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Densidad del empaquetamiento óptimo de esferas



Cuando Kepler trató de contestar a la cuestión técnica que le planteó Harriot sobre cómo almacenar balas de cañon en un barco pesó que la manera tradicional que usan los fruteros para apilar naranjas era óptima.

Esta afirmación es lo que conocemos conjetura de Kepler. Fue muy difícil de probar. Al final del siglo XX, Thomas Hales encontró la demostración con la ayuda de ordenadores.

Homenaje a Kepler:Las balas de cañón y el dodecaedro rómbico
Kepler relaciona el dodecaedro rómbico con el apilamiento de balas de cañón. Si se comprime un determinado apilamiento, las balas se deforman en este poliedro.


Lo que no es tan complicado es calcular la densidad del empaquetamiento óptimo de esferas. De hecho, será muy sencillo si usamos algunas propiedades básicas del dodecaedro rómbico.

Para calcular la densidad del empaquetamiento solemos considear una 'celdad unidad', un poliedro que tesele el espacio. Típicamente usamos prismas, en particular, cubos.

Dentro de esta celda unidad habrá alguna esfera o partes de esferas. Podremos calcular la proporción entre el volumen de las partes ocupadas por las esferas y el volumen de la celdad unidad.

En algunos casos no es tan sencillo visualizar qué partes de esfera hay dentro de la celda unidad.

Con nuestro conocimiento del dodecaedro rómbico, esta tarea va a resultar bastante sencilla.

Por dos razones:

En primer lugar, vamos a considerar nuestro dodecaedro rómbico la celda unidad. Dentro de este poliedro solo hay una esfera.

En segundo lugar, nos resulta sencillo calcular el volumen de la celda unidad y el volumen de la esfera. Secondly, it is easy to calculate the volume of the unit cell and the volume of the sphere.

Para mostrar esta situación fabriqué un poliedro semitransparente y puse dentro una bola roja:

Kepler y las balas de cañón. El dodecaedro trapezo-rómbico. |matematicasVisuales
Kepler y las balas de cañón. El dodecaedro trapezo-rómbico. |matematicasVisuales
Kepler y las balas de cañón. El dodecaedro trapezo-rómbico. |matematicasVisuales

Para calcular el volumen del dodecaedro rómbico sólo tenemos que saber que su volumen es el doble del volumen del cubo inscrito.

Para simplificar, podemos suponer que el cubo inscrito tiene arista igual a 2. Entonces:

El volumen de nuestra celda unidad es el doble del volumen del cubo. Llamaremos a ese volumen D.

De este modo, no puede ser más sencillo calcular el volumen de la celda unidad.

Ahora vamos a calcular el volumen de la esfera. Si nos fijamos en el modelo, nos podemos dar cuenta de que la esfera inscrito toca las aristas del cubo inscrito, es la esfera media (o interesfera) del cubo. Las 12 aristas del cubo son tangentes a esta esfera.

Podemos calcular el radio de esta esfera:

Sea S el volumen de la esfera:

Entonces, la densidad del empaquetamiento óptimo de esferas es: Then, the density of the optimal sphere packing is:

Un cálculo bastante sencillo.

REFERENCIAS

Johannes Kepler - 'Strena seu De Nive Sexangula' ('Regalo de Año nuevo. Sobre el copo de nieve hexagonal', Traducción y notas de Ana García Azcárate y Ángel Requena Fraile. Editorial Aviraneta, 2011. Este libro se puede descargar gratuitamente gracias a la generosidad de sus autores a través del excelente sitio web de Ángel Requena 'Turismo Matemático' en su sección Turismo Matemático. Libros descargables.
Johannes Kepler - 'De Nive Sexangula' (Tenemos una versión bilingüe en latin e inglés en 'The Six Cornered Snowflake: a New Year's gif' - Paul Dry Books, Philadelphia, Pennsylvania, 2010. Con notas y comentarios muy interesantes de Owen Gingerich y Guillermo Bleichmar. Las ilustraciones las realizó la matemática española Capi Corrales Rodrigáñez.
D'Arcy Thompson - On Growth And Form - Cambridge University Press, 1942. Traducción española de Ana María Rubio Díez y Mario X. Ruiz-González publicada por Cambridge University Press.
Hugo Steinhaus - Mathematical Snapshots - Oxford University Press - Third Edition. Una traducción española fue hecha por Luis Bou García y fue publicada por la Editorial Salvat con el título 'Instantáneas Matemáticas' en 1986.
Magnus Wenninger - 'Polyhedron Models', Cambridge University Press.
Peter R. Cromwell - 'Polyhedra', Cambridge University Press, 1999.
H.Martin Cundy and A.P. Rollet, 'Mathematical Models', Oxford University Press, Second Edition, 1961.
W.W. Rouse Ball and H.S.M. Coxeter - 'Matematical Recreations & Essays', The MacMillan Company, 1947.
W. Hope-Jones, 'The Rhombic Dodecahedron for the Young', The Mathematical Gazette, 1936.
Colin Maclaurin, 'On the Bases of the Cells wherein the Bees deposite their Honey', 1743.
D'Arcy Thompson, 'On Growth And Form' - Cambridge University Press, 1942.
L. Fejes Tóth, 'What the bees know and what they do not know', Bull. Amer. Math. Soc. 70 (1964). In Project Euclid
D. Wallo, V. Duris, L. Rumanova, 'Geometry of bee cells rediscovered', The Electronic Journal of Mathematics and Technology.
Hermann Weil, 'Symmetry', pp. 83-92, Princeton University Press, 1952.

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