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Pequeño dodecaedro estrellado: sobre una versión de Escher


Este trabajo es una metáfora del confinamiento que estamos pasando por la pandemia del coronavirus en marzo de 2020.

Se trata de una versión de litografía de Escher Gravity realizada en cartulina.

El poliedro en el que están encerrados los dragones se llama pequeño dodecaedro estrellado.

Podemos descargar la plantilla del dodecaedro estrellado:



Hacer copias con la impresora sobre cartulinas. Recomendable hacer 12 de un solo color o 2 copias de 6 colores diferentes. En este caso las caras del mismo color son opuestas.

Recortar y marcar las aristas. Fijarse en el corte que hay que hacer para poder doblar una de las aristas.

Construcción de poliedros | Pequeño dodecaedro estrellado | Escher | matematicasVisuales

Vamos pegando las solapas para formar el dodecaedro interior:

Construcción de poliedros | Pequeño dodecaedro estrellado | Escher | matematicasVisuales Construcción de poliedros | Pequeño dodecaedro estrellado | Escher | matematicasVisuales

Cuando tenemos montado el dodecaedro interior hacemos pruebas con los dragones. Los vértices exteriores se pegarán al final de todo ********.

Construcción de poliedros | Pequeño dodecaedro estrellado | Escher | matematicasVisuales

Como una referencia, estas son las siluetas de dos de estos dragones:

Construcción de poliedros | Pequeño dodecaedro estrellado | Escher | matematicasVisuales

Los dragones ya están en sus posiciones. Hay dos dragones de seis colores diferentes:

Construcción de poliedros | Pequeño dodecaedro estrellado | Escher | matematicasVisuales

Pegamos los vértices y las patas de los dragones y este es el resultado:

Construcción de poliedros | Pequeño dodecaedro estrellado | Escher | matematicasVisuales

Algunos detalles:

Construcción de poliedros | Pequeño dodecaedro estrellado | Escher | matematicasVisuales
Construcción de poliedros | Pequeño dodecaedro estrellado | Escher | matematicasVisuales
Construcción de poliedros | Pequeño dodecaedro estrellado | Escher | matematicasVisuales
Construcción de poliedros | Pequeño dodecaedro estrellado | Escher | matematicasVisuales


El pequeño dodecaedro estrellado es uno de los cuatro sólidos de Kepler-Poinsot.

Este poliedro era conocido antes de Kepler por artistas del Renacimiento. Se atribuye a Uccello una intarsia muy bonita.

Para saber más de algunas de estas representaciones del pequeño dodecaedro estrellado lo mejor es ver el blog de Ángel Requena Turismo matemático, por ejemplo, esta de San Marcos de Venecia

Ángel Requena, blog Turismo Matemático


Johanes Kepler describió dos poliedros estrellados, el pequeño dodecaedro estrellado y el gran dodecaedro estrellado (este también era conocido antes de Kepler. Por ejemplo, fue dibujado por Wenzel Jamnitzer).

El mérito de Kepler consiste en reconocer que estos poliedros son regulares en el sentido de que sus caras con polígonos regulares (en este caso estrellas pentagonales (que llamamos pentagramas) y que en cada vértice se unen el mismo número de ellas (en el caso del pequeño se unen de cinco en cinco y en el caso del grande, de tres en tres).

Construcción de poliedros | Pequeño dodecaedro estrellado | Escher | matematicasVisuales

Es decir, el pequeño dodecaedro estrellado tiene 12 caras que son pentagramas. Las caras, por tanto, se pueden cortar entre sí y el resultado es un poliedro que no es convexo (los cinco poliedros regulares o sólidos platónicos son convexos).

PARA SABER MÁS

El pentágono y el pentagrama están relacionados con la razón áurea. Siguiendo estos enlaces puedes repasar esta relación y, también, aprender a dibujar pentágonos: (para ver las animaciones se necesita un ordenador con Flash en el navegador)

La diagonal de un pentágono regular y la razón áurea
La diagonal y el lado de un pentágono regular están en proporción áurea. El punto de intersección de dos diagonales de un pentágono regular divide a ambas en la razón áurea o 'en razón extrema y media'.
La proporción áurea
A partir de la definición de Euclides de la división de un segmento en su razón media y extrema introducimos una propiedad de los rectángulos áureos y deducimos la ecuación y el valor de la proporción áurea.
Dibujo de un pentágono regular con regla y compás
Podemos dibujar un pentágono regular dado uno de sus lados construyendo la razón áurea con regla y compás.
Rectángulo áureo
Un rectángulo áureo se puede descomponer en un cuadrado y otro rectángulo áureo.



