Con esta página empieza una nueva serie sobre construcción de poliedros con impresora 3d.
Mostraremos pequeños vértices que nos servirán para construir esqueletos de poliedros. Para las aristas usaremos varillas de plástico de colores (de las que se usan para
sujetar globos hinchados).
El primero es el tetraedro:
Para modelar estos vértices he usado OpenSCAD, un programa excelente y libre.
Es interesante considerar el centro del tetraedro (en este caso, el baricentro, el incentro y el circuncentro son el mismo punto).
Esta estructura tiene mucho interés también para la Química pues hay moléculas con este tipo de disposición de sus átomos.
Este es el modelo del vértice central hecho con OpenSCAD:
El resultado de imprimir esa pieza central y los cuatro vértices que se necesitan es éste:
Hay varias maneras de calcular la posición de este punto central. Aquí sólo vamos a recordar algunos resultados principales. Una manera de empezar es partir del volumen
del tetraedro, que ya hemos calculado de varias maneras:
El volumen del tetraedro es un tercio del paralelepípedo que lo contiene.
El volumen del octaedro es 4 veces el del tetraedro. El cálculo del volumen del octaedro es sencillo y así podemos obtener el volumen del tetraedro.
Entonces la altura de un tetraedro regular es:
Las alturas del tetraedro pasan por su centro. La distancia entre un vértice y el centro resulta ser:
Esta distancia es también la medida del radio de la esfera circunscrita (la esfera que pasa por los cuatro vértices del tetraedro):
Entonces el radio de la esfera inscrita, la que es tangente a las cuatro caras del tetraedro, es:
Cada poliedro tiene otro poliedro que se conoce como poliedro dual o recíproco. Los vértices de uno se corresponden con las caras del poliedro dual y viceversa.
Si contamos el número de caras, aristas y vértices que tiene un tetraedro:
Podemos ver que tiene el mismo número de caras que vértices. Las caras y los vértices son intercambiables. Es decir que el dual de un tetraedro es otro tetraedro. El tetraedro es un poliedro autodual.
Una manera de construir el poliedro dual de un poliedro regular es conectar los centros de las caras adyacentes.
Uniendo los centros de las caras de un tetraedro obtenemos otro tetraedro.
Esta construcción es conocida desde tiempos remotos. Johannes Kepler publicó la siguiente ilustración en su libro "Harmonices Mundi" en 1619:
No es dificil calcular la longitud de la arista del tetraedro pequeño (l) en relación con la del tetraedro grande (L). Luego veremos que hay argumentos más sencillos pero ya que tenemos calculados los radios de
las esferas inscritas y circunscritas podemos usarlos para esta tarea.
El radio de la esfera circunscrita del tetraedro pequeño tiene que ser igual al radio de la esfera inscrita del grande:
Entonces:
Otra manera puede ser fijarse en las siguientes imágenes y así deducir la relación entre la arista del tetraedro grande y el pequeño:
Los tres vértices del triángulo pequeño son tres baricentros de tres caras del tetraedro grande.
El triángulo mediano tiene los tres lados que pasan por esos baricentros de las caras. Si recordamos que esos baricentros de las caras triángulares están a una distancia
de cada vértice que es 2/3 de la altura, por semejanza podemos deducir:
Entonces,
REFERENCIAS
OpenSCAD es un excelente programa libre para modelar figuras en tres dimensiones.
Magnus Wenninger - 'Polyhedron Models', Cambridge University Press.
Hugo Steinhaus - Mathematical Snapshots - Oxford University Press - Third Edition.
Peter R. Cromwell - 'Polyhedra', Cambridge University Press, 1999.
H.Martin Cundy and A.P. Rollet, 'Mathematical Models', Oxford University Press, Second Edition, 1961.
W.W. Rouse Ball and H.S.M. Coxeter - 'Matematical Recreations & Essays', The MacMillan Company, 1947.
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