángulos áureos aparece en muchos libros, como en "Introducción a la Geometría" de Coxeter o en "Geometry and the Imagination"
de Hilber y Cohn-Vossen.
George Hart es una referencia para todos los aficionados a la construcción
de poliedros.
Hugo Steinhaus - Mathematical Snapshots - Oxford University Press - Third Edition. Una traducción española fue hecha por Luis Bou García y fue publicada por la Editorial
Salvat con el título 'Instantáneas Matemáticas' en 1986.
Magnus Wenninger - 'Polyhedron Models', Cambridge University Press.
Peter R. Cromwell - 'Polyhedra', Cambridge University Press, 1999.
H.Martin Cundy and A.P. Rollet, 'Mathematical Models', Oxford University Press, Second Edition, 1961.
W.W. Rouse Ball and H.S.M. Coxeter - 'Matematical Recreations & Essays', The MacMillan Company, 1947.
Si recortamos las caras sueltas de los poliedros podemos unirlas con pegamento y construir poliedros. Puedes descargar varias plantillas con diferentes polígonos. Es una técnica muy sencilla para construir poliedros muy vistosos e interesantes.
Un icosaedro se puede poner dentro de un octaedro de modo que sus 12 vértices estén en las 12 aristas del octaedro. Dos construcciones nos ayudan a comprender esta relación y, gracias a ella, calcularemos el volumen del icosaedro.
Si recortamos las caras sueltas de los poliedros podemos unirlas con gomas elásticas o pegamento y construir poliedros más complicados y con varios colores.
El diseñador italiano Bruno Munari pensó 'Acona Biconbi' como un trabajo de escultura. También es un juego de construcción con el que podemos jugar con colores y formas.
Zome es un conjunto de piezas de plástico ideal para construir poliedros desmontables. De las infinitas posibilidades de Zome, aquí lo usamos para calcular el volumen del dodecaedro.
Exposición sobre los cinco sólidos platónicos: tetraedro, cubo, octaedro, icosaedro y dodecaedro. Construcción de los poliedros encajados. El Omnipoliedro. Algunas propiedades básicas que se pueden aprender de esta construcción.
Material para la sesión sobre construcción de poliedros que se realizó en Zaragoza el 13 de Abril de 2012. El objetivo es disfrutar haciendo poliedros y obtener alguna conclusión matemática a partir de esas construcciones.
Material para la sesión sobre construcción de poliedros (Zaragoza el 9 de Mayo de 2014). Empezaremos con el tetraedro, el cubo y el octaedro y presentaremos el cuboctaedro y el dodecaedro rómbico. Relacionaremos este poliedro con los panales de abeja. Construimos una cajita que es un dodecaedro rómbico.
Material para la sesión sobre poliedros (Zaragoza el 7 de Noviembre de 2014). Estudiaremos el volumen del octaedro y del tetraedro y veremos que el octaedro truncado nos puede ayudar en esta tarea. Construimos una cubo de cartulina con un tetraedro de origami modular en su interior.
Material para la sesión del TTM (Zaragoza el 23 de Octubre de 2015) . Estudiamos la dualidad de poliedros y, en particular, los poliedros platónicos duales. Construimos una cubo de cartulina con un octaedro de origami modular.
Material para la sesión del TTM (Zaragoza, el 20 de Octubre de 2017). El objetivo principal es disfrutar con las Matemáticas y fomentar la construcción de poliedros por su valor estético y también porque nos facilitan la comprensión de resultados matemáticos.
Material para la sesión del TTM (Zaragoza, el 19 de Octubre de 2018). Diferentes construcciones del icosaedro nos ayudan a comprender sus propiedades. El objetivo principal es disfrutan construyendo poliedros.
Material para la sesión del TTM (Zaragoza, el 18 de Octubre de 2019). El objetivo principal es disfrutan construyendo poliedros, en esta ocasión construiremos una cajita que es un dodecaedro rómbico. Estudiaremos la relación de este poliedro con el cubo, el octaedro y el cuboctaedro.
Con motivo del Día internacional de las Matemáticas 2020, que se celebra el 14 de Abril, hemos preparado una exposición homenaje a Kepler en relación con el dodecaedro rómbico.
Microarquitectura es un juego de construcción desarrollado por Sara San Gregorio. Podemos jugar con él y construir muchas estructuras inspiradas en poliedros.
El primer dibujo del desarrollo plano del tetraedro regular fue publicado por Durero en su libro 'Underweysung der Messung' ('Los cuatro libros de la medida'), el año 1525.
Algunas propiedades de este sólido platónico y su relación con la razón áurea. Construcción de dodecaedros (y otros poliedros relacionados) usando diferentes técnicas.
A partir de la definición de Euclides de la división de un segmento en su razón media y extrema introducimos una propiedad de los rectángulos áureos y deducimos la ecuación y el valor de la proporción áurea.
Podemos cortar un cubo por la mitad con un plano de modo que la sección sea un hexágono regular. Ocho de estos medios cubos forman un octaedro truncado.
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro truncado.
El octaedro truncado es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un octaedro truncando sus vértices. Su volumen se puede calcular a partir del volumen del octaedro.
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