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El cubo, el octaedro, el tetraedro y otros poliedros
Taller de Talento Matemático (Zaragoza) 2014-2015

Sesión del Taller de Talento Matemático de Zaragoza por Roberto Cardil.

Viernes día 7 de Noviembre de 2014 a las 18:15.

Objetivos:

Como en ocasiones anteriores, el principal objetivo es pasar un buen rato hablando de algunos poliedros. Empezando por la familia más regular, la de los sólidos platónicos.

También queremos animar a la construcción de poliedros con diferentes técnicas sencillas (papiroflexia, cartulina, tubos, gomas, Zome, etc.).

Estas construcciones son muy bonitas y obtenemos un placer estético al verlas y tocarlas. También nos ayudan a desarrollar nuestra percepción espacial.

Pero en esta sesión me quiero centrar en el hecho de que la construcción de estos cuerpos geométricos nos ayudan a razonar y a obtener conclusiones matemáticas. Es decir, nos ayudan a pensar.

Veremos cómo podemos calcular, de un modo sencillo, el volumen del octaedro y el del tetraedro. Primero usaremos la conocida fórmula del volumen de las pirámides.

Esta fórmula general no es tan sencilla de probar. Nos podemos plantear si se puede deducir el cálculo del volumen del octaedro y del tetraedro sin recurrir a ella y veremos que sí. Que es sencillo a partir de construcciones de poliedros. Para ello nos adentraremos un poco más en el mundo de los poliedros y conoceremos un elemento de otra familia de poliedros muy importante, los sólidos arquimedianos. Con su ayuda podremos calcular el volumen del octaedro.

Tendremos que hacer una construcción, para cogerle gusto. Necesitaremos tijera, regla y pegamento. También papel y lápiz, para hacer alguna cuenta.

Todos aquellos que tengan algún poliedro en casa pueden traerlo a la sesión para que todos nos animemos a construir cuerpos geométricos, porque son elegantes y nos enseñan a pensar.

Esta sesión tiene un espíritu parecido a la sesión del Taller de Talento Matemático realizada el 13 de Abril de 2012.

Construcción de poliedros. Cuboctaedro y dodecaedro rómbico: Taller de Talento Matemático de Zaragoza. Curso 2013-2014.
Material para la sesión sobre construcción de poliedros (Zaragoza el 9 de Mayo de 2014). Empezaremos con el tetraedro, el cubo y el octaedro y presentaremos el cuboctaedro y el dodecaedro rómbico. Relacionaremos este poliedro con los panales de abeja. Construimos una cajita que es un dodecaedro rómbico.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Taller de Talento Matemático de Zaragoza
Material para la sesión sobre construcción de poliedros que se realizó en Zaragoza el 13 de Abril de 2012. El objetivo es disfrutar haciendo poliedros y obtener alguna conclusión matemática a partir de esas construcciones.

1.- Los cinco sólidos platónicos

Tetraedro:

Platonic polyhedra: Tetrahedron | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Cubo:

Platonic polyhedra: cube | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Octaedro:

Platonic polyhedra: octahedron | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Icosaedro:

Platonic polyhedra: Icosahedron | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Dodecaedro:

Platonic polyhedra: Tetrahedron | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

INVESTIGA

¿Por qué la unión de dos tetraedros no es un sólido platónico?

2.- Áreas y volúmenes de figuras semejantes

Cuando queremos estudiar una figura nos solemos fijar en una de sus dimensiones. En el caso de los cuadrados, y en el de los polígonos regulares en general, es bastante habitual fijarse en el lado.

Otras dimensiones de la figura, como su diagonal, dependen del lado. Éste es un cuadrado de lado 1.

Truncated Octahedron: | matematicasVisuales

La longitud de la diagonal de un cuadrado depende de la longitud del lado. Podemos escribir la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 de un modo muy compacto:

El área de un cuadrado también depende de sus dimensiones, desde luego. Nos fijamos en el lado y podemos escribir de un modo muy compacto el área de un cuadrado de lado 1:

Este cuadrado tiene diagonal 1, ¿cuál es su lado?

