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Ya hemos visto algunas ideas en torno a la definición de la integral definida.

Supongamos ahora que f es una función integrable en [a,b]. Si mantenemos a y f fijos, podemos definir una nueva función en [a,b] por la fórmula

Integral indefinida: fórmula | matematicasVisuales

A esta función la llamamos una integral indefinida de f.

Si f es positiva, F(x) se llama, a veces, una función área.

Integral indefinida: función área | matematicasVisuales

Decimos una integral indefinida en vez de la integral indefinida porque F también depende del límite inferior de integración a. We say an indefinite integral rather than the indefinite integral because F also depends on the lower limit a. Diferentes valores de a dan lugar a diferentes funciones F. Pero la diferencia entre dos funciones integrales de la misma función is independiente de x, sólo se diferencian en una constante. [Apostol]

Podemos ver un comportamiento similar cuando estuadiamos el concepto de antiderivada o primitiva.

Si f es positiva en un intervalo, entonces F (en este caso F es área) es creciente.

Integral indefinida: función positiva, integral creciente | matematicasVisuales

Si f es negativa en un intervalo, entonces F es decreciente.

Integral indefinida: función negativa, integral decreciente | matematicasVisuales

Si f(x)=0 entonces x es un punto crítico de F.

Integral indefinida: puntos críticos de una función integral | matematicasVisuales
Integral indefinida: puntos críticos de una función integral | matematicasVisuales

Estas tres relaciones entre F y f son precisamente las de una función y su derivada.

Podemos empezar estudiando integrales usando funciones polinómicas sencillas: We can start studying integrals using simple polynomial functions: lineales, cuadráticas y funciones polinómicas generales.

REFERENCIAS

Michael Spivak, Calculus, Third Edition, Publish-or-Perish, Inc.
Tom M. Apostol, Calculus, Second Edition, John Willey and Sons, Inc.

MÁS ENLACES

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