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Ya hemos estudiado el elipsógrafo (o "trammel" de Arquímedes). Es un aparato que consite en una varilla que se mueve con dos puntos fijos sobre dos rectas perpendiculares.

Elipsógrafo: un aparato mecánico para dibujar elipses
El elipsógrafo es un aparato mecánico que se usa para dibujar elipses.

Los puntos de la varilla describen elipses.

También hemos considerado el segmento de longitud constante que se mueve con sus extremos sobre dos rectas perpendiculares. Podemos ver este caso como el de una escalera que se desliza apoyada en el suelo y en una pared.

Elipsógrafo: un aparato mecánico para dibujar elipses (2)
Si un segmento de longitud fija se mueve de modo que sus extremos están en dos rectas perpendiculares, cualquier punto del segmento traza una elipse.

La envolvente de estos segmentos de longitud constante que se mueven con sus extremos sobre dos rectas perpendiculares es una curva que tiene cuatro cúspides. Su nombre es astroide.

Podemos jugar con la primera aplicación interactiva para ver el segmento móvil y la astroide.

Astroide como envolvente: astroide envolvente de segmentos | matematicasVisuales
Astroide como envolvente: astroide envolvente de segmentos | matematicasVisuales

La astoide es también envolvente de una familia de elipses con la propiedad de que la suma de los ejes es constante (la longitud del segmento móvil).

En la segunda aplicación interactiva podemos ver la astroide y la familia de elipses.

Astroide como envolvente: astroide envolvente de elipses | matematicasVisuales

REFERENCIAS

Tom Apostol and Mamikon Mnatsakanian, 'New Horizons in Geometry' (Chapter 9. Trammels, ), Mathematical Association of America, 2012.
H.Martin Cundy and A.P. Rollet, 'Mathematical Models', Oxford University Press, Second Edition, 1961.
Hilbert and Cohn-Vossen, Geometry and the Imagination. Chelsea Publishing Company. pag.278.
Robert C. Yates, 'A Handbook on curves and their properties', J.W.Edwards-Ann Arbor, 1947.
J.L. Coolidge, The Mathematics of great Amateurs. Second Edition. Claredon Press. Oxford. Jan de Witt's proof in page 124.
Historical Mechanisms for Drawing Curves by Daina Taimina. With De Witt's proof why the trammel describes an ellipse.

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