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Hemos visto que un dodecaedro rómbico se puede hacer con un cubo y seis pirámides. Entonces es sencillo calcular el volumen de este poliedro.

Dodecaedro rómbico (4): Dodecaedro rómbico formado por un cubo y seis sextos de cubo
Podemos construir un dodecaedro rómbico añadiendo seis pirámides a un cubo. Este hecho tiene interesantes consecuencias.

También sabemos que tiene una propiedad muy interesante: es un poliedro que tesela el espacio.

Dodecaedro rómbico (5): El dodecaedro rómbico es un poliedro que tesela el espacio.
Podemos llenar el espacio con dodecaedros rómbicos sin dejar huecos.

En esta página vamos a ver, desde otro punto de vista, la relación entre el cubo y el dodecaedro rómbico.

Cubo con seis pirámides | matematicasvisuales

Podemos colocar seis pirámides en una cadena como ésta:

Dodecaedro rómbico 'plegado' dentro de un cubo | matematicasvisuales

Cundy y Rollet escribieron: "La cadena de pirámides resultante puede plegarse hacia adentro para formar un cubo o puede plegarse hacia afuera, colocarse sobre otro cubo para formar el dodecaedro rómbico." (Cundy y Rollet, pag. 122.)

Dodecaedro rómbico 'plegado' dentro de un cubo | matematicasvisuales
Dodecaedro rómbico 'plegado' dentro de un cubo | matematicasvisuales

Dodecaedro rómbico 'plegado' dentro de un cubo | matematicasvisuales
Dodecaedro rómbico 'plegado' dentro de un cubo | matematicasvisuales

Plegando hacia adentro para formar un cubo:

Dodecaedro rómbico 'plegado' dentro de un cubo | matematicasvisuales
Dodecaedro rómbico 'plegado' dentro de un cubo | matematicasvisuales
Dodecaedro rómbico 'plegado' dentro de un cubo | matematicasvisuales
Dodecaedro rómbico 'plegado' dentro de un cubo | matematicasvisuales

Éste es un modelo que he hecho con cartulina:

Cubo y dodecaedro rómbico, construcción con cartulina | matematicasvisuales

REFERENCIAS

Johannes Kepler - 'De Nive Sexangula' (Tenemos una versión bilingüe en latin e inglés en 'The Six Cornered Snowflake: a New Year's gif' - Paul Dry Books, Philadelphia, Pennsylvania, 2010. Con notas y comentarios muy interesantes de Owen Gingerich y Guillermo Bleichmar. Las ilustraciones las realizó la matemática española Capi Corrales Rodrigáñez.
D'Arcy Thompson - On Growth And Form - Cambridge University Press, 1942. Traducción española de Ana María Rubio Díez y Mario X. Ruiz-González publicada por Cambridge University Press.
Hugo Steinhaus - Mathematical Snapshots - Oxford University Press - Third Edition. Una traducción española fue hecha por Luis Bou García y fue publicada por la Editorial Salvat con el título 'Instantáneas Matemáticas' en 1986.
Magnus Wenninger - 'Polyhedron Models', Cambridge University Press.
Peter R. Cromwell - 'Polyhedra', Cambridge University Press, 1999.
H.Martin Cundy and A.P. Rollet, 'Mathematical Models', Oxford University Press, Second Edition, 1961.
W.W. Rouse Ball and H.S.M. Coxeter - 'Matematical Recreations & Essays', The MacMillan Company, 1947.

MÁS ENLACES

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Construcción de poliedros. Cuboctaedro y dodecaedro rómbico: Taller de Talento Matemático de Zaragoza. Curso 2013-2014.
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El volumen del cuboctaedro
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El volumen del cuboctaedro (II)
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El volumen del octaedro
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El volumen del octaedro truncado
El octaedro truncado es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un octaedro truncando sus vértices. Su volumen se puede calcular a partir del volumen del octaedro.
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Si plegamos los seis tejadillos del dodecaedro dentro de un cubo queda un espacio vacío en el interior. Este espacio es un dodecaedro no regular con todas sus caras pentagonales iguales. Este dodecaedro es un caso particular de piritoedro.