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Construcción de poliedros. Técnicas sencillas
El rectángulo áureo y el icosaedro


El icosaedro es uno de los cinco sólidos platónicos.

Los sólidos platónicos.
Presentación de los cinco sólidos platónicos: tetraedro, cubo, octaedro, icosaedro y dodecaedro.

Sus caras son triángulos equiláteros (al igual que el tetraedro y el icosaedro).

Con sus veinte caras triangulares tiene una belleza especial. Su construcción es sencilla y hemos propuesto hacerla con diferentes técnicas: su desarrollo, que mostramos al final de la página, es muy fácil de dibujar y montar con cartulina, lo hemos construído con tubos, con discos de cartulina, con el juego Acona Biconbi de Bruno Munari y el resultado siempre es bonito. También hemos hecho un icosaedro con tensegridad (tensegrity). Vale la pena probar cualquiera (o todas) de estas técnicas.

Icosaedro | matematicasVisuales
Icosaedro | matematicasVisuales

Si nos fijamos en un vértice vemos que cinco caras triangulares se unen en un vértice. Los lados que quedan libres forman un pentágono regular.

PARA SABER UN POCO MÁS

Esto nos podría sugerir que existe una relación entre el icosaedro y el dodecaedro. El dodecaedro es un sólido platónico cuyas caras son pentágonos. De hecho es así y su relación es profunda. En particular decimos que el icosaedro y el dodecaedro son poliedros duales. Puedes saber más de la dualidad entre los sólidos platónicos en la siguiente página.

Los sólidos platónicos: dualidad.
Estudiamos el concepto de dualidad de poliedros aplicado a los sólidos platónicos. El cubo y el octaedro son duales, el icosaedro y el dodecaedro son duales y el tetraedro decimos que es autodual.

Por otra parte, hemos visto que la diagonal de un pentágono y su lado están en proporción áurea. Puede no venir mal repasar cómo se dibuja un pentágono con regla y compás pues lo que hacemos es construir esta proporción áurea.

La diagonal de un pentágono regular y la razón áurea
La diagonal y el lado de un pentágono regular están en proporción áurea. El punto de intersección de dos diagonales de un pentágono regular divide a ambas en la razón áurea o 'en razón extrema y media'.
Dibujo de un pentágono regular con regla y compás
Podemos dibujar un pentágono regular dado uno de sus lados construyendo la razón áurea con regla y compás.

Con el lado y la diagonal de un pentágono podemos construir un rectángulo que llamamos rectángulo áureo.

La proporción áurea
A partir de la definición de Euclides de la división de un segmento en su razón media y extrema introducimos una propiedad de los rectángulos áureos y deducimos la ecuación y el valor de la proporción áurea.
Rectángulo áureo
Un rectángulo áureo se puede descomponer en un cuadrado y otro rectángulo áureo.

¿Hay alguna relación entre el icosaedro y los rectángulos áureos? Resulta que sí y da lugar a una construcción muy bonita e interesante.

Los doce vértices de un icosaedro están en tres rectángulos áureos que están en tres planos ortogonales dos a dos.

Un material excelente para hacer esta construcción es la madera contrachapada. En cada vértice hay clavado un alfiler y las aristas son hilo con goma.

Construcción poliedros| Icosaedro, tres rectangulos áureos en madera e hilo | matematicasVisuales

Para empezar quizás sea más sencillo hacerlo con cartulina. Os propongo unas plantillas con varios rectángulos áureos para descargar, imprimir, recortar y montar.

Taller Talento Matemático Zaragoza: desarrollo del cubo para descargar, download cube | matematicasVisuales
Construcción poliedros| Icosaedro, tres rectangulos áureos en madera e hilo | matematicasVisuales

Antes de mostraros algunos truquillos para hacer esta construcción con madera o DM vamos a hacer algunas comprobaciones para ver que realmente los vértices forman triángulos equiláteros.

REPASO

Necesitaremos el Teorema de Pitágoras, recordar la altura de un triángulo equilátero y alguna propiedad del número áureo.

Teorema de Pitágoras: Demostración inspirada en Euclides
Demostración dinámica e interactiva del teorema de Pitágoras, inspirada en la de Euclides.
Semejanza: Áreas de triángulos equiláteros.
Los triángulos equiláteros son figuras semejantes. Si calculamos el área de un solo triángulo equilátero, por semejanza, sabremos el área de cualquier triángulo equilátero. Repasaremos relaciones entre longitudes y áreas de figuras semejantes aplicadas a este caso particular.
La diagonal de un pentágono regular y la razón áurea
La diagonal y el lado de un pentágono regular están en proporción áurea. El punto de intersección de dos diagonales de un pentágono regular divide a ambas en la razón áurea o 'en razón extrema y media'.

