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El dodecaedro regular es un sólido platónico bien conocido desde la Antigüedad.

Leonardo da Vinci dibujó dos dodecaedros para el libro de Luca Pacioli 'La Divina Proporción'.

Leonardo da Vinci: Dibujo del dodecaedro para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su dodecaedro.

Durero publicó el desarrollo plano del dodecaedro por primera vez en 1525.

Desarrollos planos de cuerpos geométricos: Dodecaedro regular
El primer dibujo del desarrollo plano del dodecaedro regular fue publicado por Durero en su libro 'Underweysung der Messung' ('Los cuatro libros de la medida'), el año 1525.

Kepler estuvo interesado en este cuerpo geométrico (por ejemplo, podemos ver este dibujo en su libro 'Harmonices Mundi - La Armonía del mundo', (1619) (Se puede leer el libro original en Posner Memorial Collection):

Dodecaedro: Kepler drawing of a dodecahedron in 'Harmonices Mundi - The Harmony of the World' | matematicasVisuales

Ya hemos estudiado algunas propiedades de este bello poliedro en matemáticasVisuales:

El dodecaedro regular
Algunas propiedades de este sólido platónico y su relación con la razón áurea. Construcción de dodecaedros (y otros poliedros relacionados) usando diferentes técnicas.

También sabemos calcular el volumen del dodecaedro (que no parece tan fácil y que luego volveremos a revisar en esta página).

Volumen del dodecaedro regular
Descomponiendo adecuadamente un dodecaedro podemos obtener fácilmente su volumen.

Ahora vamos a estudiar algunas relaciones entre el dodecaedro y el cubo.

Un cubo se puede inscribir en un dodecaedro de modo que cada arista del cubo esté en una cara del dodecaedro uniendo dos vértices alternos de cada cara. (Ball and Coxeter, p. 131)

Dodecaedro: un cubo dentro de un dodecaedro | matematicasVisuales

Kepler ya nos mostró esta construcción y vio un dodecaedro como un cubo con seis tejadillos añadidos, uno en cada cara del cubo:

Dodecaedro: dibujo de Kepler de un dodecaedro con un cubo en su interior | matematicasVisuales

En la aplicación interactiva de esta página podemos ver cómo estos seis tejadillos del dodecaedro se pueden plegar dentro de un cubo:

Dodecaedro y cubo: dodecaedro hueco plegándose dentro de un cubo | matematicasVisuales
Dodecaedro y cubo: dodecaedro hueco plegándose dentro de un cubo | matematicasVisuales
Dodecaedro y cubo: dodecaedro hueco plegándose dentro de un cubo | matematicasVisuales
Dodecaedro y cubo: dodecaedro hueco plegándose dentro de un cubo | matematicasVisuales
Dodecaedro y cubo: dodecaedro hueco plegándose dentro de un cubo | matematicasVisuales

Os animamos a construir vuestra propia figura pues nada sustituye la manipulación de un objeto real:

Dodecaedro y cubo: construcción | matematicasVisuales
Dodecaedro y cubo: construcción | matematicasVisuales
Dodecaedro y cubo: construcción | matematicasVisuales
Dodecaedro y cubo: construcción | matematicasVisuales
Dodecaedro y cubo: construcción | matematicasVisuales
Dodecaedro y cubo: construcción | matematicasVisuales
Dodecahedron and cube: building | matematicasVisuales

Vamos a volver a calcular el volumen de un dodecaedro de arista 1. Para ello nos será útil recordar algunas propiedades de la proporción áurea:

La diagonal de un pentágono regular y la razón áurea
La diagonal y el lado de un pentágono regular están en proporción áurea. El punto de intersección de dos diagonales de un pentágono regular divide a ambas en la razón áurea o 'en razón extrema y media'.
Volumen del dodecaedro regular
Descomponiendo adecuadamente un dodecaedro podemos obtener fácilmente su volumen.

El volumen de un dodecaedro es el volumen de un cubo más seis veces el volumen de un tejadillo.

La longitud de la arista de un cubo es igual a la de la diagonal del pentágono, por lo tanto podemos calcular el volumen del cubo:

Dodecaedro y cubo: cube interior | matematicasVisuales

Ahora vamos a calcular el volumen del tejadillo.

Dodecaedro y cubo: calculando el volumen del tejadillo | matematicasVisuales

Una propiedad que nos va a ayudar es que el tejadillo tiene una altura de 1/2.

Podemos construir un tejado con la ayuda de Zome. Esto nos ayuda a ver más claras las medidas.

Dodecaedro y cubo: construcción del tejado con Zome | matematicasVisuales
Dodecahedron and cube: roof built with zome | matematicasVisuales
Dodecahedron and cube: roof built with zome | matematicasVisuales

Podemos considerar que el tejado tiene dos partes:

Dodecaedro y cubo: calculando el volumen del tejado | matematicasVisuales
Dodecaedro y cubo: calculando el volumen del tejado | matematicasVisuales
Dodecaedro y cubo: calculando el volumen del tejado | matematicasVisuales
Dodecaedro y cubo: calculando el volumen del tejado | matematicasVisuales

Por lo tanto, el volumen de un tejadillo es:

Y el volumen del dodecaedro de arista 1 es:

Dentro de un dodecaedro se pueden inscribir cinco cubos. El resultado es esta preciosa figura:

Dodecaedro: cinco cubos dentro de un dodecaedro | matematicasVisuales
Dodecaedro: cinco cubos dentro de un dodecaedro | matematicasVisuales

REFERENCIAS

Hugo Steinhaus - 'Mathematical Snapshots' - Oxford University Press - Third Edition.
Magnus Wenninger - 'Polyhedron Models', Cambridge University Press.
Peter R. Cromwell - 'Polyhedra', Cambridge University Press, 1999.
H.Martin Cundy and A.P. Rollet, 'Mathematical Models', Oxford University Press, Second Edition, 1961.
W.W. Rouse Ball and H.S.M. Coxeter - 'Matematical Recreations & Essays', The MacMillan Company, 1947.

MÁS ENLACES

Leonardo da Vinci: Dibujo del dodecaedro para La Divina Proporción de Luca Pacioli
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La diagonal de un pentágono regular y la razón áurea
La diagonal y el lado de un pentágono regular están en proporción áurea. El punto de intersección de dos diagonales de un pentágono regular divide a ambas en la razón áurea o 'en razón extrema y media'.
Dibujo de un pentágono regular con regla y compás
Podemos dibujar un pentágono regular dado uno de sus lados construyendo la razón áurea con regla y compás.
Aproximación de Durero de un pentágono regular
En su libro 'Underweysung der Messung' Durero dibujó un pentágono no regular con regla y compás con apertura fija. Es una construcción simple y una muy buena aproximación de un pentágono regular.
La proporción áurea
A partir de la definición de Euclides de la división de un segmento en su razón media y extrema introducimos una propiedad de los rectángulos áureos y deducimos la ecuación y el valor de la proporción áurea.
Rectángulo áureo
Un rectángulo áureo se puede descomponer en un cuadrado y otro rectángulo áureo.
Espiral áurea
La espiral áurea se contruye a partir de rectángulos áureos y es una aproximación simple a una espiral equiangular.