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El cuboctaedro y el octaedro truncado
Taller de Talento Matemático (Zaragoza)

Sesión del Taller de Talento Matemático de Zaragoza por Roberto Cardil.

Programada pra el viernes día 21 de Octubre de 2016 a las 18:15 en Zaragoza.

Objetivos:

Queremos pasar un rato hablando de poliedros. En esta ocasión los protagonistas son dos poliedros de la familia de los sólidos arquimedianos: el cuboctaedro y el octaedro truncado.

El objetivo principal es construir alguna figura geométrica y animar a la construcción de poliedros con diferentes técnicas sencillas (papiroflexia, cartulina, tubos, gomas, Zome, etc.).

Queremos construir poliedros para disfrutar de su belleza, mejorar nuestra percepción espacial y obtener conclusiones matemáticas.

La mayor parte del tiempo la dedicaremos a hacer una construcción. Necesitaremos tijera, regla y pegamento. También papel y lápiz.

Taller Talento Matemático Zaragoza: necesitamos regla, tijera y pegamento | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Aquellos que ya habéis construido algún poliedro en vuestra casa lo podéis traer para animar a todos a construir.

Esta sesión tiene un espíritu parecido a las otras sesiones que hemos realizado sobre poliedros para el Taller de Talento Matemático de Zaragoza:

Poliedros duales: el cubo y el octaedro. Taller de Talento Matemático de Zaragoza. Curso 2015-2016.
Material para la sesión del TTM (Zaragoza el 23 de Octubre de 2015) . Estudiamos la dualidad de poliedros y, en particular, los poliedros platónicos duales. Construimos una cubo de cartulina con un octaedro de origami modular.
El cubo, el octaedro, el tetraedro y otros poliedros: Taller de Talento Matemático de Zaragoza. Curso 2014-2015.
Material para la sesión sobre poliedros (Zaragoza el 7 de Noviembre de 2014). Estudiaremos el volumen del octaedro y del tetraedro y veremos que el octaedro truncado nos puede ayudar en esta tarea. Construimos una cubo de cartulina con un tetraedro de origami modular en su interior.
Construcción de poliedros. Cuboctaedro y dodecaedro rómbico: Taller de Talento Matemático de Zaragoza. Curso 2013-2014.
Material para la sesión sobre construcción de poliedros (Zaragoza el 9 de Mayo de 2014). Empezaremos con el tetraedro, el cubo y el octaedro y presentaremos el cuboctaedro y el dodecaedro rómbico. Relacionaremos este poliedro con los panales de abeja. Construimos una cajita que es un dodecaedro rómbico.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Taller de Talento Matemático de Zaragoza
Material para la sesión sobre construcción de poliedros que se realizó en Zaragoza el 13 de Abril de 2012. El objetivo es disfrutar haciendo poliedros y obtener alguna conclusión matemática a partir de esas construcciones.

La construcción que vamos a hacer en cartulina está inspirada en este detalle que vi en la barandilla de un pantano (si no estoy equivocado, se trata el pantano del Atazar, en Madrid):

Taller Talento Matemático Zaragoza: Platonic polyhedra: Tetrahedron | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales
Taller Talento Matemático Zaragoza: Platonic polyhedra: Tetrahedron | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Muy semejante a la que se encuentra en la calle de Francisco Silvela, junto a la Avenidad de América en Madrid:

Taller Talento Matemático Zaragoza: Platonic polyhedra: Tetrahedron | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales
Taller Talento Matemático Zaragoza: Platonic polyhedra: Tetrahedron | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales
Taller Talento Matemático Zaragoza: Platonic polyhedra: Tetrahedron | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

1.- Esqueleto de cuboctaedro y octaedro truncado

Esta es la construcción que vamos a hacer.

Taller Talento Matemático Zaragoza: Platonic polyhedra: Tetrahedron | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Podemos verla como el esqueleto de dos poliedros que vamos a estudiar: en el hueco interior, el cuboctaedro y el exterior de la figura delimita un octaedro truncado.

Estos dos poliedros pertenecen a la familia de los sólidos arquimedianos (por el famoso matemático griego de la antigüedad, Arquímedes).

Están emparentados con dos poliedros platónicos, el cubo y el octaedro.

INVESTIGA

Puedes buscar información sobre estas dos familias de poliedros: los sólidos platónicos y los arquimedianos.

2.- El cubo y el octaedro son poliedros duales

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Ya hemos tratado el concepto de dualidad de poliedros en dos sesiones anteriores del Taller de Talento Matemático. Puedes obtener algo de información mirando los apartados 2 y 6 de la sesión del curso 2015-16:

Poliedros duales: el cubo y el octaedro. Taller de Talento Matemático de Zaragoza. Curso 2015-2016.
Material para la sesión del TTM (Zaragoza el 23 de Octubre de 2015) . Estudiamos la dualidad de poliedros y, en particular, los poliedros platónicos duales. Construimos una cubo de cartulina con un octaedro de origami modular.

