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Llegamos ahora a la conexión que haya entre integración y derivación. La relación entre estos dos procesos es, de algún modo, análoga a la que hay entre 'elevar al cuadrado' y la 'raíz cuadrada'. Si elevamos al cuadrado un número positivo y después tomamos la raíz cuadrada del resultado, obtenemos el número original. De igual modo, si integramos una función continua obtenemos una nueva función (una integral indefinida de f) y si diferenciamos esta función obtenemos la función original.(Apostol, pp. 202)

Esta conexión entre diferenciación e integración es muy sorprendente. La integración está relacionada con la suma de muchos números pequeños (por ejemplo, cuando calculamos un área, la longitud de una curva, etc.) y la diferenciación es la tasa de variación instantánea (una interpretación gráfica de la derivada es la pendiente de la tangente a la curva). El Teorema Fundamental del Cálculo nos dice que estos dos conceptos están íntimamente relacionados.

Ya hemos visto varios ejemplos cuando diferenciamos e integramos funciones polinómicas pues ya vimos cierta relación.

Sabemos que si f es integrable, entonces F(x) [una integral indefinida] es continua. Nos podemos preguntar que ocurre cuando la función original f es continua. Resulta que F es diferenciable (y que su derivada es especialmente simple).[Spivak]

(EL PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO) Sea f una función integrable en [a,b], y definimos una nueva función F en [a,b] por

Teorema Fundamental del Cálculo | matematicasVisuales

Si c pertecece a [a,b] y f es continua en c, entonces F es diferenciable en c, y

Teorema Fundamental del Cálculo | matematicasVisuales

Una demostración visual bien conocida asume que la función f es continua en un entorno del punto (esta es una condición más débil, la hipótesis del teorema es más fuerte. Para una demostración analítica más rigurosa de este teorema hay que leer un buen libro de Cálculo).

Si c es un punto de (a,b), mirando la imagen podemos aceptar que

Fundamental Theorem of Calculus | matematicasVisuales
Teorema Fundamental del Cálculo: demostración visual | matematicasVisuales

Si h es suficientemente pequeño (o podemos usar un teorema de valor intermedio, para ser más precisos)

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Dividiendo entre h:

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Fundamental Theorem of Calculus | matematicasVisuales
Fundamental Theorem of Calculus | matematicasVisuales

Si f tiene mejores propiedades, por ejemplo, si f es continua en todos los puntos de [a,b], entonces F es diferenciable en todos los puntos de (a,b) y

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o

Fundamental Theorem of Calculus | matematicasVisuales
Fundamental Theorem of Calculus | matematicasVisuales

La idea es que empezamos con una función f:

Teorema Fundamental del Cálculo: una función y el área bajo la curva | matematicasVisuales

Consideramos una integral indefinida F (arrastando el límite inferior de integración obteneos diferentes funciones integrales):

Teorema Fundamental del Cálculo: una función integral | matematicasVisuales

En un punto diferenciamos esta función F (gráficamente estamos considerando la pendiente de la recta tangente):

Teorema Fundamental del Cálculo: recta tangente a una función integral | matematicasVisuales

Entonces:

Teorema Fundamental del Cálculo: derivada de una función integral  | matematicasVisuales

Este Teorema Fundamental del Cálculo nos dice que toda función continua tiene una antiderivada y nos muestra cómo construir una usando una integral indefinida. Incluso funciones no diferenciables con esquinas, tales como el valor absoluto tienen una antiderivada.

Muchas veces el problema es cómo encontrar una antiderivada de una función, es decir, dada una función f(x), encontrar una función F(x) tal que F'(x) = f(x).

Un caso importante es cuando queremos integrar una función que tiene una antiderivada (o primitiva). Es decir, conocemos una función f y queremos integrar f' (o tenemos que integrar f' y podemos encontrar una primitiva f). En este caso, podemos ver la función que queremos integrar como una tasa de variación y la integral como un acumulador de este cambio (un ejemplo: la integral de la velocidad es la distancia recorrida).

Teorema Fundamental del Cálculo: una función y su derivada | matematicasVisuales
Teorema Fundamental del Cálculo: área bajo una función derivda, integral definida | matematicasVisuales

Definimos una función integral F (pero ahora estamos integrando f'):

Fundamental Theorem of Calculus | matematicasVisuales
Teorema Fundamental del Cálculo: función integral de la derivada | matematicasVisuales

Entonces F es una primitiva de f', es decir:

Teorema Fundamental del Cálculo: función integral de una primitva de  f' | matematicasVisuales

Teorema Fundamental del Cálculo: | matematicasVisuales

Podemos ver que

Fundamental Theorem of Calculus | matematicasVisuales

Un paso más y tendremos el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo (o cómo evaluar integrales definidas).

REFERENCIAS

Michael Spivak, Calculus, Third Edition, Publish-or-Perish, Inc.
Tom M. Apostol, Calculus, Second Edition, John Willey and Sons, Inc.
Otto Toeplitz, The Calculus, a genetic approach, The University of Chicago Press, 1963 (p. 95-99).
Kenneth A. Ross, Elementary Analysis: The Theory of Calculus, Springer-Verlag New York Inc., 1980 (p. 190).
Serge Lang, A First Course in Calculus, Third Edition, Addison-Wesley Publishing Company.
David M. Bressoud, Historical Reflections on Teaching the Fundamental Theorem of Calculus, American Mathematical Monthly 118 (2011).
Jorge M. López Martínez and Omar A. Hernández Rodríguez,Teaching the Fundamental Theorem of Calculus: A Historical Reflection in MathDL.

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