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¿Qué funciones acotadas son integrables?

Esta es una pregunta difícil de responder. Pero una respuesta parcial y simple es que las funciones monótonas son integrables.

Una función es monótona en un intervalo si es creciente o decreciente en el intervalo. Si f es una función monótona en [a,b] entonces es acotada e integrable. (Y este resultado se puede generalizar fácilmente a funciones acotadas monótonas a trozos [ver Ross, p. 196])

"Afortunadamente, muchas de las funciones que ocurren en la práctica son monótonas o suma de funciones monótonas, por lo tanto este pequeño resultado tiene mucha aplicación." (Apostol, p. 76)

En el applet podemos jugar con un caso simple de funciones monótonas: funciones monótonas continuas, pero el resultado es verdadero en general. (De paso podemos decir que otra familia importante de funciones integrables son todas las funciones continuas en [a,b]).

Podemos modificar la curva, los extremos de integración, aumentar o disminuir el número de rectángulos, ver el error que hacemos y una cota de ese error. Podemos ver una animación sobre esto.

Antes de considerar aspectos más teóricos del problema podemos pensar un poco sobre la aproximación del valor de la integral definida de una función monótona.

Cuando aproximamos una integral usando rectángulos cometemos un error. En algunos casos, por ejemplo, con funciones monótonas, podemos acotar la magnitud del error. El error es igual a la suma de las áreas de los "triángulos curvos" azules.

Integral definida de funciones monótonas: Cuando aproximamos una integral usando rectángulos cometemos un error | matematicasVisuales

Este error es menos que el área de un rectángulo.

Integral definida de funciones monótonas: Este error es menos que el área de un rectángulo, cota de error | matematicasVisuales
Integral definida de funciones monótonas: Este error es menos que el área de un rectángulo, cota de error | matematicasVisuales

Si consideramos un caso simple, cuando las bases de los rectángulos son iguales, entonces podemos calcular una cota de error:

Integral definida de funciones monótonas:  cuando las bases de los rectángulos son iguales, podemos calcular una cota de error | matematicasVisuales

Usando particiones refinadas podemos obtener cotas de error tan pequeñas como queramos, pues cuando refinamos una partición la base de los rectángulos es menor.

Integral definida de funciones monótonas: particiones refinadas, menor cota de error | matematicasVisuales

Vamos a probar que una función monótona positiva y creciente en [a,b] es integrable.

Empezamos con una partición del intervalo:

Integral definida de funciones monótonas: partición del intervalo | matematicasVisuales
Integral definida de funciones monótonas: partición del intervalo | matematicasVisuales

Si dividimos el intervalo en n partes iguales entonces la base de cada rectángulo es:

Podemos calcular una cota de error superior de la integral:

Integral definida de funciones monótonas: cota superior de la integral | matematicasVisuales

Consideramos la sucesión decreciente

Integral definida de funciones monótonas: una sucesión decreciente | matematicasVisuales

Con la misma partición, esta es una cota inferior de la integral:

Integral definida de funciones monótonas: cota inferior de la integral | matematicasVisuales

Consideramos la sucesión creciente

Integral definida de funciones monótonas: una sucesión creciente | matematicasVisuales

Si estas dos sucesiones convergen hacia el mismo límite, podemos considerar ese límite como la integral definida y escribir

Integral definida de funciones monótonas: Si estas dos sucesiones convergen hacia el mismo límite, podemos considerar ese límite como la integral definida | matematicasVisuales

Entonces la cuestión es si realmente convergen.

Cuando consideramos una funcion monótona creciente tenemos una sucesión creciente (Sn) y una sucesión decreciente (Tn). Entonces tenemos que comprobar que

Integral definida de funciones monótonas | matematicasVisuales

Calculamos Tn - Sn

Integral definida de funciones monótonas | matematicasVisuales

Entonces el límite

Concluímos que si f es mónotona en el intervalo [a,b], entonces la integral definida existe. [Toeplitz, p.64]

Integral definida de funciones monótonas: si f es mónotona en el intervalo [a,b], entonces la integral definida existe | matematicasVisuales

Aquí podemos leer cómo plantea esta cuestión Newton en su libro 'Principios Matemáticos de Filosofía Natural'('Principia'). Podemos leer el libro en versión inglesa en Google books (p. 17), California Digital Library o en latín en Cambridge Digital Library, por ejemplo.

Integral definida de funciones monótonas: Funciones monótonas en los Principia de Newton | matematicasVisuales

REFERENCIAS

Markushevich, Áreas y logaritmos. Ed. Mir.
Tom M. Apostol, Calculus, Second Edition, John Willey and Sons, Inc. (p. 77).
Michael Spivak, Calculus, Third Edition, Publish-or-Perish, Inc. (p. 256)
Otto Toeplitz, The Calculus, a genetic approach, The University of Chicago Press, 1963 (p. 63).
Kenneth A. Ross, Elementary Analysis: The Theory of Calculus, Springer-Verlag New York Inc., 1980 (p. 190).

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