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Cinco tetraedros en un dodecaedro


La construcción del compuesto de cinco tetraedros de modo que sus vértices estén en los veinte vértices de un dodecaedro regular es una preciosidad.

Estoy convencido de que todo aficionado a la construcción de poliedros se plantea hacerla en algún momento.

Hay varias técnicas para hacer esta construcción. En esta página vamos a ver varias de ellas. También se estudiarán algunas relaciones entre el dodecaedro, el cubo y el tetraedro que nos permitirán entender mejor esta figura.

En el vídeo se muestra mi último trabajo. Se trata de una combinación de la técnica de construcción usando vértices impresos con impresora 3d con tensegridad. Entiendo que es una construcción original y es la tercera que hago con esta combinación de técnicas (las otras dos son: icosaedro y cuboctaedro, tal como se pueden ver en la página de tensegridad. Un reto: ¿cómo se monta?.

Construcción de poliedros. Impresión 3d: Tetraedro
Construcción del tetraedro con impresión 3d. El tetraedro es un poliedro autodual. El centro del tetraedro.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Tensegrity
Tensegrity es la construcción de estructuras con tensores o elementos elásticos. Es un placer construir y tocar estos poliedros elásticos.


La primera vez que vi esta construcción fue en 1982 cuando pude conseguir el libro 'Matemáticas más fáciles con manualidades de papel' que Ediciones Dístein publicó en 1975. Prácticamente, ya estaba agotada esta edición.

Cinco tetraedros en un dodecaedro. |matematicasVisuales

Este libro es la traducción de dos obras. La segunda parte es la traducción de 'Polyhedron Models for the Classroom' de Magnus J. Wenninger, uno de los expertos más reconocidos en construcción de poliedros.

Allí leí la técnica de copiar caras con ayuda de alfileres que describo en la página sobre construcción de modelos con cartulina.

Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Cara a cara con cartulina
Si recortamos las caras sueltas de los poliedros podemos unirlas con pegamento y construir poliedros. Puedes descargar varias plantillas con diferentes polígonos. Es una técnica muy sencilla para construir poliedros muy vistosos e interesantes.

Actualmente, esta técnica ya no es tan útil pues tenemos acceso a impresoras y fotocopiadoras.



Estas son las instrucciones que da Wenninger:

Cinco tetraedros en un dodecaedro. |matematicasVisuales

No es tan difícil de construir y el resultado es muy bonito. La fotografías no sustituyen la experiencia de manipular este modelo (como es habitual).

Dodecaedro: cinco tetraedros en un dodecaedro, modelo hecho con cartulina de colores | matematicasVisuales

Podemos descargar el desarrollo de las piezas en el excelente sitio Korthalsates.

La técnica que yo usé fue construir todos los vértices usando un modelo semejante al primero de Korthalsates. Es decir, se pega la arista 'larga' con la cara para formar el vértice y el resto de las aristas tienen solapa. Después se van uniendo los vértices pegando solapa con solapa. Estas uniones quedan en el interior y dan mucha resistencia al modelo. Otros prefieren unir solapa con cara. Se pueden usar refuerzos interiores para alinear más correctamente algunas aristas de los tetraedros.



Años más tarde conocí el modelo realizado con origami modular. Se pueden ver las instrucciones de la construcción de cinco tetraedros en un dodecaedro. Una obra maestra del origami modular.

Dodecaedro: five tetrahedra inside a dodecahedron, origami | matematicasVisuales
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Origami modular
El origami modular es una técnica preciosa que consiste en plegar varias unidades independientes que se unen sin pegamento para formar poliedros.


Para construir esta figura con Zome se necesitan las piezas verdes:

Dodecaedro: Cinco tetraedros en un dodecaedro, modelo Zome | matematicasVisuales
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Zome
Zome es un conjunto de piezas de plástico ideal para construir poliedros desmontables. De las infinitas posibilidades de Zome, aquí lo usamos para calcular el volumen del dodecaedro.


La misma construcción hecha con tubos de aluminio, tacos, hembrillas y bridas:

Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Tubos
Tubos de plástico o aluminio unidos son muy útiles para construir esqueletos de poliedros.


Usando tubos de plástico de colores unidos con vértices impresos con impresora 3d se obtiene una figura muy vistosa.

Si con gomas elásticas unimos los vértices obtenemos una tensegridad.

Cinco tetraedros en un dodecaedro. |matematicasVisuales
Cinco tetraedros en un dodecaedro. |matematicasVisuales


La belleza de estas figuras salta a la vista. Pero ¿cómo se puede justificar la estructura?¿Qué enseñanzas matemáticas podemos obtener de su construcción?

La clave de está en que dentro del dodecaedro podemos inscribir un cubo. Dicho de otra manera, un dodecaedro puede verse como un cubo al que hemos añadido seis 'tejadillos'.