Truncated Octahedron: | matematicasVisuales

Así podemos escribir su área:

Este cuadrado es más grande. Su diagonal es 2. Podemos calcular el valor del lado:

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El área de este cuadrado la escribimos:

Y su valor es fácil de calcular

En general se verifica esta fórmula para las áreas de los cuadrados

No es necesario que sean cuadrados. Para dos figuras semejantes el área cumple esta importante propiedad.

La propiedad anterior se refiere a las áreas. La podemos ver como una generalización de lo que ocurre con distancias correspondientes en dos figuras semejantes que han sido ampliadas o reducidas por un factor a. Por ejemplo, la altura de un triángulo o la diagonal de un polígono en relación con el mismo segmento de la misma figura ampliada o reducida.

Lo podemos expresar así, donde L representa la longitud de una determinado segmento:

Usando esta notación podemos mecanizar muchos cálculos.

En muchas de estas cuestiones tenemos que utilizar el teorema de Pitágoras para calcular el valor de la diagonal o el de una altura. Pero en algunas situaciones basta hacerlo una sola vez para un caso particular y después aplicar las propiedades de la semejanza.

Por ejemplo, para calcular la altura y el área de un triángulo equilátero podemos elegir el caso que más nos convenga, el más sencillo. Para calcular la altura (que depende del tamaño del lado) de un triángulo equilátero usaremos el teorema de Pitágoras.

¿Cuál es un buen triángulo para hacer esto cálculos?¿Cuál es preferible, el de lado 1 o el de lado 2?

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Entonces, la altura de un triángulo de lado 1 es:

El área de un triángulo equilátero de lado 2 es muy sencilla:

Se verifica la relación con el de lado 1:

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Por lo tanto, el área de un triángulo de lado 1 es:

Se verifica la fórmula general del área de figuras semejantes:

INVESTIGA

Johnatan Swift escribió 'Los viajes de Gulliver'. En uno de sus viajes llega al país de Liliput que son enanos desde el punto de vista de Gulliver. Gulliver es 12 veces más alto. Los matemáticos liliputienses tienen claro cuántas capas liliputienses hacen falta para hacerle una capa a Gulliver.

¿Sabrías hacer este cálculo y escribirlos con la notación que estamos usando?

Hemos visto que las longitudes y las áreas de figuras semejantes tienen una propiedad análoga.

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Vamos a ver que en el caso de figuras semejantes también se cumple una propiedad que nos va a ayudar a calcular volúmenes. Empezamos estudiando el cubo.

3.- El cubo y su volumen

El cubo tiene interesantes propiedades:

1) Es el único sólido platónico que rellena el espacio. A veces, decimos que 'tesela' el espacio. Transformaciones de esta figura también rellenan el espacio, como pueden ser las cajas (que por eso se emplean en la paquetería). Son los ortoedros. Los paralelepípedos también teselan el espacio.

2) Usamos el cubo como unidad de medida de volumen.

El volumen del cubo de diagonal 1 lo podemos escribir (en función de su arista)

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Podemos calcular ese volumen

El volumen de un cubo con diagonal de la cara igual a 2:

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Para el volumen de cubos se cumple

No es necesario que sea un cubo. Esta relación se cumple para el volumen de figuras semejantes:

INVESTIGA

Gulliver es 12 veces más alto que un liliputiense. Los matemáticos liliputienses tienen claro cuántas raciones necesitan para darle de beber y de comer.

¿Sabrías hacer este cálculo y escribirlo con la notación que estamos usando?

Hemos visto que los volúmenes de figuras semejantes cumplen una propiedad análoga a la de las longitudes y las áreas.

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4.- Sección hexagonal del cubo

Sección hexagonal de un cubo
Podemos cortar un cubo por la mitad con un plano de modo que la sección sea un hexágono regular. Ocho de estos medios cubos forman un octaedro truncado.

