matematicas visuales home | visual math home
Construcciones de poliedros. Técnicas sencillas.
Taller de Talento Matemático (Zaragoza)

Sesión del Taller de Talento Matemático de Zaragoza por Roberto Cardil.

Viernes 13 de Abril de 2012 a las 18:15.

Objetivos:

El primer objetivo es pasar un rato agradable compartiendo técnicas que hayamos usado para construir poliedros con diferentes materiales.

Estas construcciones nos proporcionan un placer estético y nos ayudan a desarrollar nuestra visión espacial. Un segundo objetivo es mostrar que también nos pueden ayudar a obtener resultados matemáticos.

En esta sesión nos centraremos en los sólidos platónicos, en particular en los más sencillos: cubo, tetraedro y octaedro. Repasaremos los volúmenes de estos poliedros y veremos cómo su construcción nos facilita la tarea. Veremos algunas construcciones del icosaedro y del dodecaedro.

Aprenderemos a construir un tetraedro con origami modular.

Un guión de lo que podemos ver es el siguiente:

Índice
1.- Tetraedro (y un poco, el cubo)

La primera vez que me encontré con un tetraedro por la calle fue cuando la gaseosería que había enfrente de mi casa empezó a vender horchata en un nuevo envase de papel parecido al de la siguiente figura. Este invento lo había hecho Erik Wallenberg, un ingeniero sueco y lo había desarrollado la empresa TetraPack. Viendo las imágenes te puedes imaginar como se fabricaba.

PARA PENSAR UN POCO

Estos envases tetraédricos tenían muchas ventajas (¿Te imaginas cuáles?), sin embargo, actualmente prácticamente no se utilizan. ¿Qué inconvenientes tienen los envases tetraédricos?

Los envases de horchata y de leche contenían medio litro. Nos interesa calcular las dimensiones del tetraedro y su volumen.

El tetraedro es una pirámide y su volumen es un tercio del área de la base por la altura. Así podemos calcular su volumen pero vamos a ver una construcción (que ya nos enseñó Kepler) que nos va a facilitar la tarea.

Se puede construir un tetraedro dentro de un cubo:

Construcción poliedros|  | matematicasVisuales

Los desarrollos del tetraedro y del cubo son los más sencillos de dibujar. Si el cubo tiene 10 cm. de arista, ¿cuál es la arista del tetraedro?

Construcción poliedros|  | matematicasVisuales

PARA PENSAR UN POCO

A partir de esta construcción podemos calcular el volumen de un tetraedro de arista 1:

Volumen del tetraedro | matematicasvisuales
Volumen del tetraedro
El volumen del tetraedro es un tercio del paralelepípedo que lo contiene.

Hagamos un tetraedro con tubos. La estructura es rígida.

PARA PENSAR UN POCO

Si hacemos un tetraedro con tubos pero cada arista es de dos tubos de largo. ¿Qué relación tienen los volúmenes de estos dos tetraedros?

Volveremos a esta construcción más adelante.

Una técnica con muchas posibilidades es el origami modular. Construiremos este tetraedro con dos unidades o módulos:

Construcción poliedros|  | matematicasVisuales

PARA PENSAR UN POCO

Los dos primeros dobleces se muestran en la siguiente imagen. ¿Podemos justificar que el doblez es medio triángulo equilátero?

Construcción poliedros|  | matematicasVisuales

Estos son los pasos para construir el tetraedro. Los pendientes son un regalo de la profesora Inmaculada Ordóñez Ríos que colabora en el sitio web Matematicas Interactivas y Manipulativas y que fue quién me enseñó esta figura.

Si nos fijamos en los cuatro vértices podemos hacer una construcción de este tipo:

En resumen, el tetraedro es el poliedro platónico que tiene 4 vértices, 6 aristas y cuatro caras que son triángulos equiláteros.

2.- Octaedro

Podemos pensar que el octaedro está formado por dos pirámides de base cuadrada unidas. Su desarrollo es fácil de construir pues sus caras son triángulos equiláteros.

Construcción poliedros|  | matematicasVisuales

Si nos fijamos en los seis vértices podemos hacer una construcción de este tipo:

Una figura de origami modular sencilla e instructiva está formada por los tres cuadrados en planos ortogonales dos a dos que contienen las 12 aristas y los 6 vértices del octaedro regular.

PARA PENSAR UN POCO

A partir de esta construcción podemos calcular el volumen de un octaedro:

El volumen del octaedro | matematicasvisuales
El volumen del octaedro
El volumen del octaedro es 4 veces el del tetraedro. El cálculo del volumen del octaedro es sencillo y así podemos obtener el volumen del tetraedro.

Ya sabemos calcular el volumen de un octaedro y el de un tetraedro. Hay una relación sencilla entre estos dos volúmenes que esta construcción nos ayuda a entender:

3.- Icosaedro

El icosaedro tiene veinte triángulos equiláteros. Su desarrollo, por tanto, es sencillo de construir.

Durero

Con gomas: lámpara icosaedro

Construcción poliedros|  | matematicasVisuales

Construcción poliedros|  | matematicasVisuales

La siguiente construcción es muy bonita e interesante. Los vértices de un icosaedro están en tres rectángulos áureos que están en tres planos ortogonales dos a dos.

Esta construcción está hecha con madera pero se puede hacer con cartón o cartón pluma. En cada vértice hay un alfiler y las aristas son hilo con goma.