Este hecho era conocido por Euclides (Proposición 17 del Libro XIII de los 'Elementos') y fue dibujada por Kepler en su libro 'Harmonices Mundi':

Dodecaedro: Un cubo con tejadillos según Kepler | matematicasVisuales
Dodecaedro: Un cubo con tejadillos hecho con cartulina | matematicasVisuales

Esta construcción es, desde luego, muy interesante. Una de sus consecuencias es que nos permite calcular el volumen del dodecaedro de un modo bastante sencillo:

El dodecaedro y el cubo
Se puede inscribir un cubo en un dodecaedro y podemos ver el dodecaedro como un cubo con seis 'tejados' añadidos uno en cada cara. Estos seis tejados del dodecaedro se pueden plegar en un cubo.
Volumen del dodecaedro regular
Descomponiendo adecuadamente un dodecaedro podemos obtener fácilmente su volumen.


Inscrito en el cubo podemos poner un tetraedro:

Un tetraedro inscrito en un cubo | matematicasVisuales
Volumen del tetraedro
El volumen del tetraedro es un tercio del paralelepípedo que lo contiene.

La siguiente imagen muestra un dodecaedro con un cubo inscrito que tiene, a su vez, un tetraedro inscrito (usando Zome):

Dodecaedro: un tetraedro en un dodecaedro, modelo Zome | matematicasVisuales

Un tetraedro inscrito en un dodecaedro (usando Zome):

Dodecaedro: un tetraedro en un dodecaedro, modelo Zome | matematicasVisuales

Si nos fijamos en esta relación entre el dodecaedro, el cubo y el tetraedro podemos calcular la longitud de la arista del tetraedro inscrito en un dodecaedro de arista unidad:

Cada arista del cubo es una diagonal de una cara pentagonal del dodecaedro. Luego podremos poner cinco cubos en un dodecaedro y, en cada cubo, un tetraedro. Así obtendremos nuestra figura de cinco tetraedros en un dodecaedro.



Se puede construir esta preciosa figura del compuesto de cinco cubos inscritos en un dodecaedro:

Dodecaedro: cinco cubos en un dodecaedro, modelo de cartulina | matematicasVisuales
Dodecaedro: cinco cubos en un dodecaedro, modelo de cartulina | matematicasVisuales

Este precioso modelo fue publicado por Tarquin hace muchos años y todavía puede adquirirse. El título es Advanced Polyhedra 3: The Compound of Five Cubes'. Muy recomendable.

Para terminar, podemos decir que inscrito en cada cubo se pueden colocar dos tetraedros inscritos. Estos dos tetraedros se cruzan y están en 'posición recíproca'. Forman la figura bien conocida desde tiempo inmemorial y que Kepler bautizó como stella octangula.

Stella octangula | matematicasVisuales
El volumen del octaedro estrellado (stella octangula)
El octaedro estrellado fue dibujado por Leonardo para el libro 'La divina proporción' de Luca Pacioli. Años más tarde, Kepler nombró este poliedro stella octangula.

Por lo tanto, se pueden inscribir diez tetraedros en un dodecaedro.

REFERENCIAS

Hugo Steinhaus - Mathematical Snapshots - Oxford University Press - Third Edition. Una traducción española fue hecha por Luis Bou García y fue publicada por la Editorial Salvat con el título 'Instantáneas Matemáticas' en 1986.
Magnus Wenninger - 'Polyhedron Models', Cambridge University Press.
Peter R. Cromwell - 'Polyhedra', Cambridge University Press, 1999.
H.Martin Cundy and A.P. Rollet, 'Mathematical Models', Oxford University Press, Second Edition, 1961.
W.W. Rouse Ball and H.S.M. Coxeter - 'Matematical Recreations & Essays', The MacMillan Company, 1947.

MÁS ENLACES

Exposición: Los sólidos platónicos.
Exposición sobre los cinco sólidos platónicos: tetraedro, cubo, octaedro, icosaedro y dodecaedro. Construcción de los poliedros encajados. El Omnipoliedro. Algunas propiedades básicas que se pueden aprender de esta construcción.
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La diagonal de un pentágono regular y la razón áurea
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La proporción áurea
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Desarrollos planos de cuerpos geométricos: Dodecaedro regular
El primer dibujo del desarrollo plano del dodecaedro regular fue publicado por Durero en su libro 'Underweysung der Messung' ('Los cuatro libros de la medida'), el año 1525.
Volumen del tetraedro
El volumen del tetraedro es un tercio del paralelepípedo que lo contiene.
En casa: Cálculo del volumen de un tetraedro (1).
Podemos inscribir un tetraedro en un cubo. A partir de esta construcción calculamos el volumen de un tetraedro.
En casa: Cálculo del volumen de un tetraedro (2).
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Piritoedro
Si plegamos los seis tejadillos del dodecaedro dentro de un cubo queda un espacio vacío en el interior. Este espacio es un dodecaedro no regular con todas sus caras pentagonales iguales. Este dodecaedro es un caso particular de piritoedro.
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Recursos: Construcción de poliedros con cartulina y gomas elásticas
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Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Cara a cara con cartulina
Si recortamos las caras sueltas de los poliedros podemos unirlas con pegamento y construir poliedros. Puedes descargar varias plantillas con diferentes polígonos. Es una técnica muy sencilla para construir poliedros muy vistosos e interesantes.
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