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Construcción de poliedros. Técnicas sencillas
El rectángulo áureo y el icosaedro

Esta construcción es muy bonita e interesante. Los vértices de un icosaedro están en tres rectángulos áureos que están en tres planos ortogonales dos a dos.

La podemos hacer con madera y también con cartón o cartón pluma. En cada vértice hay clavado un alfiler y las aristas son hilo con goma.

Construcción poliedros| Icosaedro, tres rectangulos áureos en madera e hilo | matematicasVisuales

Para empezar podemos aprender a dibujar un rectángulo áureo. Es una experiencia interesante. El rectángulo áureo está relacionado con el lado y la diagonal de un pentágono regular:

Dibujo de un pentágono regular con regla y compás
Podemos dibujar un pentágono regular dado uno de sus lados construyendo la razón áurea con regla y compás.

Para construirlo el modelo un material muy bueno es la madera contrachapada. También es muy sencillo hacerlo con cartulina. Se puede descargar, imprimir y recortar la siguiente plantilla con varios rectángulos áureos:

Taller Talento Matemático Zaragoza: desarrollo del cubo para descargar, download cube | matematicasVisuales
Construcción poliedros| Icosaedro, tres rectangulos áureos en madera e hilo | matematicasVisuales

Vamos a mostrar algunos pasos para construir un modelo con madera o DM. Este ejemplo es desmontable:

Construcción poliedros| Icosaedro, tres rectangulos áureos en madera e hilo | matematicasVisuales

Empezamos haciendo el dibujo:

Construcción poliedros| Icosaedro, tres rectangulos áureos en madera e hilo | matematicasVisuales
Construcción poliedros| Icosaedro, tres rectangulos áureos en madera e hilo | matematicasVisuales

Construcción poliedros| Icosaedro, tres rectangulos áureos en madera e hilo | matematicasVisuales
Construcción poliedros| Icosaedro, tres rectangulos áureos en madera e hilo | matematicasVisuales
Construcción poliedros| Icosaedro, tres rectangulos áureos en madera e hilo | matematicasVisuales

Construcción poliedros| Icosaedro, tres rectangulos áureos en madera e hilo | matematicasVisuales
Construcción poliedros| Icosaedro, tres rectangulos áureos en madera e hilo | matematicasVisuales

Podemos usar diferentes materiales, por ejemplo, cartón-pluma:

Construcción poliedros| Icosaedro, tres rectangulos áureos en madera e hilo | matematicasVisuales

Si se tiene acceso a una máquina de corte láser se puede reproducir el modelo tantas veces como se quiera. Es un procedimiento muy rápido y preciso. Sara San Gregorio, que desarrolla, entre otros, el proyecto Microarquitectura en MediaLab-Prado de Madrid, digitalizó el dibujo y cortó este modelo:

Construcción poliedros| Icosaedro, tres rectangulos áureos en madera e hilo | matematicasVisuales
Construcción poliedros| Icosaedro, tres rectangulos áureos en madera e hilo | matematicasVisuales

PARA PENSAR UN POCO

Está claro, por la construcción de la figura, que algunos triángulos son equiláteros. ¿Lo son todos? ¿Cómo lo podemos justificar?

El lado largo del rectángulo es una diagonal el pentágono que forman cinco lados de cinco caras triangulares.

PARA PENSAR UN POCO

A partir de esta construcción podemos calcular el volumen de un icosaedro:

El icosaedro y su volumen
Los veinte vértices de un icosaedro están en tres rectángulos áureos. A partir de esta propiedad podemos calcular el volumen del icosaedro.

Los tres planos que contienen los vértices del icosaedro están enlazados formando los Anillos de Borromeo.

Esta construcción con globos muestra los anillos de Borromeo. Inspirada en el vídeo del logotipo de la International Mathematical Union (IMU) que fue diseñado por John Sullivan (The Borromean Rings: a new logo for the IMU)

Construcción poliedros| Icosaedro. Anillos de Borromeo | matematicasVisuales

El octaedro también tiene los vértices en tres planos paralelos. Podemos usar esta propiedad común para construir un icosaedro dentro de un octaedro con tubos.

Construir el icosaedro con cartulina es sencillo. Durero nos muestra el desarrollo:

Construcción poliedros| Icosaedro. Desarrollo según Durero | matematicasVisuales

REFERENCIAS

La construcción del icosaedro con tres rectángulos áureos aparece en muchos libros, como en "Introducción a la Geometría" de Coxeter o en "Geometry and the Imagination" de Hilber y Cohn-Vossen.

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