También en los apartados 3 y 4 del curso 2013-14:

Construcción de poliedros. Cuboctaedro y dodecaedro rómbico: Taller de Talento Matemático de Zaragoza. Curso 2013-2014.
Material para la sesión sobre construcción de poliedros (Zaragoza el 9 de Mayo de 2014). Empezaremos con el tetraedro, el cubo y el octaedro y presentaremos el cuboctaedro y el dodecaedro rómbico. Relacionaremos este poliedro con los panales de abeja. Construimos una cajita que es un dodecaedro rómbico.

Ahora nos interesa revisar la dualidad entre dos poliedros sencillos, el cubo y el octaedro.

La idea es contar sus elementos fundamentales: caras, aristas y vértices.

Vamos a contar las caras, aristas y vértices del cubo:

Platonic polyhedra: cube | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

También del octaedro:

Taller Talento Matemático Zaragoza: Platonic polyhedra: octahedron | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Vemos que el cubo y el octaedro tienen el mismo número de aristas e intercambian el número de caras y el de vértices.

Entonces podemos decir que el cubo y el octaedro son poliedros duales.

ttm13:  | matematicasVisuales
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Puedes buscar información sobre la dualidad entre poliedros y encontrar otras parejas de poliedros duales.

Otro asunto muy relacionado es el de la Característica de Euler (o fórmula de Euler de los poliedros). Es un concepto, en principio, sencillo pero profundo.

3.- El cubo y el octaedro en posición recíproca

Nos interesa ahora fijarnos en el hecho de que el cubo y el octaedro tienen el mismo número de aristas.

Podemos emparejar las aristas de estos poliedros y colocarlas de modo que se corten por la mitad perpendicularmente.

Resulta la siguiente figura y decimos que el cubo y el octaedro están en 'posición recíproca'.

ttm13:  | matematicasVisuales

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Puedes obtener más información de esta figura en la siguiente página:

Cuboctaedro estrellado
El poliedro compuesto por un cubo y un octaedro es un cuboctaedro estrellado. O lo que es lo mismo, el cuboctaedro es el sólido común al cubo y al octaedro en este poliedro.

4.- El cuboctaedro

En la combinación entre cubo y octaedro hay una parte común a los dos poliedros, 'dentro' de la figura.

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Esta parte común resulta ser un sólido arquimediano que se llama cuboctaedro.

ttm13:  | matematicasVisuales

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Puedes ver más información sobre el cuboctaedro en estas páginas:

El volumen del cuboctaedro
El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices.
El volumen del cuboctaedro (II)
El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices. También se obtiene a partir de un octaedro truncando sus vértices

5.- Truncando el cubo y el octaedro

Si partimos de un octaedro podemos obtener un cuboctaedro 'cortando las esquinas'. Este procedimiento nos permite hacer nuevos poliedros a partir de otros y lo llamamos 'truncar'.

Taller Talento Matemático Zaragoza: Platonic polyhedra: Tetrahedron | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

El cuboctaedro tambien es un truncamiento de un cubo.

Podemos truncar estos poliedros con mayor o menor 'profundidad'. En dos casos obtenemos otros poliedros arquimedianos: el cubo truncado y el octaedro truncado (y, después de ver el cuboctaedro, ya hemos llegado al segundo poliedro que estamos estudiando, el octaedro truncado).

La siguiente ilustración nos muestra estas relaciones:

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Puedes ver más ideas relacionadas con los truncamientos del octaedro y del cubo en la siguiente página:

Truncamientos del cubo y del octaedro
Truncando un cubo podemos obtener un cubo truncado y un cuboctaedro. Si truncamos un octaedro podemos conseguir un octaedro truncado y, también, un cuboctaedro.

6.- El octaedro truncado

Truncando adecuadamente un octaedro obtenemos un sólido arquimediano llamado octaedro truncado.

Por cada cara triangular del octaedro tenemos un hexágono regular. Es decir, el octaedro truncado tiene 8 hexágonos.

Por cada vértice del octaedro tenemos un cuadrado. Entonces, el octaedro truncado tiene 6 cuadrados.

Taller Talento Matemático Zaragoza: Platonic polyhedra: Icosahedron | matematicasVisuales

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En la siguiente página puedes ver más propiedades del octaedro truncado.

El volumen del octaedro truncado
El octaedro truncado es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un octaedro truncando sus vértices. Su volumen se puede calcular a partir del volumen del octaedro.

7.- El octaedro truncado tesela el espacio

A veces nos planteamos cómo rellenar el plano con polígonos. Estas configuraciones se llaman mosaicos y cada pieza es una tesela.

Los casos más sencillos es cuando el mosaico está formado por polígonos iguales y regulares. Entonces podemos decir que el cuadrado, el triángulo equilátero y el hexágono equilátero 'teselan el plano'.

El problema es mucho más difícil si pensamos en el espacio. La teselación del espacio más simple es la que está formada por cubos. El cubo es el único sólido platónico que tesela el espacio.

