Sólidos platónicos: Dualidad
En esta página vamos a revisar los cinco sólidos platónicos.
Ya hemos contado sus elementos: caras, aristas y vértices.
Ahora vamos vamos a relacionar este recuento de sus elementos con el concepto de dualidad aplicado a estos poliedros regulares.
Presentación de los cinco sólidos platónicos: tetraedro, cubo, octaedro, icosaedro y dodecaedro.
El concepto de dualidad es mucho más general pues se aplica no solo a los poliedros sino tambien a los grafos.
Al igual que en la página dedicada a los sólidos platónicos insistiremos en
diferentes técnicas de construcción de poliedros para mostrar la dualidad.
Dualidad entre poliedros
La primera idea que nos puede venir a la cabeza al pensar en dualidad de poliedros es que vamos a emparejar
poliedros, a formar parejas a partir de alguna de sus propiedades.
Ya hemos destacado que se produce un cambio fundamental en la visión que tenemos de los poliedros con los trabajos de Leonard Euler (1707-1783).
Euler se fijó en propiedades de los poliedros que no tienen que ver con las medidas (de los lados, de los ángulos, etc.).
Consideró que los elementos fundamentales de un poliedro eran sus caras (de dimensión 2), sus aristas (de dimensión 1)
y sus vértices (puntos, de dimensión 0).
A partir del recuento de estos elementos vamos a ver cómo se pueden formar parejas de poliedros duales.
En las siguientes imágenes hacemos un repaso del recuento de caras, aristas y vértices de los poliedros platónicos.
Podemos formar parejas de poliedros que llamamos duales si nos fijamos que hay
parejas de poliedros que intercambian el número de caras y vértices y tienen el mismo número de aristas.
Las parejas de poliedros duales intercambian el número de vértices y de caras.
Esto nos sugiere un modo de
construir un poliedro dual de uno dado: Se toma un punto arbitrario en cada cara del poliedro que serán
los vértices del poliedro dual. Se trazan las aristas entre cada par de vértices que estén en caras contiguas
del poliedro original. Cada cara del poliedro dual se corresponde con un vértice del original.
En el caso particular de los sólidos platónicos tomamos el punto central de cada cara (el circuncentro) para
formar el poliedro dual y así obtendremos otro sólido platónico.
El cubo y el octaedro son poliedros duales
Si contamos las caras, aristas y vértices del cubo obtenemos:
Si contamos las caras, aristas y vértices del octaedro obtenemos:
Se intercambian las caras y los vértices y ambos poliedros tienen el mismo número de aristas.
El cubo y el octaedro son poliedros duales.
Podemos colocar un octaedro dentro de un cubo con cada vértice del octaedro en el centro de una cara del cubo.
Así nos lo mostró Kepler:
Construcciones con Zome y cartulina:
En las siguientes construcciones los vértices se han hecho con una impresora 3d:
Un cubo dentro de un octaedro. Se muestra la esfera circunscrita al cubo que es la esfera inscrita al octaedro.
PARA SABER MÁS
En el siguiente enlace puedes ver más detalles de la impresión en 3d de los vértices del cubo y del octaedro.
También se hacen algunos cálculos sobre el circunradio (radio de la esfera circunscrita) y
el inradio (radio de la esfera inscrita). Así podemos calcular el tamaño de estos
poliedros en posición dual.
Construcción del cubo y del octaedro con impresión 3D. El cubo y el octaedro son poliedros duales.
El icosaedro y el dodecaedro son poliedros duales
Contar las caras, aristas y vértices del icosaedro y del dodecaedro es un poco más complicado pues tienen más
elementos.
En la página dedicada a los sólidos platónicos ya hemos visto un truco para hacer
el recuento sin dejarnos ningún elemento.
Si contamos las caras, aristas y vértices del icosaedro obtenemos:
Si contamos las caras, aristas y vértices del dodecaedro obtenemos:
El icosaedro y el dodecaedro intercambian el número de caras y vértices y tienen el mismo número de aristas.
Por tanto, el icosaedro y el dodecaedro son poliedros duales. Esta es una ilustración de Kepler:
Los vértices de estos poliedros están hechos con impresión 3d:
Modelo del icosaedro con Zome y el dodecaedro de cartulina:
Con las piezas de Acona Biconbi de Bruno Munari se puede hacer un
icosaedro y dentro de él poner un dodecaedro en posición dual.
El diseñador italiano Bruno Munari pensó 'Acona Biconbi' como un trabajo de escultura. También es un juego de construcción con el que podemos jugar con colores y formas.
El dual de un tetraedro es otro tetraedro
Un tetraedro tiene 4 caras y 4 vértices. Por lo tanto, su poliedro dual (intercambiando caras con vértices)
tiene 4 caras y 4 vértices, es decir, es otro tetraedro
En una pareja de poliedros duales, cada cara se corresponde con un vértice del otro (y viceversa).
Para construir el poliedro dual del tetraedro señalamos el centro de cada cara. Estos puntos serán los
vértices de su poliedro dual que resulta ser otro tetraedro.
Entonces una construcción de un tetraedro y su dual es la siguiente (los dos tetraedros son de origami, el
exterior en plástico transparente y el interior con papel:
Este modelo está hecho con tubos de aluminio y gomas elásticas.
Los vértices están hechos con una impresora 3d:
Esta construcción ya nos la mostró Kepler (1571-1630):
PARA SABER MÁS
En el siguiente enlace puedes ver más detalles de la impresión en 3d de los vértices del tetraedro.
