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Durero fue matemático, además de pintor, dibujante y grabador. Vivió entre 1471 y 1528. Representante del Renacimiento alemán. Se trata de la época de la Reforma. Vivió en Nuremberg y viajó por Italia y los Países Bajos. Difundió las nuevas técnicas sobre perspectiva.

Escribió dos libros en alemán que tienen particular interés para las Matemáticas. El primero es un tratado en el que estudia temas de Geometría útiles para artistas y artesanos ("Underweysung Underweysung der Messung", "Los cuatro libros de la medida"). En estos cuatro tomos podemos ver construcciones con regla y compás (exactas y aproximadas)

Aproximación de Durero de un pentágono regular
En su libro 'Underweysung der Messung' Durero dibujó un pentágono no regular con regla y compás con apertura fija. Es una construcción simple y una muy buena aproximación de un pentágono regular.
Dibujo de un pentágono regular con regla y compás
Podemos dibujar un pentágono regular dado uno de sus lados construyendo la razón áurea con regla y compás.

Posiblemente, fue el primero en publicar desarrollos planos de poliedros.

Desarrollos planos de cuerpos geométricos: Dodecaedro regular
El primer dibujo del desarrollo plano del dodecaedro regular fue publicado por Durero en su libro 'Underweysung der Messung' ('Los cuatro libros de la medida'), el año 1525.

El segundo libro es "Los Cuatro Libros de las Proporciones Humanas" ("Vier Bücher von Menschlicher Proportionen"). Estos tomos también tienen interés matemático.

Se puede ver y descargar el libro en Yale University Beinecke Rare Book and Manuscript Library.

'The four Books of Human Proportions' ('Vier Bücher von Menschlicher Proportionen')Yale University Beinecke Rare Book and Manuscript Library

Durero describe métodos para cambiar las proporciones de las figuras, en particular, cabezas y caras.

'The four Books of Human Proportions' ('Vier Bücher von Menschlicher Proportionen')Yale University Beinecke Rare Book and Manuscript Library
'The four Books of Human Proportions' ('Vier Bücher von Menschlicher Proportionen')Yale University Beinecke Rare Book and Manuscript Library

Durero usaba cuadrículas rectilíneas en su dibujos. Esto no es nada nuevo pues este tipo de cuadrículas ya eran conocidas miles de años antes y tenemos evidencias arqueológicas de los antiguos (por ejemplo, en Egipto) ya usaban este tipo de mallas en sus dibujos y esculturas.

Pero Durero nos muestra una nueva idea pues transforma estas cuadrículas modificando al mismo tiempo la figura. Podemos decir que está usando la cuadrícula como un primitivo "sistema de coordenadas".

Se basó en transformaciones geométricas de diferentes tipos. Algunas de estas transformaciones las llamamos actualmente transformaciones afines.

Las transformaciones afines incluyen transformaciones como la compresión en una dirección.

'The four Books of Human Proportions' ('Vier Bücher von Menschlicher Proportionen')Yale University Beinecke Rare Book and Manuscript Library
Durero y las transformaciones  | matematicasvisuales
Durero y las transformaciones  | matematicasvisuales

Podemos usar este tipo de transformaciones para entender el método de Arquímedes para calcular el área de una elipse.

Arquímedes y el área de la elipse: una aproximación intuitiva
En su libro 'Sobre Conoides y Esferoides', Arquímedes calculó el área de la elipse. Podemos ver una aproximación intuitiva a las ideas de Arquímedes.

Otro tipo de transformación afín es una cizalla. En este caso se cambia el ángulo del sistema de coordenadas.

'The four Books of Human Proportions' ('Vier Bücher von Menschlicher Proportionen')Yale University Beinecke Rare Book and Manuscript Library
Durero y las transformaciones  | matematicasvisuales

Las transformaciones afines son transformaciones lineales (las rectas se transforman en rectas) que preservan el paralelismo (rectas paralelas se transforman en rectas paralelas).

Además, Durero cambian diferentes zonas de la cuadrícula de modo diferente. Podemos decir que este tipo de transformaciones es una tranformación afín "a trozos".

Durero y las transformaciones | matematicasvisuales

Con estas transformaciones "a trozos" obtiene caras deformadas como caricaturas, algunas veces grotescas.

Durero y las transformaciones | matematicasvisuales

Algunas de las transformaciones que Durero nos muestra no son transformaciones afines.

'The four Books of Human Proportions' ('Vier Bücher von Menschlicher Proportionen')Yale University Beinecke Rare Book and Manuscript Library
'The four Books of Human Proportions' ('Vier Bücher von Menschlicher Proportionen')Yale University Beinecke Rare Book and Manuscript Library

REFERENCIAS

Albrecht Durero "Vier Bücher" ("Los cuatro libros de las proporciones humanas") en Yale University Beinecke Rare Book and Manuscript Library.
Dan Pedoe, Geometry and the Visual Arts. Dover Publications. (pp. 66-73)
Erwin Panofsky, The Life and Art of Albrecht Dürer.
D'Arcy Thompson, On Growth and Form. Cambridge University Press (1945).

MÁS ENLACES

Arquímedes y el área de la elipse: una aproximación intuitiva
En su libro 'Sobre Conoides y Esferoides', Arquímedes calculó el área de la elipse. Podemos ver una aproximación intuitiva a las ideas de Arquímedes.
Leonardo da Vinci: Dibujo del dodecaedro para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su dodecaedro.
Dibujo de un pentágono regular con regla y compás
Podemos dibujar un pentágono regular dado uno de sus lados construyendo la razón áurea con regla y compás.
La diagonal de un pentágono regular y la razón áurea
La diagonal y el lado de un pentágono regular están en proporción áurea. El punto de intersección de dos diagonales de un pentágono regular divide a ambas en la razón áurea o 'en razón extrema y media'.
La proporción áurea
A partir de la definición de Euclides de la división de un segmento en su razón media y extrema introducimos una propiedad de los rectángulos áureos y deducimos la ecuación y el valor de la proporción áurea.
Rectángulo áureo
Un rectángulo áureo se puede descomponer en un cuadrado y otro rectángulo áureo.
Rectángulo áureo y rotación dilatativa
Un rectángulo áureo se descompone en un cuadrado y otro rectángulo áureo. Estos rectángulos están relacionados por una rotación dilatativa.
Espiral áurea
La espiral áurea se contruye a partir de rectángulos áureos y es una aproximación simple a una espiral equiangular.
Rectángulo áureo y dos espirales equiangulares
Dos espirales equiangulares contienen los vértices de rectángulos áureos.
El icosaedro y su volumen
Los veinte vértices de un icosaedro están en tres rectángulos áureos. A partir de esta propiedad podemos calcular el volumen del icosaedro.
El dodecaedro regular
Algunas propiedades de este sólido platónico y su relación con la razón áurea. Construcción de dodecaedros (y otros poliedros relacionados) usando diferentes técnicas.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos: Dodecaedro regular
El primer dibujo del desarrollo plano del dodecaedro regular fue publicado por Durero en su libro 'Underweysung der Messung' ('Los cuatro libros de la medida'), el año 1525.
Dilatación y giro de la espiral equiangular
Cualquier dilatación de una espiral equiangular tiene el mismo efecto que una rotación.
Espiral equiangular
En una espiral equiangular el ángulo entre el radio vector y la tangente es constante.
Rotación dilatativa
Una rotación dilatativa se obtiene combinando una rotación y una dilatación con el mismo centro.