No parece tan inmediato que el octaedro truncado también tesela el espacio.

El octaedro truncado es el único poliedro arquimediano que tesela el espacio.

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En la siguiente página puedes comprobar intuitivamente, con una aplicación interactiva, que el octaedro truncado tesela el espacio.

El octaedro truncado tesela el espacio
El octaedro truncado es un poliedro que tiene la propiedad de teselar el espacio: con poliedros congruentes podemos rellenar el espacio sin dejar huecos.

8.- El octaedro truncado está formado por ocho medios cubos

¿Cómo se podría explicar la propiedad del octaedro truncado de teselar el espacio?

Parece una figura no relacionada con el cubo que, podemos decir, que es el poliedro más regular y simple que tesela el espacio.

Pero ya sabemos que entre el octaedro y el cubo hay una relación muy estrecha.

Podemos ver el octaedro truncado como una figura que está formada por 8 medios cubos.

ttm13 | matematicasVisuales
ttm13 | matematicasVisuales
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Para comprender mejor la teselación del octaedro truncado primero puedes ver un modo de cortar un cubo por la mitad que resulta muy interesante:

Sección hexagonal de un cubo
Podemos cortar un cubo por la mitad con un plano de modo que la sección sea un hexágono regular. Ocho de estos medios cubos forman un octaedro truncado.

Uniendo 8 de esos medios cubos obtenemos un octaedro truncado:

El octaedro truncado formado por medios cubos
Con medios cubos podemos formar el octaedro truncado. El cubo tesela el espacio y también el octaedro truncado. También calculamos su volumen.

9.- Construcción del esqueleto de cuboctaedro y octaedro truncado

Las siguientes plantillas se pueden descargar y construir el esqueleto del cuboctaedro y del octaedro truncado:

Taller Talento Matemático Zaragoza: | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Recortamos y doblamos las piezas (8 piezas de 4 colores):

Taller Talento Matemático Zaragoza: | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Pegamos las piezas:

Taller Talento Matemático Zaragoza: | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Las pegamos teniendo cuidado en emparejar bien los colores para formar la figura:

Taller Talento Matemático Zaragoza: | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Con la siguiente plantilla puedes construir unas piezas que nos servirán como pirámides:

Las podemos poner hacia dentro. Así el cuboctaedro interior con las pirámides forma un octaedro. Podemos decir que el cuboctaedro es un truncamiento del octaedro.

Taller Talento Matemático Zaragoza: Platonic polyhedra: Tetrahedron | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales
Taller Talento Matemático Zaragoza: Platonic polyhedra: Tetrahedron | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales
Taller Talento Matemático Zaragoza: Platonic polyhedra: Tetrahedron | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Las podemos poner hacia afuera. Entonces el octaedro truncado con las pirámides forma un octaedro.

Taller Talento Matemático Zaragoza: | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Las siguientes dos plantillas tienen dibujos de polígonos con solapas. Cuadrados, triángulos y hexágonos. Con ellas podemos construir cuboctaedros, octaedros truncados o cerrar algunas caras de nuestro 'esqueleto':

Taller Talento Matemático Zaragoza: | matematicasVisuales
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Taller Talento Matemático Zaragoza: | matematicasVisuales
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10.- Variante de la construcción

La siguiente plantilla tiene las piezas para una variante de la construcción:

Recortamos y doblamos las piezas:

Taller Talento Matemático Zaragoza: | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Pegamos las piezas por separado:

Taller Talento Matemático Zaragoza: | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Pegamos las 8 piezas para formar la figura:

Taller Talento Matemático Zaragoza: Platonic polyhedra: Tetrahedron | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales
Taller Talento Matemático Zaragoza: Platonic polyhedra: Tetrahedron | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales
Taller Talento Matemático Zaragoza: Platonic polyhedra: Tetrahedron | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales
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11.- Teselando el espacio

Construyendo muchas figuras podemos hacer una teselación de (una parte) del espacio con octaedros truncados

Taller Talento Matemático Zaragoza: Platonic polyhedra: Tetrahedron | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales
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REFERENCIAS

Hugo Steinhaus - Mathematical Snapshots - Oxford University Press - Third Edition. (Versión en castellano publicada por Salvat 'Instantáneas matemáticas', 1986).
Magnus Wenninger - 'Polyhedron Models', Cambridge University Press.
Peter R. Cromwell - 'Polyhedra', Cambridge University Press, 1999.
H.Martin Cundy and A.P. Rollet, 'Mathematical Models', Oxford University Press, Second Edition, 1961.
W.W. Rouse Ball and H.S.M. Coxeter - 'Matematical Recreations & Essays', The MacMillan Company, 1947.

MÁS ENLACES

Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Taller de Talento Matemático de Zaragoza
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Desarrollos planos de cuerpos geométricos: Tetraedro regular
El primer dibujo del desarrollo plano del tetraedro regular fue publicado por Durero en su libro 'Underweysung der Messung' ('Los cuatro libros de la medida'), el año 1525.