Si empezamos con un rectángulo áureo podemos cortar un cuadrado y obtenemos otro rectángulo áureo
más pequeño.
A partir de la definición de Euclides de la división de un segmento en su razón media y extrema introducimos una propiedad de los rectángulos áureos y deducimos la ecuación y el valor de la proporción áurea.
Un rectángulo áureo se puede descomponer en un cuadrado y otro rectángulo áureo.
Podemos repetir este proceso y obtenemos esta construcción:
Dibujando un arco de circunferencia en cada cuadrado obtenemos una espiral áurea (que también recibe el nombre de Espiral de Durero).
Ya hemos calculado las coordenadas polares de varios puntos y hemos obtenido una sucesión de puntos.
Un rectángulo áureo se descompone en un cuadrado y otro rectángulo áureo. Estos rectángulos están relacionados por una rotación dilatativa.
Estos vértices también pertenecen a una espiral equiangular
En una espiral equiangular el ángulo entre el radio vector y la tangente es constante.
Vamos a calcular la equación de esta espiral equiangular.
Una fórmula general para una espiral equiangular es:
Si n=1 entonces
Podemos escribir para el punto C
La ecuación de esta espiral equiangular es
"Esta espiral verdadera está aproximada por la espiral artificial formada por cuadrantes circulares inscritos en los
sucesivos cuadrados. (Pero la espiral verdadera corta los lados de los cuadrados con ángulos muy pequeños, en vez de tocarlos)."
Coxeter.
En el siguiente applet podemos ver otra relación entre el rectángulo áureo y la rotación dilatativa. Podemos ver cómo varios puntos
siguen el camino de una espiral equiangular.
MÁS ENLACES
La diagonal y el lado de un pentágono regular están en proporción áurea. El punto de intersección de dos diagonales de un pentágono regular divide a ambas en la razón áurea o 'en razón extrema y media'.
Podemos dibujar un pentágono regular dado uno de sus lados construyendo la razón áurea con regla y compás.
En su libro 'Underweysung der Messung' Durero dibujó un pentágono no regular con regla y compás con apertura fija. Es una construcción simple y una muy buena aproximación de un pentágono regular.
A partir de la definición de Euclides de la división de un segmento en su razón media y extrema introducimos una propiedad de los rectángulos áureos y deducimos la ecuación y el valor de la proporción áurea.
La espiral áurea se contruye a partir de rectángulos áureos y es una aproximación simple a una espiral equiangular.
Un rectángulo áureo se puede descomponer en un cuadrado y otro rectángulo áureo.
Con tres rectángulos áureos podemos construir un icosaedro.
En una espiral equiangular el ángulo entre el radio vector y la tangente es constante.
Cualquier dilatación de una espiral equiangular tiene el mismo efecto que una rotación.
Una rotación dilatativa se obtiene combinando una rotación y una dilatación con el mismo centro.
Algunas propiedades de este sólido platónico y su relación con la razón áurea. Construcción de dodecaedros (y otros poliedros relacionados) usando diferentes técnicas.
El primer dibujo del desarrollo plano del dodecaedro regular fue publicado por Durero en su libro 'Underweysung der Messung' ('Los cuatro libros de la medida'), el año 1525.
Durero estudió transformaciones aplicadas a figuras para, por ejemplo, modificar caras y generar otras caras o caricaturas. Algunas de estas transformaciones son afinidades.
Descomponiendo adecuadamente un dodecaedro podemos obtener fácilmente su volumen.
Los veinte vértices de un icosaedro están en tres rectángulos áureos. A partir de esta propiedad podemos calcular el volumen del icosaedro.
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su dodecaedro.
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