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Ya hemos estudiado la proporción áurea y varias propiedades del rectángulo áureo.

La proporción áurea
A partir de la definición de Euclides de la división de un segmento en su razón media y extrema introducimos una propiedad de los rectángulos áureos y deducimos la ecuación y el valor de la proporción áurea.
Rectángulo áureo
Un rectángulo áureo se puede descomponer en un cuadrado y otro rectángulo áureo.

Cuando dividimos un rectángulo áureo en un cuadrado y otro rectángulo este nuevo rectángulo es semejante al inicial y es, también, un rectángulo áureo. Podemos repetir este proceso indefinidamente y obtendremos una sucesión de rectángulos.

Existe un punto especial que llamamamos O

Rectángulo Áureo: | matematicasVisuales

Para obtener el siguiente rectángulo a partir de uno inicial podemos considerar la transformación que es un producto (composición) de una dilatación de centro O

y una rotación (un cuarto de vuelta en sentido horario o negativo en torno a O)

Rectángulo Áureo: composición de una rotación y una homotecia o dilatación | matematicasVisuales

Esta transformación es una rotación dilatativa.

Rotación dilatativa
Una rotación dilatativa se obtiene combinando una rotación y una dilatación con el mismo centro.

En el siguiente applet podemos ver una rotación dilatativa continua:

Ahora vamos a calcular las coordenadas polares de varios puntos.

El polo es O

Tomando OE como la recta origen y la distancia OE como unidad de medida, de modo que E es

Desde E hasta C la rotación dilatativa en torno a O tiene razón de dilatación y es un giro de un cuarto de vuelta en el sentido positivo.

Rectángulo Áureo: | matematicasVisuales

En general, podemos calcular una sucesión de puntos

REFERENCIAS

Coxeter H. S. M. - Fundamentos de Geometría. Ed. Limusa(pag. 195)

MÁS ENLACES

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