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Partimos de un pentágono regular y queremos conocer la razón entre la diagonal y el lado de ese pentágono.

Podemos considerar que el lado del pentágono es 1. Entonces la diagonal se representa por , la letra griega phi.

El lado y la diagonal de un pentágono regular | matematicasVisuales

Nos fijamos en dos triángulos isósceles homotéticos:

El lado y la diagonal de un pentágono regular: dos triángulos homotéticos | matematicasVisuales

Podemos escribir la proporción:

Usando los números 1 y :

Entonces es la raíz positiva de la ecuación cuadrática:

Resolviendo esta ecuación obtenemos el valor de :

Estas son algunas propiedades de :

A se le llama la razón o proporción aúrea.

Decimos que las diagonales de un pentágono regular están en proporción áurea con sus lados.

El punto de intersección de dos diagonales de un pentágono regular divide a ambas en la razón áurea (o en 'media y extrema razón').

Suponemos que Pitágoras y los Pitagóricos (alrededor del 500 AC) conocían esta razón porque su símbolo era el pentagrama (un pentágono con sus diagonales), pero la primera referencia escrita que tenemos es en los Elementos de Euclides (alrededor del 300 AC).

El lado y la diagonal de un pentágono regular: Pitágoras, el pentágono y el pentagrama | matematicasVisuales

Libro VI, Definición 3: "Una línea recta se dice que está cortada en razón extrema y media cuando el total de la linea es al segmento mayor como el mayor es al menor". (Por ejemplo, en Los Elementos de Euclides en la Clark University por D.E. Joyce)

El lado y la diagonal de un pentágono regular: El punto de intersección de dos diagonales corta a ambas en la razón áurea | matematicasVisuales

La primera referencia a este tipo de construcción aparece en Libro II, Proposición 11. En este libro Euclides todavía no había definido 'razón' y la proposición se hace en términos de áreas: "Cortar una línea recta dada de modo que el rectángulo contenido por el total y uno de los segmentos es igual al cuadrado del segmento restante". (Los Elementos de Euclides en la Clark University por D.E. Joyce)

Usando nuestra notación:

Usando la razón áurea podemos dibujar un pentágono regular, un triángulo áureo y un rectángulo áureo y está relacionada con el icosaedro y el dodecaedro.

Con una tira de papel podemos hacer un nudo y obtener un pentágono y un pentagrama:

Zome es una herramienta excelente para jugar con la razón áurea:

Algunos ejemplos de simetría pentagonal:

REFERENCIAS

Coxeter, Fundamentos de Geometría. Ed. Limusa(pag. 195).

MÁS ENLACES

La proporción áurea
A partir de la definición de Euclides de la división de un segmento en su razón media y extrema introducimos una propiedad de los rectángulos áureos y deducimos la ecuación y el valor de la proporción áurea.
Rectángulo áureo
Un rectángulo áureo se puede descomponer en un cuadrado y otro rectángulo áureo.
Rectángulo áureo y rotación dilatativa
Un rectángulo áureo se descompone en un cuadrado y otro rectángulo áureo. Estos rectángulos están relacionados por una rotación dilatativa.
Espiral áurea
La espiral áurea se contruye a partir de rectángulos áureos y es una aproximación simple a una espiral equiangular.
Rectángulo áureo y dos espirales equiangulares
Dos espirales equiangulares contienen los vértices de rectángulos áureos.
El icosaedro y su volumen
Los veinte vértices de un icosaedro están en tres rectángulos áureos. A partir de esta propiedad podemos calcular el volumen del icosaedro.
El dodecaedro regular
Algunas propiedades de este sólido platónico y su relación con la razón áurea. Construcción de dodecaedros (y otros poliedros relacionados) usando diferentes técnicas.
Dilatación y giro de la espiral equiangular
Cualquier dilatación de una espiral equiangular tiene el mismo efecto que una rotación.
Espiral equiangular
En una espiral equiangular el ángulo entre el radio vector y la tangente es constante.
Leonardo da Vinci: Dibujo del dodecaedro para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su dodecaedro.
Rotación dilatativa
Una rotación dilatativa se obtiene combinando una rotación y una dilatación con el mismo centro.