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Ya hemos estudiado el ejemplo más básico de funciones definidas a trozos: las funciones escalera (o escalonadas).

Funciones constantes a trozos
Una función constante a trozos (o función escalonada) está definida por varias subfunciones que son funciones constantes.

Ahora vamos a estudiar funciones definidas a trozos pero cuyos trozos no tienen que ser necesariamente constantes. Empezamos por las funciones lineales a trozos que, además, son continuas. Las funciones lineales a trozos pueden tener alguna discontinuidad en los extremos de los subdominios que definen la función. En el caso que consideramos en esta página las funciones son continuas y su gráfico está formado por segmentos rectos unidos.

Las funciones continuas lineales a trozos F y las funciones escalera f están emparejadas de alguna manera.

Hacemos un uso típico de las funciones continuas lineas a trozos cuando unimos varios puntos de una gráfica usando segmentos. Este tipo de aproximación a una gráfica se llama interpolación lineal.

Un ejemplo de función continua lineal a trozos es la definición de la función valor absoluto.

Funciones continuas lineales a trozos: función valor absoluto | matematicasVisuales

Si consideramos ahora la derivada de cada trozo (en este caso sencillo, la derivada es la pendiente de una linea recta) obtenemos una función escalonada.

Funciones continuas lineales a trozos: derivada de la función valor absoluto es una función escalonada | matematicasVisuales

Es interesante destacar que estas funciones continuas son 'suaves en casi todas partes'. Solo puede haber algunos puntos en los que la función no sea suave. Tienen unos pocos 'picos'. Podemos decir que son ejemplos de funciones diferenciables a trozos (o que son 'diferenciables en casi todas partes').

Una función es diferenciable a trozos si es diferenciable en una serie de subdominios aunque la función en su conjunto no sea diferenciable. En estos casos vemos que la función deja de ser diferenciable en los extremos de los subdominios de definición.

Recordamos que el gráfico de una función lineal es una linea recta.

La derivada de una función lineal es el ejemplo más básico de derivada pues es una función constante.

Funciones polinómicas y derivada (1): Funciones afines
La derivada de una función lineal es la función constante cuyo valor es la pendiente de la recta.

La integral de una función lineal no constante es una función cuadrática.

Funciones polinómicas e integral (1): Funciones afines
Es fácil calcular el área bajo una línea recta y el eje de abcisas. Es un primer ejemplo de integración que nos permite entender la idea e introducir algunos conceptos básicos: integral como área, límites de integración, áreas positivas y negativas.

Funciones continuas lineales a trozos: la integral de una función lineal no constane es una función cuadrática | matematicasVisuales

Ahora nos vamos a fijar en la relación entre una función continua lineal a trozos F y la función escalonada f que podemos definir con las pendientes de cada trozo de F.

Podemos jugar con el applet y considerar una función F:

Funciones continuas lineales a trozos:  | matematicasVisuales

Entonces las pendientes definen una función escalonada f (y podemos ver esta función como 'velocidad'):

Funciones continuas lineales a trozos: pendientes | matematicasVisuales

Si ahora queremos calcular el área bajo esta función escalonda f ...

Funciones continuas lineales a trozos: área bajo una función escalonada | matematicasVisuales

... obtenemos una función lineal a trozos que es una traslación vertical de la función a trozos original.

Funciones continuas lineales a trozos: función integral | matematicasVisuales

Este proceso se llama integración. En este caso es sencillo pues se trata de calcular áreas de rectángulos. La función que obtenemos es una función integral (que la podemos interpretar como 'distancia', si f es la 'velocidad').

Cambiando el origen de integración (el punto azul lo podemos mover de derecha a izquierda) trasladamos la función integral arriba y abajo.

En el siguiente applet empezamos con una función escalonada f y buscamos una función continua a trozos F cuyas pendientes sean iguales a la función escalonada inicial. A este proceso también lo llamamos integración.

Funciones continuas lineales a trozos: función integral | matematicasVisuales

Podemos arrastrar arriba y abajo el punto azul para la traslada la función integral: hay infinitas funciones integrales.

Funciones continuas lineales a trozos: integral | matematicasVisuales

Si F(a) está fijado podemos considerar la función F(x)

Funciones continuas lineales a trozos:  | matematicasVisuales

Supongamos que nos interesa saber el valor de F(b) y que conocemos las pendientes de las diferentes partes.

Podríamos calcular los valores de F(c), F(d) y F(b) usando la fórmula punto-pendiente para rectas (por ejemplo).

Funciones continuas lineales a trozos:  | matematicasVisuales

Si hay muchas piezas puede resultar costoso encontrar el calor de F(b).

F(x) es una función integral, entonces

Funciones continuas lineales a trozos:  | matematicasVisuales

Este es el Teorema Fundamental del Cálculo aplicado a una situación particularmente sencilla.

Podemos calcular el área pieza a pieza para obtener la integral

Funciones continuas lineales a trozos:  | matematicasVisuales

O podemos usar el valor intermendio y recordar que

Funciones continuas lineales a trozos:  | matematicasVisuales
Funciones continuas lineales a trozos:  | matematicasVisuales

Ahora, esta fórmula relaciona el Teorema Fundamental del Cálculo con la fórmula punto-pendiente:

Funciones continuas lineales a trozos:  | matematicasVisuales

Ahora damos un paso más y vamos a integral funciones continuas lineales a trozos.

Funciones continuas lineales a trozos:  | matematicasVisuales

La función integral F(x) está formada por varias piezas de parábola conectadas.

Funciones continuas lineales a trozos: la función integral F(x) está formada por varias piezas de parábola conectadas | matematicasVisuales

Apreciamos que la conexión entre las piezas de parábola es suave (esto es algo intuitivo, tendríamos que probarlo)

Funciones continuas lineales a trozos: la conexión entre las piezas de parábola es suave | matematicasVisuales

La función F(x) no es solo continua, también es diferenciable. Nos podemos convener un poco más de esta importante propiedad arrastrando el punto azul y moviendo la tangente. El cambio es suave. Esta es una propiedad general: cuando f es continua entonces F es más que continua, es diferenciable.

Funciones continuas lineales a trozos: cuando f es continua entonces F es más que continua, es diferenciable | matematicasVisuales

Si derivamos F obtenemos la función original f otra vez.

Funciones continuas lineales a trozos:  | matematicasVisuales
Funciones continuas lineales a trozos:  | matematicasVisuales

El valor medio de una función f(x) en un intervalo [a,b] viene dado por

Funciones continuas lineales a trozos: valor medio de una función en un intervalo | matematicasVisuales

En el siguiente applet podemos jugar con este concepto.

Puesto que estas funciones son continuas, son un caso particular del Teorema del valor medio para integrales: Si f(x) es una función continua en un intervalo [a,b] entonces existe un valor c en [a,b] tal que

Linear Functions: valor medio de una función en un intervalo | matematicasVisuales
Funciones continuas lineales a trozos: valor medio de una función en un intervalo | matematicasVisuales

Un caso más general que podemos estudiar es el de las funciones lineales a trozos discontinuas.

REFERENCIAS

Tom M. Apostol, Calculus, Second Edition, John Willey and Sons, Inc.
Gilbert Strang, Sums and Differences vs. Integrals and Derivatives, The College Mathematics Journal, January 1990. JSTOR.
Anthony J. Macula, The Point-Slope Formula Leads to the Fundamental Theorem of Calculus, The College Mathematics Journal, Mathematical Association of America, 1995.
Michael Spivak, Calculus, Third Edition, Publish-or-Perish, Inc.

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