matematicas visuales home | visual math home

Si empezamos con un rectángulo áureo podemos cortar un cuadrado y obtenemos otro rectángulo áureo más pequeño.

La proporción áurea
A partir de la definición de Euclides de la división de un segmento en su razón media y extrema introducimos una propiedad de los rectángulos áureos y deducimos la ecuación y el valor de la proporción áurea.
Rectángulo áureo
Un rectángulo áureo se puede descomponer en un cuadrado y otro rectángulo áureo.

Podemos repetir este proceso y obtenemos esta construcción:

Rectángulo áureo, espiral de Durero y espiral equiangular dorada: infinite golden rectangles | matematicasVisuales

Dibujando un arco de circunferencia en cada cuadrado obtenemos una espiral áurea (que también recibe el nombre de Espiral de Durero).

Rectángulo áureo, espiral de Durero y espiral equiangular dorada: Durer spiral, golden spiral | matematicasVisuales
Rectángulo áureo, espiral de Durero y espiral equiangular dorada: golden spiral, Drawing up an arc of circumference in each square we get a golden spiral | matematicasVisuales

Ya hemos calculado las coordenadas polares de varios puntos y hemos obtenido una sucesión de puntos.

Rectángulo áureo y rotación dilatativa
Un rectángulo áureo se descompone en un cuadrado y otro rectángulo áureo. Estos rectángulos están relacionados por una rotación dilatativa.
Rectángulo áureo, espiral de Durero y espiral equiangular dorada: a sequence of points | matematicasVisuales

Estos vértices también pertenecen a una espiral equiangular

Espiral equiangular
En una espiral equiangular el ángulo entre el radio vector y la tangente es constante.

Vamos a calcular la equación de esta espiral equiangular.

Una fórmula general para una espiral equiangular es:

Si n=1 entonces

Podemos escribir para el punto C

La ecuación de esta espiral equiangular es

Rectángulo áureo, espiral de Durero y espiral equiangular dorada: Espiral de Durero, espiral áurea y espiral equiangular | matematicasVisuales

Rectángulo áureo, espiral de Durero y espiral equiangular dorada: Espiral de Durero, espiral áurea, los puntos pertencen a una espiral equiangular | matematicasVisuales

"Esta espiral verdadera está aproximada por la espiral artificial formada por cuadrantes circulares inscritos en los sucesivos cuadrados. (Pero la espiral verdadera corta los lados de los cuadrados con ángulos muy pequeños, en vez de tocarlos)." Coxeter.

Rectángulo áureo, espiral de Durero y espiral equiangular dorada: La espiral equiangular áurea corta los lados de los cuadrados | matematicasVisuales
Rectángulo áureo, espiral de Durero y espiral equiangular dorada: La espiral equiangular áurea corta los lados de los cuadrados | matematicasVisuales
Rectángulo áureo, espiral de Durero y espiral equiangular dorada: La espiral equiangular áurea corta los lados de los cuadrados | matematicasVisuales
Rectángulo áureo, espiral de Durero y espiral equiangular dorada: La espiral equiangular áurea corta los lados de los cuadrados | matematicasVisuales

En el siguiente applet podemos ver otra relación entre el rectángulo áureo y la rotación dilatativa. Podemos ver cómo varios puntos siguen el camino de una espiral equiangular.

Espiral áurea en un mueble diseñado y construido por Roberto Cardil (con madera de pino maciza)

Rectángulo áureo, espiral de Durero y espiral equiangular dorada: Mueble con una espiral áurea diseñado y construido por Roberto Cardil | matematicasVisuales
Rectángulo áureo, espiral de Durero y espiral equiangular dorada: Mueble con una espiral áurea diseñado y construido por Roberto Cardil | matematicasVisuales

REFERENCIAS

Coxeter H. S. M. - Fundamentos de Geometría. Ed. Limusa(pag. 195).

MÁS ENLACES

La diagonal de un pentágono regular y la razón áurea
La diagonal y el lado de un pentágono regular están en proporción áurea. El punto de intersección de dos diagonales de un pentágono regular divide a ambas en la razón áurea o 'en razón extrema y media'.
Dibujo de un pentágono regular con regla y compás
Podemos dibujar un pentágono regular dado uno de sus lados construyendo la razón áurea con regla y compás.
Aproximación de Durero de un pentágono regular
En su libro 'Underweysung der Messung' Durero dibujó un pentágono no regular con regla y compás con apertura fija. Es una construcción simple y una muy buena aproximación de un pentágono regular.
La proporción áurea
A partir de la definición de Euclides de la división de un segmento en su razón media y extrema introducimos una propiedad de los rectángulos áureos y deducimos la ecuación y el valor de la proporción áurea.
Espiral equiangular
En una espiral equiangular el ángulo entre el radio vector y la tangente es constante.
Dilatación y giro de la espiral equiangular
Cualquier dilatación de una espiral equiangular tiene el mismo efecto que una rotación.
Espiral áurea
La espiral áurea se contruye a partir de rectángulos áureos y es una aproximación simple a una espiral equiangular.
Rectángulo áureo
Un rectángulo áureo se puede descomponer en un cuadrado y otro rectángulo áureo.
Rotación dilatativa
Una rotación dilatativa se obtiene combinando una rotación y una dilatación con el mismo centro.
El dodecaedro regular
Algunas propiedades de este sólido platónico y su relación con la razón áurea. Construcción de dodecaedros (y otros poliedros relacionados) usando diferentes técnicas.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos: Dodecaedro regular
El primer dibujo del desarrollo plano del dodecaedro regular fue publicado por Durero en su libro 'Underweysung der Messung' ('Los cuatro libros de la medida'), el año 1525.
Durero y transformaciones
Durero estudió transformaciones aplicadas a figuras para, por ejemplo, modificar caras y generar otras caras o caricaturas. Algunas de estas transformaciones son afinidades.
Volumen del dodecaedro regular
Descomponiendo adecuadamente un dodecaedro podemos obtener fácilmente su volumen.
El icosaedro y su volumen
Los veinte vértices de un icosaedro están en tres rectángulos áureos. A partir de esta propiedad podemos calcular el volumen del icosaedro.
Leonardo da Vinci: Dibujo del dodecaedro para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su dodecaedro.