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Durante el siglo anterior a Newton y Leibniz, los trabajos de los matemáticos griegos se hicieron populares, especialmente los trabajos de Arquímedes. Se desarrollaron técnicas infinitesimales para calcular áreas y volúmenes. Kepler fue uno de los matemáticos que contribuyeron a estos desarrollos. De un modo anecdótico podemos decir que su interés por el cálculo de áreas y volúmenes surge a partir de un incidente que ocurrió cuando se casó por segunda vez. Kepler había comprado un barril de vino para su boda y el procedimiento que empleó el mercader de vino para medir el volumen del barril enfadó a Kepler. A partir de este incidente, estudió cómo calcular áreas y volúmenes de diferentes cuerpos, especialmente cuerpos de revolución, y escribió un libro sobre el tema. Ésta fue su principal contribución al origen del cálculo integral.

Kepler, volumen de barriles de vino | matematicasVisuales

Kepler estudió los trabajos de Arquímedes y escribió un libro (publicado en 1615): "Nova Stereometria doliorum vinariorum" (Nueva Geometría sólida de los barriles de vino).

Es un trabajo sistemático en el que se usan técnicas infinitesimales para el cálculo de áreas y volúmenes. Se concentra en los sólidos de revolución e incluye el cálculo (exacto o aproximado) de más de noventa sólidos. Actualmente usamos cálculo integral para resolver este tipo de problemas.

Puedes leer el libro completo "Nova Stereometria doliorum vinariorum" en The Posner Library.

En su trabajo, Kepler desarrolla los procedimientos de Arquímedes (aunque en su tiempo no se conocía "El Método" de Arquímedes, pues estaba perdido) El enfoque de Kepler en su estereometría es diseccionar un sólido en un número infinito de piezas infinitesimales, o sólidos "indivisibles", de una forma y tamaño conveniente a la solución de cada problema particular. Entonces suma todos esos indivisibles de alguna manera para obtener el área o volumen de la figura dada.

Los elementos infinitesimales de Kepler tienen la misma dimensión que el cuerpo que quiere medir. Si quiere calcular un área, suma elementos área y si quiere calcular un volumen considera elementos infinitesimales con volumen.

"Pensó en el volumen de un barril, como el de cualquier otro cuerpo, como formado por numerosas hojas finas adecuadamente dispuestas en capas, y considera el volumen del barril como la suma de los volumenes de estas capas, siendo cada una de ellas un cilindro." (Felix Klein)

Kepler, volumen de barriles de vino: método de los discos para calcular el volumen de sólidos de revolución | matematicasVisuales
Kepler, volumen de barriles de vino: método de los discos para calcular el volumen de sólidos de revolución | matematicasVisuales

Veinte años despues de la publicación de la Stereometria doliorum de Kepler se publicó un libro en Italia que rivalizó con él en popularidad: Geometria indivisibilibus de Bonaventura Cavalieri (1635)

En este libro uso lo que ahora conocemos como Teorema o Principio de Cavalieri: Si dos sólidos tienen alturas iguales y si las secciones hechas por planos paralelos a las bases y a la misma distancia están siempre en la misma proporción, entonces los volúmenes de los dos sólidos están también en la misma proporción.

El método de Cavalieri es diferente al de Kepler en dos aspectos importantes:

"En primer lugar, Cavalieri procede estableciendo una correspondencia uno a uno entre los elementos indivisibles de dos figuras geométricas dadas. Si los indivisibles correspondientes de estas dos figuras están en una cierta proporción (constante), entonces concluye que las áreas o volúmenes de las figuras están en la misma proporción. Típicamente, el área o volumen de una de las figuras se conoce por adelantado y así obtenemos el de la otra.

En segundo lugar, Kepler considera una figura geométrica compuesta por indivisibles de la misma dimensión. Sin embargo, Cavalieri generalmente considera una figura geométrica compuesta por un número infinítamente grande de indivisibles de dimensión menor. Un área está formada por segmentos paralelos y equidistantes y un volumen consiste en secciones planas paralelas y equidistantes.

Cavalieri hace de la noción de indivisible la base de us método geométrico de demostración. No explicó que entendía precisamente con la palabra indivisible que él empleó para caracterizar los elementos infinitesimales que usa en su método. Cavalieri concebía una superficie como formada por un número indefinido de líneas paralelas equidistantes y un sólido como compuesto por planos paralelos equidistantes, y estos elementos eran designados los indivisibles de la superficie y del volumen respectivamente." (C.H. Edwards)

Este método usado por Kepler se llama método de los discos. Es un procedimiento para calcular el volumen de sólidos de revolución cuando integramos a lo largo del eje de rotación.

Kepler, the volume of wine barrels: method of disk, calculating the volume of a solid of revolution |matematicasVisuales

REFERENCIAS

Felix Klein - Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint. Arithmetic, Algebra, Analysis (p. 209) - Dover Publications
C.H. Edwards - The Historical Development of the Calculus (p. 99)- Springer-Verlag

ENLACES

Kepler: Las proporciones óptimas de un barril de vino
Estudiando el volumen de un barril, Kepler se planteó un problema de máximo en 1615.
Kepler: El área de un círculo
Kepler usó una aproximación infinitesimal intuitiva para calcular el área de un círculo.
Cavalieri: El volumen de una esfera
Cavalieri enunció el teorema que conocemos como Principio de Cavalieri. Usando el Principio de Cavalieri podemos calcular el volumen de una esfera
El Método de Arquímedes para calcular el área de un segmento parabólico
Arquímedes explica en 'El Método' cómo se puede utilizar la ley de la palanca para descubrir cuál es el área de un segmento parabólico.
Sorprendente congruencia Cavalieri entre una esfera y un tetraedro
El tetraedro de Howard Eves es congruente Cavalieri con una esfera dada. Podemos ver que las secciones correspondientes tienen áreas iguales. Por lo tanto, el volumen de la esfera es el mismo que el volumen del tetraedro. Sabemos calcular el volumen del tetraedro luego ya sabemos el volumen de la esfera (usando una congruencia sorprendente).