Icosaedro, tres rectangulos áureos en madera e hilo | matematicasVisuales

PARA PENSAR UN POCO

Está claro, por la construcción de la figura, que algunos triángulos son equiláteros. ¿Lo son todos? ¿Cómo lo podemos justificar?

Los tres planos que contienen los vértices del icosaedro están enlazados formando los Anillos de Borromeo.

Esta construcción con globos muestra los anillos de Borromeo. Inspirada en el vídeo del logotipo de la International Mathematical Union (IMU) que fue diseñado por John Sullivan (The Borromean Rings: a new logo for the IMU)

Construcción poliedros| Icosaedro. Anillos de Borromeo | matematicasVisuales

El octaedro también tiene los vértices en tres planos paralelos. Podemos usar esta propiedad común para construir un icosaedro dentro de un octaedro con tubos.

El icosaedro también inspira una construcción sencilla de tensegridad.

Construcción poliedros|  | matematicasVisuales
4.- Dodecaedro

Desarrollo del dodecaedro

Desarrollo del dodecaedro según Durero  | matematicasVisuales
Construcción poliedros| Dodecaedro y Kepler | matematicasVisuales
Conclusión

¡Disfrutad construyendo poliedros!

MÁS ENLACES

El cubo, el octaedro, el tetraedro y otros poliedros: Taller de Talento Matemático de Zaragoza. Curso 2014-2015.
Material para la sesión sobre poliedros (Zaragoza el 7 de Noviembre de 2014). Estudiaremos el volumen del octaedro y del tetraedro y veremos que el octaedro truncado nos puede ayudar en esta tarea. Construimos una cubo de cartulina con un tetraedro de origami modular en su interior.
Poliedros duales: el cubo y el octaedro. Taller de Talento Matemático de Zaragoza. Curso 2015-2016.
Material para la sesión del TTM (Zaragoza el 23 de Octubre de 2015) . Estudiamos la dualidad de poliedros y, en particular, los poliedros platónicos duales. Construimos una cubo de cartulina con un octaedro de origami modular.
El cuboctaedro y el octaedro truncado. Taller de Talento Matemático de Zaragoza, España. Curso 2016-2017 XIII edición.
Material para la sesión del TTM (Zaragoza, el 21 de Octubre de 2016). Con plantillas para descargar y construir varias figuras geométricas.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: desarrollos en cartulina
Podemos dibujar los desarrollos planos en cartulina y construir poliedros uniendo solapas con pegamento.
Recursos: Construcción de poliedros con cartulina y gomas elásticas
Si recortamos las caras sueltas de los poliedros podemos unirlas con gomas elásticas o pegamento y construir poliedros más complicados y con varios colores.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Cara a cara con cartulina
Si recortamos las caras sueltas de los poliedros podemos unirlas con pegamento y construir poliedros. Puedes descargar varias plantillas con diferentes polígonos. Es una técnica muy sencilla para construir poliedros muy vistosos e interesantes.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Discos de cartulina
Técnica simple para construir poliedros pegando discos de cartulina.
Acona Biconbi, diseño de Bruno Munari
El diseñador italiano Bruno Munari pensó 'Acona Biconbi' como un trabajo de escultura. También es un juego de construcción con el que podemos jugar con colores y formas.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Tubos
Tubos de plástico o aluminio unidos son muy útiles para construir esqueletos de poliedros.
Construcción de poliedros : El rectángulo áureo y el icosaedro
Con tres rectángulos áureos podemos construir un icosaedro.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Origami modular
El origami modular es una técnica preciosa que consiste en plegar varias unidades independientes que se unen sin pegamento para formar poliedros.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Tensegrity
Tensegrity es la construcción de estructuras con tensores o elementos elásticos. Es un placer construir y tocar estos poliedros elásticos.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Zome
Zome es un conjunto de piezas de plástico ideal para construir poliedros desmontables. De las infinitas posibilidades de Zome, aquí lo usamos para calcular el volumen del dodecaedro.
Sección hexagonal de un cubo
Podemos cortar un cubo por la mitad con un plano de modo que la sección sea un hexágono regular. Ocho de estos medios cubos forman un octaedro truncado.
El octaedro truncado formado por medios cubos
Con medios cubos podemos formar el octaedro truncado. El cubo tesela el espacio y también el octaedro truncado. También calculamos su volumen.
Leonardo da Vinci: Dibujo del octaedro truncado para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro truncado.
El volumen del octaedro truncado
El octaedro truncado es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un octaedro truncando sus vértices. Su volumen se puede calcular a partir del volumen del octaedro.
Volumen del tetraedro
El volumen del tetraedro es un tercio del paralelepípedo que lo contiene.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos: Tetraedro regular
El primer dibujo del desarrollo plano del tetraedro regular fue publicado por Durero en su libro 'Underweysung der Messung' ('Los cuatro libros de la medida'), el año 1525.
El volumen del octaedro
El volumen del octaedro es 4 veces el del tetraedro. El cálculo del volumen del octaedro es sencillo y así podemos obtener el volumen del tetraedro.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (1): Prismas y sus desarrollos planos
Estudiamos los prismas y vemos cómo se pueden desarrollar en un plano. Se explica el cálculo del área lateral de un prisma recto.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (2): Prismas cortados por un plano oblicuo
Prismas con base regular o irregular cortados por un plano no paralelo a la base y sus desarrollos planos.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (5): Pirámides y troncos de pirámide
Desarrollos planos de pirámides y de troncos de pirámide de base regular con diferentes números de lados.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (6): Pirámides truncadas por un plano oblicuo
Desarrollos planos de pirámides truncadas por un plano oblicuo.