Para generar poliedros estrellados se prolongan las aristas y se expanden las caras. Así se obtienen los pentagramas a partir de un dodecaedro interior.

PARA SABER MÁS

Si quieres conocer un poco más el dodecaedro regular puedes seguir estos enlaces: (para ver las animaciones se necesita un ordenador con Flash en el navegador)

El dodecaedro regular
Algunas propiedades de este sólido platónico y su relación con la razón áurea. Construcción de dodecaedros (y otros poliedros relacionados) usando diferentes técnicas.
Leonardo da Vinci: Dibujo del dodecaedro para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su dodecaedro.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos: Dodecaedro regular
El primer dibujo del desarrollo plano del dodecaedro regular fue publicado por Durero en su libro 'Underweysung der Messung' ('Los cuatro libros de la medida'), el año 1525.
Volumen del dodecaedro regular
Descomponiendo adecuadamente un dodecaedro podemos obtener fácilmente su volumen.
Los sólidos platónicos.
Presentación de los cinco sólidos platónicos: tetraedro, cubo, octaedro, icosaedro y dodecaedro.
El icosaedro y su volumen
Los veinte vértices de un icosaedro están en tres rectángulos áureos. A partir de esta propiedad podemos calcular el volumen del icosaedro.



Otra manera más elemental de generar poliedros a partir de otros es añadiendo pirámides en sus caras.

PARA SABER MÁS

En algunas páginas hemos explorado esta técnica de añadir pirámides a un poliedro y obtener conclusiones interesantes (además de que los poliedros resultan muy bonitos).

Añadiendo cuatro tetraedros a un octaedro obtenemos una relación entre el volumen de los dos poliedros:

El volumen del octaedro
El volumen del octaedro es 4 veces el del tetraedro. El cálculo del volumen del octaedro es sencillo y así podemos obtener el volumen del tetraedro.

Se genera la 'Stella octangula' añadiendo ocho tetraedros a las ocho caras de un octaedro. Ese poliedro es el octaedro estrellado.

El volumen del octaedro estrellado (stella octangula)
El octaedro estrellado fue dibujado por Leonardo para el libro 'La divina proporción' de Luca Pacioli. Años más tarde, Kepler nombró este poliedro stella octangula.
Leonardo da Vinci: Dibujo del octaedro estrellado (Stella Octangula)  para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro estrellado (que Kepler llamó stella octangula).

Añadiendo pirámides a un cubo podemos obtener el dodecaedro rómbico

Dodecaedro rómbico (3): cubo con pirámides
Añadiendo seis pirámides a un cubo podemos construir nuevos poliedros que tienen veinticuatro caras triángulares. Para unas determinadas pirámides obtenemos un dodecaedro rómbico que tiene doce caras rómbicas.

El cuboctaedro estrellado también se puede generar así:

Cuboctaedro estrellado
El poliedro compuesto por un cubo y un octaedro es un cuboctaedro estrellado. O lo que es lo mismo, el cuboctaedro es el sólido común al cubo y al octaedro en este poliedro.



Si partimos de un dodecaedro regular podemos añadir 12 pirámides pentagonales en sus doce caras. Así, en general, obtenemos un poliedro de 60 caras que son triángulos isósceles.

Construcción de poliedros | Pequeño dodecaedro estrellado | Escher | matematicasVisuales

Para una determinada altura de esas pirámides, cinco de esos triángulos que rodean una cara pentagonal se colocan en el mismo plano y obtenemos el pequeño dodecaedro estrellado (que consideramos que tiene 12 caras que son pentagramas):

Construcción de poliedros | Pequeño dodecaedro estrellado | Escher | matematicasVisuales
Construcción de poliedros | Pequeño dodecaedro estrellado | Escher | matematicasVisuales


Si nos fijamos en otro ejemplo que pone Ángel Requena sobre un dodecaedro apuntado de San Marcos de Venecia vemos que, tal como él señala, no es un pequeño dodecaedro estrellado. En este caso los triángulos parecen ser equiláteros.