La intersección de un cubo por un plano perpendicular a una de sus diagonales por su centro es un hexágono regular. Este plano divide al cubo en dos mitades.

Medio cubo con una sección hexagonal modelo papel| matematicasvisuales

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El volumen de este medio cubo es:

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Un volumen muy fácil de calcular de una figura que también tiene la interesante propiedad de teselar el espacio.

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5.- Construcciones del octaedro y su volumen

Podemos pensar que el octaedro está formado por dos pirámides de base cuadrada unidas. Su desarrollo es fácil de construir pues sus caras son triángulos equiláteros.

Construcción poliedros| Octaedro de cartulina | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Una figura de origami modular sencilla e instructiva está formada por los tres cuadrados en planos ortogonales dos a dos que contienen las 12 aristas y los 6 vértices del octaedro regular.

Una manera de ver un octaedro para calcular su volumen | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Quizás lo primero podría ser recordarnos una manera de coger y mirar el octaedro. El octaedro está formado por 2 pirámides de base cuadrada unidas.

Una manera de ver un octaedro para calcular su volumen | matematicasvisuales

Si, por ejemplo, el lado es 1 entonces la base tiene 1 de área y la altura de las dos pirámides es la diagonal de un cuadrado unitario.

La altura de un octaedro es la diagonal de un cuadrado | matematicasvisuales

La diagonal de un cuadrado de lado 1 es:

Por lo tanto, el volumen de un octaedro de lado 1 es:

Y el volumen de un octaedro de lado a es:

Usando la fórmula del volumen de la pirámide (que es un tercio del área de la base por la altura) y mirando adecuadamente un octaedro vemos que es muy sencillo calcular su volumen.

Ahora usaremos la misma fórmula para calcular el volumen del tetraedro.

6.- El tetraedro y su volumen

El Tetraedro es el sólido platónico más sencillo. Conocido desde épocas muy remotas.

Es descrito por Luca Pacioli en su libro 'La Divina Proporción' donde podemos ver una ilustración de Leonardo da Vinci.

El tetraedro es una pirámide y su volumen es un tercio del área de la base por la altura. Así podemos calcular su volumen pero vamos a ver una construcción (que ya nos enseñó Kepler) que nos va a facilitar la tarea.

Se puede construir un tetraedro dentro de un cubo:

Construcción poliedros| Tetraedro y Kepler | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Tomando dos diagonales de dos caras opuestas de un cubo y uniéndolas adecuadamente obtenemos un tetraedro.

Volumen de un tetraedro: tetraedro en un cubo | matematicasVisuales
Volumen de un tetraedro: El volumen de un tetraedro es un tercio del volumen del cubo que lo contiene | matematicasVisuales
Volumen de un tetraedro: El volumen de un tetraedro es un tercio del volumen del cubo que lo contiene | matematicasVisuales
Volumen de un tetraedro: El volumen de un tetraedro es un tercio del volumen del cubo que lo contiene | matematicasVisuales

Vamos a ver que el volumen de un tetraedro es un tercio del volumen del cubo que lo contiene.

Volumen de un tetraedro: El volumen de un tetraedro es un tercio del volumen del cubo que lo contiene | matematicasVisuales

Si la arista del tetraedro es 1 entonces la arista w del cubo es:

El volumen de este cubo lo hemos escrito así:

Volumen de un tetraedro: El volumen de un tetraedro es un tercio del volumen del cubo que lo contiene | matematicasVisuales
Volumen de un tetraedro: El volumen de un tetraedro es un tercio del volumen del cubo que lo contiene | matematicasVisuales

El cubo está compuesto por el tetraedro amarillo y dos pares de pirámides verdes.

La base de dos pirámides juntas es la base del cubo. Entonces el área de estas dos pirámides (aplicando la fórmula de un tercio del área de la base por la altura) es un tercio del volumen del cubo.

Volumen de un tetraedro: El volumen de un tetraedro es un tercio del volumen del cubo que lo contiene | matematicasVisuales

Dos tercios del volumen del cubo está ocupado por las pirámides verdes. Entonces al tetraedro amarillo le queda el tercio restante.

