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Sabemos que el dodecaedro rómbico es un poliedro que está relacionado con los panales de las abejas. La base de las celdas (que Kepler llamó la quilla) está formada por tres rombos. Kepler sabía que con doce de esos rombos se podía construir un poliedro. A ese poliedro lo llamamos dodecaedro rómbico.

Dodecaedro rómbico (1): los panales de las abejas
La Humanidad ha estdo siempre fascinada por cómo las abejas construyen sus panales. Kepler relacionó la forma de los panales con un poliedro que llamamos dodecaedro rómbico.
Dodecaedro rómbico (2): Un problema de optimización en torno a los panales de las abejas
Queremos cerrar un prisma hexagonal como lo hacen las abejas, usando tres rombos iguales. ¿Qué forma deben tener estos tres rombos para cerrar el prisma con la menor superficie?

En esta página consideramos un punto de vista diferente.

Una manera de obtener nuevos poliedros es partir de un poliedro conocido y añadir pirámides en cada una de sus caras.

Es una técnica bien conocida. Por ejemplo, Luca Pacioli estudió varios de estos poliedros en su libro "De Divine Proportione" (publicado en torno a 1500).

Si partimos de un cubo y le añadimos seis pirámides obtenemos un poliedro que podemos llamar "cubo piramidado". Pacioli escribió sobre este poliedro que él llamó "exacedron elevatus":

"[El hexaedro elevado sólido o hueco] está compuesto por seis pirámides laterales cuadriláteras exteriores, que se ofrecen a nuestra vista según la situación del cuerpo. En cuanto al cubo interior sobre el que se apoyan dichas pirámides, y que sólo puede ser imaginado por el intelecto pues se oculta a nuestra vista por la superposición de dichas pirámides, sus seis superficies cuadradas son bases de las mencionadas seis pirámides, que son todas de la misma altura, y se ocultan a la vista y circundan a dicho cubo."
('La divina proporción' de Luca Pacioli, página 92, traducción al castellano por Juan Calatrava, Editorial Akal, cuarta edition, 2008)

Los dibujos para este libro fueron realizados por su amigo Leonardo da Vinci:

Leonardo da Vinci: pyramidated cube. Editorial Akal | matematicasvisuales
Leonardo da Vinci: pyramidated cube. Editorial Akal | matematicasvisuales

Jugando con la transparencia nosotros podemos ver el cubo que hay en el interior:

Cubo con pirámides y dodecaedro rómbico: transparencia, podemos ver el cubo en el interior | matematicasvisuales

También podemos separar las pirámides:

Cubo con pirámides y dodecaedro rómbico: podemos separar las pirámides | matematicasvisuales

Un hecho interesante es que, para unas determinadas pirámides, podemos hacer que estas veinticuatro caras triangulares se transformen en doce rombos pues los planos de caras adyacentes coinciden. Obtenemos un nuevo poliedro que es el dodecaedro rómbico.

Cubo con pirámides y dodecaedro rómbico: doce caras rómbicas | matematicasvisuales

Cubo con pirámides y dodecaedro rómbico: doce caras rómbicas | matematicasvisuales

Vamos a calcular la diagonal D de uno de esos rombos:

Cubo con pirámides y dodecaedro rómbico: calculando la diagonal de uno de los rombos  | matematicasvisuales
Cubo con pirámides y dodecaedro rómbico: calculando la diagonal de uno de los rombos  | matematicasvisuales
| Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron: calculando la diagonal de uno de los rombos  | matematicasvisuales

Resulta que estos rombos son los mismos que obtuvimos cuando estudiábamos los panales de las abejas.

Dodecaedro rómbico (2): Un problema de optimización en torno a los panales de las abejas
Queremos cerrar un prisma hexagonal como lo hacen las abejas, usando tres rombos iguales. ¿Qué forma deben tener estos tres rombos para cerrar el prisma con la menor superficie?


Si consideramos que el cubo tiene arista 1, la arista del dodecaedro rómbico es:

Cubo con pirámides y dodecaedro rómbico: calculando la arista del dodecaedro rómbico | matematicasVisuales

Estos rombos están relacionados con las proporciones del tamaño estándar del papel DinA.

Proporción del papel estándar DIN A
El papel que solemos utilizar tiene un tamaño estándar. Estos rectángulos de papel, que llamamos DIN A, son semejantes y cada tamaño se obtiene del anterior partiéndolo por la mitad.


Podemos usar trigonometría para calcular los ángulos de uno de estos rombos:

Cubo con pirámides y dodecaedro rómbico: calculando los ángulos usando trigonometría | matematicasVisuales
Cubo con pirámides y dodecaedro rómbico: calculando los ángulos usando trigonometría | matematicasVisuales

Johannes Kepler fue el primer matemático que escribió sobre el dodecaedro rómbico. El siguiente dibujo está tomado de su libro "Harmonices Mundi":

Cubo con pirámides y dodecaedro rómbico: Kepler en su libro Harmonices Mundi | matematicasvisuales

Algunos cristales de granate tiene la forma de un dodecaedro rómbico:

Cubo con pirámides y dodecaedro rómbico: cristal de granate con la forma de dodecaedro rómbico | matematicasvisuales

REFERENCIAS

Johannes Kepler - 'De Nive Sexangula' (Tenemos una versión bilingüe en latin e inglés en 'The Six Cornered Snowflake: a New Year's gif' - Paul Dry Books, Philadelphia, Pennsylvania, 2010. Con notas y comentarios muy interesantes de Owen Gingerich y Guillermo Bleichmar. Las ilustraciones las realizó la matemática española Capi Corrales Rodrigáñez.
D'Arcy Thompson - On Growth And Form - Cambridge University Press, 1942. Traducción española de Ana María Rubio Díez y Mario X. Ruiz-González publicada por Cambridge University Press.
Hugo Steinhaus - Mathematical Snapshots - Oxford University Press - Third Edition. Una traducción española fue hecha por Luis Bou García y fue publicada por la Editorial Salvat con el título 'Instantáneas Matemáticas' en 1986.
Magnus Wenninger - 'Polyhedron Models', Cambridge University Press.
Peter R. Cromwell - 'Polyhedra', Cambridge University Press, 1999.
H.Martin Cundy and A.P. Rollet, 'Mathematical Models', Oxford University Press, Second Edition, 1961.
W.W. Rouse Ball and H.S.M. Coxeter - 'Matematical Recreations & Essays', The MacMillan Company, 1947.

MÁS ENLACES

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El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices.
El volumen del cuboctaedro (II)
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El volumen del octaedro
El volumen del octaedro es 4 veces el del tetraedro. El cálculo del volumen del octaedro es sencillo y así podemos obtener el volumen del tetraedro.
El volumen del octaedro truncado
El octaedro truncado es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un octaedro truncando sus vértices. Su volumen se puede calcular a partir del volumen del octaedro.
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Cubo achaflanado
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El dodecaedro y el cubo
Se puede inscribir un cubo en un dodecaedro y podemos ver el dodecaedro como un cubo con seis 'tejados' añadidos uno en cada cara. Estos seis tejados del dodecaedro se pueden plegar en un cubo.
Piritoedro
Si plegamos los seis tejadillos del dodecaedro dentro de un cubo queda un espacio vacío en el interior. Este espacio es un dodecaedro no regular con todas sus caras pentagonales iguales. Este dodecaedro es un caso particular de piritoedro.