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La primera vez que leí sobre la construcción de un pentágono no regular por Durero fue en el libro de Dan Pedoe 'La geometría en el arte', traducido y publicado por Gustavo Gili en 1979.

Pedoe señala que 'el interés de Durero en la construcción de polígonos regulares es un reflejo de su uso durante la Edad Media en la decoración Islámica y Gótica y, desde la invención de las armas de fuego, en la construcción de fortificaciones'.

En el libro de Durero 'Underweysung der Messung' ('Los cuatro libros de la medida', publicado en 1525) el autor nos muestra una una construcción exacta del pentágono regular (tomada de Tolomeo) pero aquí estamos jugando con otra construcción del pentágono, en este caso es un pentágono equilátero pero no equiángulo.

Durero pensaba que 'la geometría es la correcta fundamentación de toda la pintura' y quería ser accesible a pintores, artistas en general y artesanos. Escribió sus libros en alemán y su principal interés era práctico y aplicado. La construcción que vamos a estudiar ahora es un buen ejemplo pues aunque es una construcción aproximada es bastante precisa y simple de dibujar.

Para dibujarla usa un 'compás oxidado', es decir, con apertura fija. Esto hace el dibujo mucho más sencillo. [Abu'l-Wafa Al-Buzjani (940-998) fue un matemático y astrónomo que también estuvo interesado en este tipo de construcciones geométricas usando un compás fijo y escribió 'Un libro con aquellas construcciones que son necesarias para el artesano'].

Dibujo aproximado de Durero de un pentágono:  El libro de Durero Underweysung der Messung en la página con el dibujo de dos pentágonos | matematicasVisuales
En esta página del libro de Durero 'Underweysung der Messung' podemos ver dos construcciones de pentágonos usando regla y compás: una es exacta y la otra es aproximada.
Dibujo aproximado de Durero de un pentágono: un ejercicio de trigonometría, construcción de Durero de un pentágono no regular en su libro Underweysung der Messung | matematicasVisuales
Construcción aproximada de un pentágono equilátero pero no equiángulo. (Esta construcción era bien conocida por los artesanos en la época de Durero y fue publicada en el libro 'Geometria Deutsch', un manual de taller, alrededor de 1484)

Sabemos que cada uno de los cinco ángulos de un pentágono regular mide 108º. Pedoe escribió que en la construcción aproximada de Durero los ángulos de la base eran de 108º21'58'', además hay dos ángulos menores que 108º y que el ángulo en el vértice superior era mayor que 109º. Estas diferencias no son fácilmente detectables en un dibujo.

Vamos a usar trigonometría para calcular estos ángulos. Por simplicidad, podemos considerar que la longitud del lado es 1.

Dibujo aproximado de Durero de un pentágono, un ejercicio de trigonometría: la longitud del lado es 1 | matematicasVisuales

Podemos empezar con el ángulo ABF:

Dibujo aproximado de Durero de un pentágono, un ejercicio de trigonometría: ángulo ABF | matematicasVisuales

La distancia entre B y F es el doble de la altura de un triángulo equilátero:

Dibujo aproximado de Durero de un pentágono, un ejercicio de trigonometría: La distancia entre B y F es el doble de la altura de un triángulo equilátero | matematicasVisuales

Si recordamos las propiedades de los ángulos centrales e inscritos en una circunferencia, esto es sencillo:

Usando la Ley de los Senos podemos calcular el ángulo FHB:

Dibujo aproximado de Durero de un pentágono, un ejercicio de trigonometría: ángulo FHB | matematicasVisuales

Ahora podemos calcular la medida del ángulo ABH:

Dibujo aproximado de Durero de un pentágono, un ejercicio de trigonometría: ángulo ABH, este ángulo es mayor que 108º, pero el error es muy pequeño | matematicasVisuales

Este ángulo es mayor que 108º, pero el error es muy pequeño.

Para calcular los ángulos HKI y BHK podemos empezar calculando BZ:

Dibujo aproximado de Durero de un pentágono, un ejercicio de trigonometría: distancia entre B y Z | matematicasVisuales

Si M es el punto medio entre H e I:

Dibujo aproximado de Durero de un pentágono, un ejercicio de trigonometría: M es el punto medio entre H e I | matematicasVisuales

Podemos calcular el ángulo MHK:

Dibujo aproximado de Durero de un pentágono, un ejercicio de trigonometría: ángulo MHK | matematicasVisuales

Entonces, el triángulo IHK es un triángulo isósceles y es sencillo calcular el ángulo HKI:

Dibujo aproximado de Durero de un pentágono, un ejercicio de trigonometría: ángulo HKI, este ángulo es mayor que 108º | matematicasVisuales

Este ángulo es mayor que 108º.

Terminar esta tarea es sencillo. Recordamos que los cinco ángulos de un pentágono convexo miden tres veces 180º. Podemos deducir la medida del ángulo BHK:

Dibujo aproximado de Durero de un pentágono, un ejercicio de trigonometría: ángulo BHK, el ángulo en el vértice es menor que 108º | matematicasVisuales

El ángulo en el vértice superior es menor que 108º.

En el siguiente mathlet podemos jugar con el zoom y ver que la aproximación de Durero es muy precisa:

Vemos que la aproximación es excelente.

Dibujo aproximado de Durero de un pentágono, un ejercicio de trigonometría: la aproximación es muy buena  | matematicasVisuales

Acercándonos mucho con la lupa vemos el error en los ángulos :

Dibujo aproximado de Durero de un pentágono, un ejercicio de trigonometría: ángulo mayor que 108º  | matematicasVisuales
Dibujo aproximado de Durero de un pentágono, un ejercicio de trigonometría: ángulo menor que 108º, con el zoom vemos el pequeño error | matematicasVisuales

La altura del pentágono de Durero es menor que la altura de un pentágono regular y el ángulo en el vértice superior es mayor:

Dibujo aproximado de Durero de un pentágono, un ejercicio de trigonometría: el ángulo en el vértice superior es menor que 108º | matematicasVisuales

REFERENCIAS

Albrecht Durer's Underweysung der Messung in SLUB Dresden, Digital Collection.
Dan Pedoe, Geometry and the Visual Arts. Dover Publications. (pp. 66-73)
Donald W. Crowe, Albrecht Dürer and the regular pentagon, in Fivefolded Symmetry by Istvan Hargittai Ed., World Scientific Publishing Co.
Erwin Panofsky, The Life and Art of Albrecht Dürer.

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