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Sólidos platónicos: Dualidad


En esta página vamos a revisar los cinco sólidos platónicos. Ya hemos contado sus elementos: caras, aristas y vértices. Ahora vamos vamos a relacionar este recuento de sus elementos con el concepto de dualidad aplicado a estos poliedros regulares.

Los sólidos platónicos.
Presentación de los cinco sólidos platónicos: tetraedro, cubo, octaedro, icosaedro y dodecaedro.

El concepto de dualidad es mucho más general pues se aplica no solo a los poliedros sino tambien a los grafos.

Al igual que en la página dedicada a los sólidos platónicos insistiremos en diferentes técnicas de construcción de poliedros para mostrar la dualidad.



Dualidad entre poliedros

La primera idea que nos puede venir a la cabeza al pensar en dualidad de poliedros es que vamos a emparejar poliedros, a formar parejas a partir de alguna de sus propiedades.

Ya hemos destacado que se produce un cambio fundamental en la visión que tenemos de los poliedros con los trabajos de Leonard Euler (1707-1783).

Euler se fijó en propiedades de los poliedros que no tienen que ver con las medidas (de los lados, de los ángulos, etc.).

Consideró que los elementos fundamentales de un poliedro eran sus caras (de dimensión 2), sus aristas (de dimensión 1) y sus vértices (puntos, de dimensión 0).

A partir del recuento de estos elementos vamos a ver cómo se pueden formar parejas de poliedros duales.

En las siguientes imágenes hacemos un repaso del recuento de caras, aristas y vértices de los poliedros platónicos.

Podemos formar parejas de poliedros que llamamos duales si nos fijamos que hay parejas de poliedros que intercambian el número de caras y vértices y tienen el mismo número de aristas.

Las parejas de poliedros duales intercambian el número de vértices y de caras.

Esto nos sugiere un modo de construir un poliedro dual de uno dado: Se toma un punto arbitrario en cada cara del poliedro que serán los vértices del poliedro dual. Se trazan las aristas entre cada par de vértices que estén en caras contiguas del poliedro original. Cada cara del poliedro dual se corresponde con un vértice del original.

En el caso particular de los sólidos platónicos tomamos el punto central de cada cara (el circuncentro) para formar el poliedro dual y así obtendremos otro sólido platónico.



El cubo y el octaedro son poliedros duales

Si contamos las caras, aristas y vértices del cubo obtenemos:

Si contamos las caras, aristas y vértices del octaedro obtenemos:

octaedro | matematicasVisuales

Se intercambian las caras y los vértices y ambos poliedros tienen el mismo número de aristas.

El cubo y el octaedro son poliedros duales.

Podemos colocar un octaedro dentro de un cubo con cada vértice del octaedro en el centro de una cara del cubo. Así nos lo mostró Kepler:

Kepler, octaedro dentro de un cubo | matematicasVisuales
octaedro dentro de un cubo | matematicasVisuales

Construcciones con Zome y cartulina:

Dualidad entre sólidos platónicos: octaedro dentro de un cubo | matematicasVisuales
Dualidad entre sólidos platónicos: | matematicasVisuales

En las siguientes construcciones los vértices se han hecho con una impresora 3d:

Dualidad entre sólidos platónicos: | matematicasVisuales
Dualidad entre sólidos platónicos: | matematicasVisuales

Un cubo dentro de un octaedro. Se muestra la esfera circunscrita al cubo que es la esfera inscrita al octaedro.

Dualidad entre sólidos platónicos: cubo dentro de un octaedro | matematicasVisuales

PARA SABER MÁS

En el siguiente enlace puedes ver más detalles de la impresión en 3d de los vértices del cubo y del octaedro.

También se hacen algunos cálculos sobre el circunradio (radio de la esfera circunscrita) y el inradio (radio de la esfera inscrita). Así podemos calcular el tamaño de estos poliedros en posición dual.

Construcción de poliedros. Impresión 3d: Cubo y octaedro
Construcción del cubo y del octaedro con impresión 3D. El cubo y el octaedro son poliedros duales.
El icosaedro y el dodecaedro son poliedros duales


Contar las caras, aristas y vértices del icosaedro y del dodecaedro es un poco más complicado pues tienen más elementos.

En la página dedicada a los sólidos platónicos ya hemos visto un truco para hacer el recuento sin dejarnos ningún elemento.

Si contamos las caras, aristas y vértices del icosaedro obtenemos:

Si contamos las caras, aristas y vértices del dodecaedro obtenemos:

El icosaedro y el dodecaedro intercambian el número de caras y vértices y tienen el mismo número de aristas.