Por lo tanto, el volumen del tetraedro del arista 1 es:

Entonces, el volumen del tetraedro regular de arista a es:

Esta construcción puede generalizarse para cualquier paralelepípedo y obtenemos "tetraedros" no regulares.



Volumen de un tetraedro: Tetraedro no regular a partir de un paralelepípedo | matematicasVisuales

El volumen de estos tetraedros es también un tercio del volumen del paralelepípedo que los contiene.

El volumen del tetraedro parece más dificil de calcular que el del octaedro pero colocándolo adecuadamente en un cubo y aplicando la fórmula del volumen de la pirámide no resulta dificil.

La relación entre el volumen de ambos poliedros es que el volumen del octaedro es cuatro veces el del tetraedro con la misma arista.

Vamos a ver ahora que esta relación se puede obtener sin hacer los cálculos, simplemente razonando con las construcciones de poliedros que hemos hecho.

7.- Relación entre el volumen del octaedro y el del tetraedro

Una manera de construir nuevos poliedros es añadir pirámides a las caras de otro poliedro.

| Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Un ejemplo interesante es partir de un octaedro y añadirle cuatro tetraedros:

Un tetraedro de lado 2 está formado por un octaedro y cuatro tetraedros de lado 1. Aquí los mostramos un poco separados | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales

Con este dato podemos calcular el volumen del tetraedro. Consideremos un tetraedro de lado 2:

Un tetraedro de lado 2 está formado por un octaedro y cuatro tetraedros de lado 1 | matematicasvisuales

Entonces podemos escribir la relación:

Relación entre el volumen de tetraedro de lado 1 y 2 | matematicasvisuales

Un tetraedro de arista 2 está formado por un octaedro y 4 tetraedros de arista 1:

Un tetraedro de lado 2 está formado por un octaedro y cuatro tetraedros de lado 1. Aquí los mostramos un poco separados | matematicasvisuales
Volumen del tetraedro | matematicasvisuales

Entonces, el volumen del octaedro es cuatro veces el del tetraedro y volvemos a calcular el volumen del tetraedro

Por lo tanto, el volumen del tetraedro es:

Una vez que tenemos esta relación entre los volúmenes del octaedro y del tetraedro volvemos a fijarnos en el medio cubo con sección hexagonal.

Construiremos un nuevo poliedro, estudiaremos sus propiedades y lo usaremos para calcular el volumen del octaedro.

Volumen del tetraedro
El volumen del tetraedro es un tercio del paralelepípedo que lo contiene.

8.- Un poliedro formado por ocho medios cubos y su volumen

Con ocho de estos medios cubos podemos construir un poliedro que tiene interesantes propiedades.

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Octaedro truncado formado por ocho medios cubos | matematicasvisuales

La primera de las propiedades de este poliedro es que como ya hemos calculado el volumen de medio cubo. entonces el volumen de este poliedro es muy sencillo:

9.- Este poliedro es un sólido arquimediano

Además este poliedro es un sólido arquimediano. Pertenece a la segunda familia de poliedros más famosa. Sus caras son poliedros regulares no todos iguales. En este caso vemos que tiene 6 cuadrados y 8 hexágonos. Todos sus vértices tienen que ser iguales.

Truncated Octahedron: | matematicasVisuales

Este es el desarrollo plano de esta figura:

Truncated Octahedron: | matematicasVisuales

10.- Este poliedro tesela el espacio

Por la manera de construir este poliedro a partir de medios cubos vemos que tiene la propiedad de teselar el espacio.

Es decir, que uniendo poliedros de este tipo del mismo tamaño podemos llenar el espacio sin dejar huecos entre ellos. Al igual que el cubo es el único poliedro platónico que tesela el espacio, este poliedro es el único de los arquimedianos con esta propiedad.

