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Ya hemos estudiado las secciones planas de un cilindro y sus desarrollos planos.

Desarrollos planos de cuerpos geométricos (4): Cilindros cortados por un plano oblicuo
La sección de un cilindro por un plano es una elipse. Estas figuras se llaman segmentos cilíndricos o cilindros truncados y pueden desarrollarse en el plano.

Sospechamos que la intersección de un cilindro y un plano (no paralelo al eje del cilindro) es una elipse.

Cilindros y elipses, las esferas de Dandelin: Sección plana de un cilindro | matematicasVisuales

En esta página vamos a probar este resultado usando una idea de debemos a Germinal Pierre Dandelin (1794-1847). Dandelin fue un matemático e ingeniero militar belga.

Ya sabemos muchas propiedades de las elipses. Una elipse se define habitualmente como el lugar geométrico de los puntos P tales que la suma de las distancias desde P a dos puntos fijos F1 y F2 (llamados focos) es constante. Usaremos esta defincición más adelante. [Tengo entendido que el primero en llamar a estos dos puntos fijos 'focos' fue Kepler quien afirmó que los planetas viajan alrededor del Sol siguiendo órbitas elípticas con el Sol en uno de los focos. Y foco proviene del latín 'focus' con un sentido original de hogar o fuego del hogar. Entonces foco significaría aquí lugar del que irradia luz o calor].

Cilindros y elipses, las esferas de Dandelin: definición de elipse | matematicasVisuales
La elipse y sus focos
Una elipse tiene dos focos y la suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a los dos focos es una constante.
Ecuación de la elipse
Transformando una circunferencia podemos obtener una elipse (como hizo Arquímedes para calcular su área). A partir de la ecuación de la circunferencia deducimos la de la elipse.


También sabemos cómo calcular el área de una elipse siguiendo a Arquímedes.

Arquímedes y el área de la elipse: una aproximación intuitiva
En su libro 'Sobre Conoides y Esferoides', Arquímedes calculó el área de la elipse. Podemos ver una aproximación intuitiva a las ideas de Arquímedes.


Incluso sabemos construir aparatos para dibujar elipses.

Elipsógrafo: un aparato mecánico para dibujar elipses
El elipsógrafo es un aparato mecánico que se usa para dibujar elipses.

Para probar que la sección de un cilindro es una elipse Dandelin consideró dos esferas inscritas en el cilindro y tangentes al plano que corta al cilindro. Cada una de estas esferas es tangente al cilindro en una circunferencia. Estas circunferencias son paralelas y la distancia entre esas circunferencias a lo largo de cualquier generatriz del cilindro es constante.

Estas esferas se llaman Esferas de Dandelin.

También probaremos que los puntos de tangencia de las esferas con el plano son los focos de la elipse.

La aplicación interactiva nos permite cambiar la distancia entre las (semi)esferas, mover el punto sobre la elipse y rotar toda la figura para verla desde diferentes puntos de vista.

Cilindros y elipses, las esferas de Dandelin: posibilidades que ofrece la aplicación interactiva | matematicasVisuales
Cilindros y elipses, las esferas de Dandelin: posibilidades que ofrece la aplicación interactiva | matematicasVisuales

Vamos a seguir a Hilbert and Cohn-Vossen en su libro 'Geometry and the Imagination' para ver una demostración muy bonita de este hecho:

"Un cilindro circular corta a cualquier plano perpendicular a su eje en una circunferencia. Un plano que no sea perpendicular al eje ni paralelo interseca al cilindro en una curva que parece una elipse. Vamos a probar que esta curva es realmente una elipse. Para ello, consideramos una esfera que encaja en el cilindro y la movemos dentro del cilindro hasta que toque al plano (Fig. 9)."

Cilindros y elipses, las esferas de Dandelin:Truncated cylinder or cylindrical segment: elliptical section from Hilber and Cohn-Vossen's book 'Geometry and the Imagination' | matematicasVisuales
Hilbert and Cohn-Vossen. Geometry and the Imagination. Chelsea Publishing Company. pag.7.
Cilindros y elipses, las esferas de Dandelin: Hilbert and Cohn-Vossen | matematicasVisuales
Cilindros y elipses, las esferas de Dandelin: real model | matematicasVisuales

"Consideramos entonces otra esfera y hacemos lo mismo por el otro lado del plano. Las esferas tocan al cilindro en dos circunferencias y tocan al plano en dos puntos F1 y F2. Sea B otro punto cualquiera de la curva de interesección del plano con el cilindro. Consideramos la recta que pasa por B y que está en el cilindro (es decir, paralela al eje). Corta a las circunferencias de contacto de las esferas en dos puntos P1 y P2. BF1 y BP1 son tangentes a una esfera fija desde un punto fijo B, y todas estas tangentes deben ser iguales, debido a la simetria rotacional de la esfera. Por lo tanto BF1 = BP1; análogamente BF2 = BP2. Por lo tanto,

Por la simetria rotacional de nuestra figura, la distancia P1P2 es independiente del punto B de la curva. Por lo tanto BF1 + BF2 es constante para todos los puntos B de la sección, es decir, la curva es una elipse con focos F1 y F2."

"El hecho que acabamos de probar puede formularse en términos de la teoría de proyecciones como sigue: La sombra que hace una circunferencia sobre un plano oblicuo es una elipse si los rayos son perpendiculares al plano de la circunferencia." (Hilbert and Cohn-Vossen. Geometry and the Imagination)

Un caso particular de elipse es la circunferencia (los dos focos son el mismo punto al que llamamos centro de la circunferencia).

Cilindros y elipses, las esferas de Dandelin: Circunferencia caso especial de elipse | matematicasVisuales
Cilindros y elipses, las esferas de Dandelin: Modelo hecho con boles, varilla roscada, imanes, plástico y metracrilato. Diferentes secciones | matematicasVisuales
Cilindros y elipses, las esferas de Dandelin: Modelo hecho con boles, varilla roscada, imanes, plástico y metracrilato. Diferentes secciones | matematicasVisuales
Cilindros y elipses, las esferas de Dandelin: Modelo hecho con boles, varilla roscada, imanes, plástico y metracrilato. Diferentes secciones | matematicasVisuales
Cilindros y elipses, las esferas de Dandelin: Modelo hecho con boles, varilla roscada, imanes, plástico y metracrilato. Diferentes secciones | matematicasVisuales
Cilindros y elipses, las esferas de Dandelin: Modelo hecho con boles, varilla roscada, imanes, plástico y metracrilato. Diferentes secciones | matematicasVisuales

Si, en vez de cortar un cilindro, cortamos un cono nos encontramos en una situación más general. Las esferas de Dandelin nos sirven también en este caso para estudiar las secciones de un cono (no solo las elipses, también las parábolas y las hipérbolas).

Alberto Durero y las elipses: secciones de un cono.
Durero fue el primero en publicar en alemán un método para dibujar elipses como secciones de un cono.

REFERENCIAS

Hilbert and Cohn-Vossen. Geometry and the Imagination. Chelsea Publishing Company. pag.7.
Dan Pedoe, Geometry and the Visual Arts. Dover Publications.
C. Stanley Ogilvy, Excursions in Geometry. Oxford University Press.

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