También se hacen algunos cálculos sobre el circunradio (radio de la esfera circunscrita) y
el inradio (radio de la esfera inscrita). Así podemos calcular el tamaño de los dos tetraedros
en posición dual
Construcción del tetraedro con impresión 3d. El tetraedro es un poliedro autodual. El centro del tetraedro.
REFERENCIAS
Hugo Steinhaus - Mathematical Snapshots - Oxford University Press - Third Edition. (Versión en castellano publicada por
Salvat 'Instantáneas matemáticas', 1986).
Magnus Wenninger - 'Polyhedron Models', Cambridge University Press.
Peter R. Cromwell - 'Polyhedra', Cambridge University Press, 1999.
H.Martin Cundy and A.P. Rollet, 'Mathematical Models', Oxford University Press, Second Edition, 1961.
W.W. Rouse Ball and H.S.M. Coxeter - 'Matematical Recreations & Essays', The MacMillan Company, 1947.
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Presentación de los cinco sólidos platónicos: tetraedro, cubo, octaedro, icosaedro y dodecaedro.
MÁS ENLACES
Material para la sesión sobre construcción de poliedros que se realizó en Zaragoza el 13 de Abril de 2012. El objetivo es disfrutar haciendo poliedros y obtener alguna conclusión matemática a partir de esas construcciones.
Material para la sesión sobre construcción de poliedros (Zaragoza el 9 de Mayo de 2014). Empezaremos con el tetraedro, el cubo y el octaedro y presentaremos el cuboctaedro y el dodecaedro rómbico. Relacionaremos este poliedro con los panales de abeja. Construimos una cajita que es un dodecaedro rómbico.
Material para la sesión sobre poliedros (Zaragoza el 7 de Noviembre de 2014). Estudiaremos el volumen del octaedro y del tetraedro y veremos que el octaedro truncado nos puede ayudar en esta tarea. Construimos una cubo de cartulina con un tetraedro de origami modular en su interior.
Material para la sesión del TTM (Zaragoza el 23 de Octubre de 2015) . Estudiamos la dualidad de poliedros y, en particular, los poliedros platónicos duales. Construimos una cubo de cartulina con un octaedro de origami modular.
Material para la sesión del TTM (Zaragoza, el 21 de Octubre de 2016). Con plantillas para descargar y construir varias figuras geométricas.
Material para la sesión del TTM (Zaragoza, el 20 de Octubre de 2017). El objetivo principal es disfrutar con las Matemáticas y fomentar la construcción de poliedros por su valor estético y también porque nos facilitan la comprensión de resultados matemáticos.
Material para la sesión del TTM (Zaragoza, el 19 de Octubre de 2018). Diferentes construcciones del icosaedro nos ayudan a comprender sus propiedades. El objetivo principal es disfrutan construyendo poliedros.
Material para la sesión del TTM (Zaragoza, el 18 de Octubre de 2019). El objetivo principal es disfrutan construyendo poliedros, en esta ocasión construiremos una cajita que es un dodecaedro rómbico. Estudiaremos la relación de este poliedro con el cubo, el octaedro y el cuboctaedro.
Con motivo del Día internacional de las Matemáticas 2020, que se celebra el 14 de Abril, hemos preparado una exposición homenaje a Kepler en relación con el dodecaedro rómbico.
Podemos dibujar los desarrollos planos en cartulina y construir poliedros uniendo solapas con pegamento.
Si recortamos las caras sueltas de los poliedros podemos unirlas con gomas elásticas o pegamento y construir poliedros más complicados y con varios colores.
Si recortamos las caras sueltas de los poliedros podemos unirlas con pegamento y construir poliedros. Puedes descargar varias plantillas con diferentes polígonos. Es una técnica muy sencilla para construir poliedros muy vistosos e interesantes.
Técnica simple para construir poliedros pegando discos de cartulina.
El diseñador italiano Bruno Munari pensó 'Acona Biconbi' como un trabajo de escultura. También es un juego de construcción con el que podemos jugar con colores y formas.
Tubos de plástico o aluminio unidos son muy útiles para construir esqueletos de poliedros.
Con tres rectángulos áureos podemos construir un icosaedro.
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Tensegrity es la construcción de estructuras con tensores o elementos elásticos. Es un placer construir y tocar estos poliedros elásticos.
Zome es un conjunto de piezas de plástico ideal para construir poliedros desmontables. De las infinitas posibilidades de Zome, aquí lo usamos para calcular el volumen del dodecaedro.
Construcción del tetraedro con impresión 3d. El tetraedro es un poliedro autodual. El centro del tetraedro.
Construcción del cubo y del octaedro con impresión 3D. El cubo y el octaedro son poliedros duales.
Microarquitectura es un juego de construcción desarrollado por Sara San Gregorio. Podemos jugar con él y construir muchas estructuras inspiradas en poliedros.
El volumen del tetraedro es un tercio del paralelepípedo que lo contiene.
El primer dibujo del desarrollo plano del tetraedro regular fue publicado por Durero en su libro 'Underweysung der Messung' ('Los cuatro libros de la medida'), el año 1525.
El volumen del octaedro es 4 veces el del tetraedro. El cálculo del volumen del octaedro es sencillo y así podemos obtener el volumen del tetraedro.
El primer dibujo del desarrollo plano del octaedro regular fue publicado por Durero en su libro 'Underweysung der Messung' ('Los cuatro libros de la medida'), el año 1525.
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro.
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Algunas propiedades de este sólido platónico y su relación con la razón áurea. Construcción de dodecaedros (y otros poliedros relacionados) usando diferentes técnicas.
El primer dibujo del desarrollo plano del dodecaedro regular fue publicado por Durero en su libro 'Underweysung der Messung' ('Los cuatro libros de la medida'), el año 1525.
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su dodecaedro.