El octaedro truncado formado por medios cubos
Con medios cubos podemos formar el octaedro truncado. El cubo tesela el espacio y también el octaedro truncado. También calculamos su volumen.

Escribe Steinhaus: "La posibilidad de llenar totalmente el espacio con poliedros congruentes plantea la interesante cuestión de lograr que solamente haya en cada vértice 4 poliedros congruentes (es imposible tener sólo 3)."

El octaedro truncado es la solución. "No existe ningún otro poliedro que tenga estas propiedades y dé, por consiguiente, la más sencilla descomposición del espacio en partes congruentes". (Steinhaus)

El octaedro truncado es un sólido arquimediano que tesela el espacio 1| matematicasvisuales
El octaedro truncado es un sólido arquimediano que tesela el espacio 2| matematicasvisuales
El octaedro truncado es un sólido arquimediano que tesela el espacio 3| matematicasvisuales
El octaedro truncado es un sólido arquimediano que tesela el espacio 4| matematicasvisuales

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11.- El poliedro se llama octaedro truncado

Es un poliedro arquimediano que podemos ver como un octaedro al que se le han quitado seis pirámides en sus vértices. Por lo tanto, su nombre es octaedro truncado.

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12.- Calculando el volumen del octaedro

El volumen del octaedro se puede calcular a partir del octaedro truncado (que ya sabemos que tiene un volumen muy sencillo de calcular).

Por otra parte, sabemos que hay una relación entre el volumen del octaedro de lado 3 y el de lado 1:

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El octaedro de lado 3 está formado por un octaedro truncado de lado 1 y 3 pares de pirámides. Cada par forma un octaedro de lado 1.

El volumen del octaedro truncado es igual al volumen de un octaedro de lado 3 menos 3 octaedros de lado 1 | matematicasvisuales

Por lo tanto, podemos escribir:

El volumen del octaedro de lado 1 es:

Si sabemos el volumen del octaedro ya podemos calcular el volumen del tetraedro pues sabemos que es la cuarta parte.

Hemos podido calcular el volumen del octaedro y el del tetraedro sin recurrir a la fórmula del volumen de la pirámide. Manipulando las construcciones de los poliedros y viendo sus propiedades. También hemos usado la relación entre los volúmenes de figuras semejantes.

13.- Construcción de un tetraedro con origami

Para terminar vamos a construir dos figuras usando dos técnicas básicas: origami y cartulina pegada.

Con origami construiremos un tetraedro que podremos poner dentro de una cajita cúbica hecha con cartulina.

Construcción de poliedros: cajita cúbica y tetraedro hecho con origami modular | matematicasVisuales
Construcción de poliedros: cajita cúbica y tetraedro hecho con origami modular | matematicasVisuales
Construcción de poliedros: cajita cúbica y tetraedro hecho con origami modular | matematicasVisuales

Este es el modelo de la caja cúbica que se pueden descargar. El rectángulo es el tamaño de papel que necesitamos para el plegado de un tetraedro que cabe perfectamente en la caja:

Construcción de poliedros: cajita cúbica y tetraedro hecho con origami modular | matematicasVisuales

Estas son las instrucciones para el plegado del tetraedro con origami modular:

Me gustaría haber podido transmitir gusto por la construcción de poliedros y la idea de que además de la belleza que tienen tambien su manipulación nos permite hacer razonamientos matemáticos de un modo sencillo. Ver y tocar las Matemáticas.

REFERENCIAS

Hugo Steinhaus - Mathematical Snapshots - Oxford University Press - Third Edition. (Versión en castellano publicada por Salvat 'Instantáneas matemáticas', 1986).
Magnus Wenninger - 'Polyhedron Models', Cambridge University Press.
Peter R. Cromwell - 'Polyhedra', Cambridge University Press, 1999.
H.Martin Cundy and A.P. Rollet, 'Mathematical Models', Oxford University Press, Second Edition, 1961.
W.W. Rouse Ball and H.S.M. Coxeter - 'Matematical Recreations & Essays', The MacMillan Company, 1947.

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