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Impresión 3d: Tetraedro
El tetraedro es el poliedro dual del tetraedro (autodual)

Con esta página empieza una nueva serie sobre construcción de poliedros con impresora 3d.

Mostraremos pequeños vértices que nos servirán para construir esqueletos de poliedros. Para las aristas usaremos varillas de plástico de colores (de las que se usan para sujetar globos hinchados).

El primero es el tetraedro:

Construcción de poliedros. Impresión 3d: tetraedro | matematicasVisuales

Para modelar estos vértices he usado OpenSCAD, un programa excelente y libre.

Construcción de poliedros. Impresión 3d: tetraedro modelado con OpenSCAD | matematicasVisuales
Construcción de poliedros. Impresión 3d: tetraedro modelado con OpenSCAD | matematicasVisuales

Construcción de poliedros. Impresión 3d: tetraedro | matematicasVisuales

El centro del tetraedro

Es interesante considerar el centro del tetraedro (en este caso, el baricentro, el incentro y el circuncentro son el mismo punto).

Construcción de poliedros. Impresión 3d: tetraedro | matematicasVisuales

Esta estructura tiene mucho interés también para la Química pues hay moléculas con este tipo de disposición de sus átomos.

Este es el modelo del vértice central hecho con OpenSCAD:

Construcción de poliedros. Impresión 3d: tetraedro, vértice central modelado con OpenSCAD | matematicasVisuales

El resultado de imprimir esa pieza central y los cuatro vértices que se necesitan es éste:

Construcción de poliedros. Impresión 3d: tetraedro | The central piece 3d printed | matematicasVisuales

Hay varias maneras de calcular la posición de este punto central. Aquí sólo vamos a recordar algunos resultados principales. Una manera de empezar es partir del volumen del tetraedro, que ya hemos calculado de varias maneras:

Volumen del tetraedro
El volumen del tetraedro es un tercio del paralelepípedo que lo contiene.
El volumen del octaedro
El volumen del octaedro es 4 veces el del tetraedro. El cálculo del volumen del octaedro es sencillo y así podemos obtener el volumen del tetraedro.

Entonces la altura de un tetraedro regular es:

Las alturas del tetraedro pasan por su centro. La distancia entre un vértice y el centro resulta ser:

Esta distancia es también la medida del radio de la esfera circunscrita (la esfera que pasa por los cuatro vértices del tetraedro):

Entonces el radio de la esfera inscrita, la que es tangente a las cuatro caras del tetraedro, es:

El tetraedro es un poliedro autodual

Cada poliedro tiene otro poliedro que se conoce como poliedro dual o recíproco. Los vértices de uno se corresponden con las caras del poliedro dual y viceversa.

Si contamos el número de caras, aristas y vértices que tiene un tetraedro:

Podemos ver que tiene el mismo número de caras que vértices. Las caras y los vértices son intercambiables. Es decir que el dual de un tetraedro es otro tetraedro. El tetraedro es un poliedro autodual.

Una manera de construir el poliedro dual de un poliedro regular es conectar los centros de las caras adyacentes.

Uniendo los centros de las caras de un tetraedro obtenemos otro tetraedro.

Construcción de poliedros. Impresión 3d: tetraedro | matematicasVisuales

Esta construcción es conocida desde tiempos remotos. Johannes Kepler publicó la siguiente ilustración en su libro "Harmonices Mundi" en 1619:

Construcción de poliedros. Impresión 3d: tetraedro Harmonices Mundi por Johannes Kepler | matematicasVisuales

No es dificil calcular la longitud de la arista del tetraedro pequeño (l) en relación con la del tetraedro grande (L). Luego veremos que hay argumentos más sencillos pero ya que tenemos calculados los radios de las esferas inscritas y circunscritas podemos usarlos para esta tarea.

El radio de la esfera circunscrita del tetraedro pequeño tiene que ser igual al radio de la esfera inscrita del grande:

Construcción de poliedros. Impresión 3d: tetraedro | matematicasVisuales

Entonces:

Construcción de poliedros. Impresión 3d: tetraedro | matematicasVisuales

Otra manera puede ser fijarse en las siguientes imágenes y así deducir la relación entre la arista del tetraedro grande y el pequeño:

Construcción de poliedros. Impresión 3d: tetraedro | matematicasVisuales
Construcción de poliedros. Impresión 3d: tetraedro | matematicasVisuales

Los tres vértices del triángulo pequeño son tres baricentros de tres caras del tetraedro grande.

El triángulo mediano tiene los tres lados que pasan por esos baricentros de las caras. Si recordamos que esos baricentros de las caras triángulares están a una distancia de cada vértice que es 2/3 de la altura, por semejanza podemos deducir:

Construcción de poliedros. Impresión 3d: tetraedro | matematicasVisuales

Entonces,

REFERENCIAS

OpenSCAD es un excelente programa libre para modelar figuras en tres dimensiones.
Magnus Wenninger - 'Polyhedron Models', Cambridge University Press.
Gijs Korthals Altes: Modelos de poliedros en cartulina para descargar, recortar y pegar.
Carlos A. Furuti: Desarrollos de poliedros con mapas del mundo. Muchos desarrollos con proyecciones cartograficas. Una combinación muy buena.
Hugo Steinhaus - Mathematical Snapshots - Oxford University Press - Third Edition.
Peter R. Cromwell - 'Polyhedra', Cambridge University Press, 1999.
H.Martin Cundy and A.P. Rollet, 'Mathematical Models', Oxford University Press, Second Edition, 1961.
W.W. Rouse Ball and H.S.M. Coxeter - 'Matematical Recreations & Essays', The MacMillan Company, 1947.

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