Podemos ver la siguiente construcción con tres rectángulos áureos como el esqueleto de un octavo de icosaedro.

El triángulo que se muestra, por simetría, es un triángulo equilátero y es una cara del icosaedro.

Icosaedro: tres rectángulos áureos; ¿son los triángulos equiláteros? | matematicasVisuales

En la parte superior hemos marcado otro triángulo, en este caso rectángulo. Es otra media cara del icosaedro.

Si nos imaginamos la otra media cara está claro que el triángulo es isósceles, pero ¿es equilátero?

Icosaedro: tres rectángulos áureos; ¿son los triángulos equiláteros?, alguos cálculos | matematicasVisuales

Un manera sencilla de convencernos de esto es calcular la altura de uno de esos triángulos. Para hacer los cálculos más sencillos supondremos que los tres rectángulos tienen el lado corto que mide 1, el lado largo será el número áureo y el icosaedro tiene ahora arista que mide 2.

Expresamos la altura aplicando el Teorema de Pitágoras:

Recordamos esta relación de la proporción áurea:

Entonces:

Y con esta altura h el triángulo superior que hemos marcado es medio triángulo equilátero de arista 2.

La distancia entre dos vértices contiguos es siempre la misma y los veinte vértices son los vértices de un icosaedro.



Ahora vamos a mostrar algunos pasos para construir un modelo con madera o DM. Este ejemplo es desmontable:

Construcción poliedros| Icosaedro, tres rectangulos áureos en madera e hilo | matematicasVisuales

Empezamos haciendo el dibujo:

Construcción poliedros| Icosaedro, tres rectangulos áureos en madera e hilo | matematicasVisuales
Construcción poliedros| Icosaedro, tres rectangulos áureos en madera e hilo | matematicasVisuales

Construcción poliedros| Icosaedro, tres rectangulos áureos en madera e hilo | matematicasVisuales

Lijar con el papel de lija apoyado en una superficie plana es un truco muy bueno para que los lados de los rectángulos nos queden bien rectos.

Construcción poliedros| Icosaedro, tres rectangulos áureos en madera e hilo | matematicasVisuales
Construcción poliedros| Icosaedro, tres rectangulos áureos en madera e hilo | matematicasVisuales

Construcción poliedros| Icosaedro, tres rectangulos áureos en madera e hilo | matematicasVisuales
Construcción poliedros| Icosaedro, tres rectangulos áureos en madera e hilo | matematicasVisuales

Podemos usar diferentes materiales, por ejemplo, cartón-pluma:

Construcción poliedros| Icosaedro, tres rectangulos áureos en madera e hilo | matematicasVisuales

Si se tiene acceso a una máquina de corte láser se puede reproducir el modelo tantas veces como se quiera. Es un procedimiento muy rápido y preciso. Sara San Gregorio, que desarrolla, entre otros, el proyecto Microarquitectura en MediaLab-Prado de Madrid, digitalizó el dibujo y cortó este modelo:

Construcción poliedros| Icosaedro, tres rectangulos áureos en madera e hilo | matematicasVisuales
Construcción poliedros| Icosaedro, tres rectangulos áureos en madera e hilo | matematicasVisuales

PARA PENSAR UN POCO

A partir de esta construcción podemos calcular el volumen de un icosaedro:

El icosaedro y su volumen
Los veinte vértices de un icosaedro están en tres rectángulos áureos. A partir de esta propiedad podemos calcular el volumen del icosaedro.

Los tres planos que contienen los vértices del icosaedro están enlazados formando los Anillos de Borromeo.

Esta construcción con globos muestra los anillos de Borromeo. Inspirada en el vídeo del logotipo de la International Mathematical Union (IMU) que fue diseñado por John Sullivan (The Borromean Rings: a new logo for the IMU)

Construcción poliedros| Icosaedro. Anillos de Borromeo | matematicasVisuales

Construir el icosaedro con cartulina es sencillo. Durero nos muestra el desarrollo:

Construcción poliedros| Icosaedro. Desarrollo según Durero | matematicasVisuales

REFERENCIAS

La construcción del icosaedro con tres rectángulos áureos aparece en muchos libros, como en "Introducción a la Geometría" de Coxeter o en "Geometry and the Imagination" de Hilber y Cohn-Vossen.

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