matematicas visuales home | visual math home

Ya sabemos que Pappus de Alejandría (hacia el año 320) estaba interesado en la forma de los panales de abeja. Él pensó que el prisma hexagonal era una solución óptima para las abejas. Es decir, que esta estructura hexagonal que tienen los panales minimiza la cantidad de cera que las abejas necesitan para construir sus celdillas. Estas celdas contienen más miel en relación con su superficie.

Dodecaedro rómbico (1): los panales de las abejas
La Humanidad ha estdo siempre fascinada por cómo las abejas construyen sus panales. Kepler relacionó la forma de los panales con un poliedro que llamamos dodecaedro rómbico.

Pappus escribió:

"Las abejas conocen el hecho, que está a su servicio, de que el hexágono es mayor que el cuadrado y que el triángulo y que contendrá más miel para la misma cantidad de material usado para construir estas figuras". (Podemos leer más sobre Pappus en la nota 16 del libro 'The Six Cornered Snowflake' or in o en el libro de Sir Thomas Heath 'A History of Greek Mathematics' [Dover, 1981]).

Pappus consideró solo la forma del prisma hexagonal pero no la forma del fondo de la celda. Este fondo de la celdilla está formado por tres rombos iguales.

El problema de que el prisma hexagonal es óptimo o isoperimétrico se conoce con la Conjetura del Panal. Esta conjetura permaneció sin probar hasta mediados del siglo XX (Laszlo Fejes Toth, Thomas Hale). Además Toth probó que las bases de las celdillas no eran formas óptimas.

En esta página vamos a estudiar un problema de optimización mucho más simple: queremos cerrar el prisma hexagonal como hacen las abejas, usando tres rombos iguales.

Entonces, ¿cuál es la forma de estos tres rombos iguales que cierran el prisma hexagonal con la mínima superficie?

Podemos jugar con el aplet y ver diferentes maneras de cerrar el prisma hexagonal, más apuntado o más aplanado:

Una propiedad de optimización relacionada con los panales de las abejas y el dodecaedro rómbico | matematicasVisuales

Una propiedad de optimización relacionada con los panales de las abejas y el dodecaedro rómbico | matematicasVisuales

Si cambiamos la forma la superficie cambia también.

Una propiedad de optimización relacionada con los panales de las abejas y el dodecaedro rómbico | matematicasVisuales
Una propiedad de optimización relacionada con los panales de las abejas y el dodecaedro rómbico | matematicasVisuales

Y queremos minimizar esa superficie.

Sin embargo, cuando cambiamos la forma de la figura, el volumen no cambia.

En el applet, podemos abrir y cerrar el vértice para ver la razón:

Una propiedad de optimización relacionada con los panales de las abejas y el dodecaedro rómbico | matematicasVisuales

Para cerrar la celda cortamos tres pirámides del prisma hexagonal y las ponemos juntas para formar el vértice (que Kepler llamó la quilla). Entonces el volumen es el mismo pues lo que quitas de un lado lo pones en otro.

Una propiedad de optimización relacionada con los panales de las abejas y el dodecaedro rómbico | matematicasVisuales
Una propiedad de optimización relacionada con los panales de las abejas y el dodecaedro rómbico | matematicasVisuales

En resumen, cuando cambiamos la forma del cerramiento el volumen de la figura no cambia pero si cambia la superficie. Y la superficie es lo que queremos minimizar.

Podríamos calcular la superficie lateral del prisma hexagonal pero no vamos a necesitar ese cálculo. Nuestro problema no dependerá de la altura del prisma y podemos suponer simplemente que es suficientemente alto. Nuestro problema está relacionado con los tres rombos que cierran el prisma.

Una propiedad de optimización relacionada con los panales de las abejas y el dodecaedro rómbico | matematicasVisuales

R es el radio de la circunferencia circunscrita al hexágono y también es la longitud de su lado y h es la altura desde el vértice del rombo a un vértice del hexágono. h es nuestra variable independiente. Cambiando h cambiamos la forma y la superficie necesaria para cerrar el prisma (pero no el volumen de la figura).

Una propiedad de optimización relacionada con los panales de las abejas y el dodecaedro rómbico | matematicasVisuales

Podemos hacer nuestro cálculos considerando sólo uno de los rombos puesto que los tres son iguales.

Si empezamos con dos de los rectángulos laterales del prisma lo primero que podemos hacer es cortar dos triángulos rectánguos. Estos triángulos t tienen base R y altura h.

Una propiedad de optimización relacionada con los panales de las abejas y el dodecaedro rómbico | matematicasVisuales

Entonces el área de estos triángulos t es:

Cada uno de los rombos esta formado por dos triángulos r. Tienen base d y altura a.

Una propiedad de optimización relacionada con los panales de las abejas y el dodecaedro rómbico | matematicasVisuales
Una propiedad de optimización relacionada con los panales de las abejas y el dodecaedro rómbico | matematicasVisuales

La diagonal d es fácil de calcular pues es una diagonal del hexágono:

Necesitamos s que está relacionado con R, el radio de la circunferencia circunscrita:

Ahora podemos aplicar el teorema de Pitágoras para calcular a:

Entonces el área del triángulo r es:

Podemos simplificar un poco:

El área del rombo que queremos añadir es el doble del área de este triángulo.