Por tanto, el icosaedro y el dodecaedro son poliedros duales. Esta es una ilustración de Kepler:

Dualidad entre sólidos platónicos: Icosaedro dentro de un dodecaedro según Kepler | matematicasVisuales

Los vértices de estos poliedros están hechos con impresión 3d:

Dualidad entre sólidos platónicos: Icosaedro dentro de un dodecaedro. Impresión 3d | matematicasVisuales
Dualidad entre sólidos platónicos: dodecaedro dentro de un icosaedro | matematicasVisuales
Dualidad entre sólidos platónicos: dodecaedro dentro de un icosaedro| matematicasVisuales

Modelo del icosaedro con Zome y el dodecaedro de cartulina:

Dualidad entre sólidos platónicos: dodecaedro dentro de un icosaedro. Zome y cartulina| matematicasVisuales

Con las piezas de Acona Biconbi de Bruno Munari se puede hacer un icosaedro y dentro de él poner un dodecaedro en posición dual.

Acona Biconbi, diseño de Bruno Munari
El diseñador italiano Bruno Munari pensó 'Acona Biconbi' como un trabajo de escultura. También es un juego de construcción con el que podemos jugar con colores y formas.
Dualidad entre sólidos platónicos: dodecaedro dentro de un icosaedro. Bruno Munari | matematicasVisuales
Dualidad entre sólidos platónicos: dodecaedro dentro de un icosaedro. Bruno Munari | matematicasVisuales
El dual de un tetraedro es otro tetraedro

Un tetraedro tiene 4 caras y 4 vértices. Por lo tanto, su poliedro dual (intercambiando caras con vértices) tiene 4 caras y 4 vértices, es decir, es otro tetraedro

En una pareja de poliedros duales, cada cara se corresponde con un vértice del otro (y viceversa).

Para construir el poliedro dual del tetraedro señalamos el centro de cada cara. Estos puntos serán los vértices de su poliedro dual que resulta ser otro tetraedro.

Entonces una construcción de un tetraedro y su dual es la siguiente (los dos tetraedros son de origami, el exterior en plástico transparente y el interior con papel:

Dualidad entre sólidos platónicos: construcción del tetraedro y su dual | matematicasVisuales

Este modelo está hecho con tubos de aluminio y gomas elásticas.

Dualidad entre sólidos platónicos: construcción del tetraedro y su dual | matematicasVisuales

Los vértices están hechos con una impresora 3d:

Dualidad entre sólidos platónicos: construcción del tetraedro y su dual con vértices impresos en 3d | matematicasVisuales

Esta construcción ya nos la mostró Kepler (1571-1630):

Kepler, tetraedro y su dual | matematicasVisuales

PARA SABER MÁS

En el siguiente enlace puedes ver más detalles de la impresión en 3d de los vértices del tetraedro.

También se hacen algunos cálculos sobre el circunradio (radio de la esfera circunscrita) y el inradio (radio de la esfera inscrita). Así podemos calcular el tamaño de los dos tetraedros en posición dual

Construcción de poliedros. Impresión 3d: Tetraedro
Construcción del tetraedro con impresión 3d. El tetraedro es un poliedro autodual. El centro del tetraedro.

REFERENCIAS

Hugo Steinhaus - Mathematical Snapshots - Oxford University Press - Third Edition. (Versión en castellano publicada por Salvat 'Instantáneas matemáticas', 1986).
Magnus Wenninger - 'Polyhedron Models', Cambridge University Press.
Peter R. Cromwell - 'Polyhedra', Cambridge University Press, 1999.
H.Martin Cundy and A.P. Rollet, 'Mathematical Models', Oxford University Press, Second Edition, 1961.
W.W. Rouse Ball and H.S.M. Coxeter - 'Matematical Recreations & Essays', The MacMillan Company, 1947.

MÁS ENLACES

Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Taller de Talento Matemático de Zaragoza
Material para la sesión sobre construcción de poliedros que se realizó en Zaragoza el 13 de Abril de 2012. El objetivo es disfrutar haciendo poliedros y obtener alguna conclusión matemática a partir de esas construcciones.
Construcción de poliedros. Cuboctaedro y dodecaedro rómbico: Taller de Talento Matemático de Zaragoza. Curso 2013-2014.
Material para la sesión sobre construcción de poliedros (Zaragoza el 9 de Mayo de 2014). Empezaremos con el tetraedro, el cubo y el octaedro y presentaremos el cuboctaedro y el dodecaedro rómbico. Relacionaremos este poliedro con los panales de abeja. Construimos una cajita que es un dodecaedro rómbico.
El cubo, el octaedro, el tetraedro y otros poliedros: Taller de Talento Matemático de Zaragoza. Curso 2014-2015.
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Material para la sesión del TTM (Zaragoza el 23 de Octubre de 2015) . Estudiamos la dualidad de poliedros y, en particular, los poliedros platónicos duales. Construimos una cubo de cartulina con un octaedro de origami modular.
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Leonardo da Vinci: Dibujo del dodecaedro para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su dodecaedro.