Ángel Requena, blog Turismo Matemático
Construcción de poliedros | Pequeño dodecaedro estrellado | Escher | matematicasVisuales

REFERENCIAS

Magnus Wenninger - 'Polyhedron Models', Cambridge University Press.
Peter R. Cromwell - 'Polyhedra', Cambridge University Press, 1999.
H.Martin Cundy and A.P. Rollet, 'Mathematical Models', Oxford University Press, Second Edition, 1961.
Blog de Ángel Requena Turismo matemático, con varios ejemplos,como el de San Marcos de Venecia

MÁS ENLACES

Los sólidos platónicos.
Presentación de los cinco sólidos platónicos: tetraedro, cubo, octaedro, icosaedro y dodecaedro.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos: Dodecaedro regular
El primer dibujo del desarrollo plano del dodecaedro regular fue publicado por Durero en su libro 'Underweysung der Messung' ('Los cuatro libros de la medida'), el año 1525.
Leonardo da Vinci: Dibujo del dodecaedro para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su dodecaedro.
Volumen del dodecaedro regular
Descomponiendo adecuadamente un dodecaedro podemos obtener fácilmente su volumen.
Leonardo da Vinci: Dibujo del dodecaedro para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su dodecaedro.
El dodecaedro y el cubo
Se puede inscribir un cubo en un dodecaedro y podemos ver el dodecaedro como un cubo con seis 'tejados' añadidos uno en cada cara. Estos seis tejados del dodecaedro se pueden plegar en un cubo.
El icosaedro y su volumen
Los veinte vértices de un icosaedro están en tres rectángulos áureos. A partir de esta propiedad podemos calcular el volumen del icosaedro.
La diagonal de un pentágono regular y la razón áurea
La diagonal y el lado de un pentágono regular están en proporción áurea. El punto de intersección de dos diagonales de un pentágono regular divide a ambas en la razón áurea o 'en razón extrema y media'.
Dibujo de un pentágono regular con regla y compás
Podemos dibujar un pentágono regular dado uno de sus lados construyendo la razón áurea con regla y compás.
La proporción áurea
A partir de la definición de Euclides de la división de un segmento en su razón media y extrema introducimos una propiedad de los rectángulos áureos y deducimos la ecuación y el valor de la proporción áurea.
Rectángulo áureo
Un rectángulo áureo se puede descomponer en un cuadrado y otro rectángulo áureo.
El volumen del octaedro
El volumen del octaedro es 4 veces el del tetraedro. El cálculo del volumen del octaedro es sencillo y así podemos obtener el volumen del tetraedro.
El volumen del octaedro estrellado (stella octangula)
El octaedro estrellado fue dibujado por Leonardo para el libro 'La divina proporción' de Luca Pacioli. Años más tarde, Kepler nombró este poliedro stella octangula.
Leonardo da Vinci: Dibujo del octaedro estrellado (Stella Octangula)  para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro estrellado (que Kepler llamó stella octangula).
Dodecaedro rómbico (3): cubo con pirámides
Añadiendo seis pirámides a un cubo podemos construir nuevos poliedros que tienen veinticuatro caras triángulares. Para unas determinadas pirámides obtenemos un dodecaedro rómbico que tiene doce caras rómbicas.
El volumen del cuboctaedro
El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices.
El volumen del cuboctaedro (II)
El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices. También se obtiene a partir de un octaedro truncando sus vértices
Cuboctaedro estrellado
El poliedro compuesto por un cubo y un octaedro es un cuboctaedro estrellado. O lo que es lo mismo, el cuboctaedro es el sólido común al cubo y al octaedro en este poliedro.
Rombicuboctaedro aumentado
A partir de un rombicuboctaedro podemos añadir pirámides a sus caras. Obtenemos un precioso poliedro que parece una estrella.
Leonardo da Vinci: Dibujo del rombicuboctaedro para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su rombicuboctaedro.
Leonardo da Vinci: Dibujo del rombicuboctaedro aumentado para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su rombicuboctaedro aumentado.
Leonardo da Vinci: Dibujo del rombicuboctaedro aumentado para La Divina Proporción de Luca Pacioli (2)
En esta segunda versión del rombicuboctaedro aumentado podemos separar las pirámides y ver el interior de la figura. Luca Pacioli escribió que 'podemos ver el interior solo con nuestra imaginación'. La aplicación interactiva solo nos ayuda a ello.
Pseudo rombicuboctaedro
También llamado girobicúpula cuadrada elongada. Es muy parecido al rombicuboctaedro pero es menos simétrico.