Ahora ya podemos calcular el área de nuestra figura. Consideremos solo uno de los rombos y lo que haces es quitar dos triángulos t y añadir dos triángulos r.

La función que queremos optimizar (sin considerar el área lateral del prisma que no es relevante y pensando en solo un rombo) es:

Una propiedad de optimización relacionada con los panales de las abejas y el dodecaedro rómbico | matematicasVisuales

Para obtener el mínimo de esta función podemos usar la derivada:

Y el mínimo es:





Podemos comprobar la relación que hay entre las dos diagonales de estos rombos:

Una propiedad de optimización relacionada con los panales de las abejas y el dodecaedro rómbico | matematicasVisuales

Este rombo es un rombo especial. Con doce de estos rombos se puede construir un poliedro que llamamos dodecaedro rómbico.

Johannes Kepler fue el primer matemático que escribió sobre el dodecaedro rómbico y pensó que las abejas cierran sus celdillas con rombos que son como los del dodecaedro rómbico.

"Intrigado por estos rombos [los tres rombos iguales que forman la quilla de una celda en un panal] empecé a miran en la geometría para ver si algún cuerpo que se pareciera a los cinco sólidos regulares y a los catorce sólidos Arquimedianos podrían construirse exclusivamente con rombos. Descubrí dos, uno relacionado con el cubo y el octaedro, el otro con el dodecaedro y el icosaedro. (El mismo cubo puede ser considerado un tercero, puesto que es como dos tetraedros unidos)." (Johannes Kepler, 'De Nive Sexangula'). [Nota: Actualmente se considera que hay trece sólidos arquimedianos y no catorce como dice Kepler].

Una propiedad de optimización relacionada con los panales de las abejas y el dodecaedro rómbico | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

En la siguiente versión del applet podemos jugar con la transparencia:

REFERENCIAS

Johannes Kepler - 'De Nive Sexangula' (Tenemos una versión bilingüe en latin e inglés en 'The Six Cornered Snowflake: a New Year's gif' - Paul Dry Books, Philadelphia, Pennsylvania, 2010. Con notas y comentarios muy interesantes de Owen Gingerich y Guillermo Bleichmar. Las ilustraciones las realizó la matemática española Capi Corrales Rodrigáñez.
D'Arcy Thompson - On Growth And Form - Cambridge University Press, 1942. Traducción española de Ana María Rubio Díez y Mario X. Ruiz-González publicada por Cambridge University Press.
Hugo Steinhaus - Mathematical Snapshots - Oxford University Press - Third Edition. Una traducción española fue hecha por Luis Bou García y fue publicada por la Editorial Salvat con el título 'Instantáneas Matemáticas' en 1986.
Magnus Wenninger - 'Polyhedron Models', Cambridge University Press.
Peter R. Cromwell - 'Polyhedra', Cambridge University Press, 1999.
H.Martin Cundy and A.P. Rollet, 'Mathematical Models', Oxford University Press, Second Edition, 1961.
W.W. Rouse Ball and H.S.M. Coxeter - 'Matematical Recreations & Essays', The MacMillan Company, 1947.

MÁS ENLACES

Construcción de poliedros. Cuboctaedro y dodecaedro rómbico: Taller de Talento Matemático de Zaragoza. Curso 2013-2014.
Material para la sesión sobre construcción de poliedros (Zaragoza el 9 de Mayo de 2014). Empezaremos con el tetraedro, el cubo y el octaedro y presentaremos el cuboctaedro y el dodecaedro rómbico. Relacionaremos este poliedro con los panales de abeja. Construimos una cajita que es un dodecaedro rómbico.
El volumen del cuboctaedro
El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices.
El volumen del cuboctaedro (II)
El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices. También se obtiene a partir de un octaedro truncando sus vértices
El volumen del octaedro
El volumen del octaedro es 4 veces el del tetraedro. El cálculo del volumen del octaedro es sencillo y así podemos obtener el volumen del tetraedro.
El volumen del octaedro truncado
El octaedro truncado es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un octaedro truncando sus vértices. Su volumen se puede calcular a partir del volumen del octaedro.
El octaedro truncado tesela el espacio
El octaedro truncado es un poliedro que tiene la propiedad de teselar el espacio: con poliedros congruentes podemos rellenar el espacio sin dejar huecos.
Leonardo da Vinci: Dibujo del octaedro truncado para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro truncado.
Leonardo da Vinci: Dibujo del cuboctaedro para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su cuboctaedro.
Cubo achaflanado
Achaflanando un cubo, truncando sus aristas, podemos obtener un poliedro semejante (pero no igual) al octaedro truncado. También podemos obtener un dodecaedro rómbico.
El dodecaedro y el cubo
Se puede inscribir un cubo en un dodecaedro y podemos ver el dodecaedro como un cubo con seis 'tejados' añadidos uno en cada cara. Estos seis tejados del dodecaedro se pueden plegar en un cubo.
Piritoedro
Si plegamos los seis tejadillos del dodecaedro dentro de un cubo queda un espacio vacío en el interior. Este espacio es un dodecaedro no regular con todas sus caras pentagonales iguales. Este dodecaedro es un caso particular de piritoedro.