Funciones lineales definidas a trozos: un segmento
En esta página vamos a repasar conceptos muy importantes (derivada, integral, el Teorema fundamental del Cálculo) en un contexto muy simple:
funciones lineales cuyo dominio se restringe a un intervalo abierto. La gráfica de estas funciones es un segmento.
Dos puntos determinan una línea recta. Como función son las funciones afines. Estudiaremos la pendiente de la recta y como podemos obtener la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Estudiaremos el corte con el eje de abcisas.
El importante concepto de derivada de una función es muy sencillo en este caso pues la derivada de una función lineal es constante, su pendiente.
La derivada de una función lineal es la función constante cuyo valor es la pendiente de la recta.
Cuando el dominio de una función lineal se restringe a un intervalo abierto, la derivada es una función escalonada
(con solo un trozo, un segmento horizontal constante):
Podemos considerar traslaciones verticales de una función lineal f
La pendiente de estas funciones es la misma que la pendiente de f. Es decir, que la derivada no cambia
En el siguiente vídeo trasladamos arriba y abajo la función (arrastrando el punto azul gordo) pero la derivada (la pendiente) es la misma.
La idea es muy sencilla.
Vamos a pensar en una cuestión muy semejante pero desde un punto de vista diferente.
Empezamos con una función constante (su gráfica es un segmento horizontal)
y buscamos funciones F tales que sus derivadas sean la función constante original
En este caso la respuesta es simple
Podemos jugar con el siguiente vídeo para ver esta idea:
Encontramos una familia de funciones. Cada una de estas funciones es una traslación vertical de una función lineal. Esta traslación depende de la
constante C.
Llamamos a estas funciones antiderivadas, primitivas o integrales de la función f y podemo usar esta notación
En este contexto, C se llama constante de integración.
Si la derivada de F(x) es f(x) decimos que F es una antiderivada de f. También decimos que F es una primitiva o una integral indefinida de f.
¿Por qué usamos la palabra 'integral' si estamos hablando de derivadas?
'Integral' está relacionada con 'suma' (en general con una suma de infinitos términos), por ejemplo, con la idea de área.
Podemos ver la integral de una función constante como el área de un rectángulo (pero con un signo, positivo o negativo).
Esta integral (integral definida) es un número. Pero si a es fijo y b es variable (entonces, en vez de usar b usaremos x
como hacemos habitualmente cuando hablamos de variables) podemos definir una función
que es una función lineal. Es el mismo resultado que hemos obtenido cuando buscábamos una antiderivada de una función constante.
Podemos ver esta idea de área en el siguiente vídeo.
Si movemos (hacia la derecha e izquierda) el valor de a obtenemos el mismo resultado que antes: una traslación vertical.
¿Qué ocurre si combinamos estas dos operaciones: integración y derivación (en este caso tan sencillo)? Obtenemos el Teorema fundamental del Cálculo
(en la más elemental de las situaciones).
Si
Entonces
En general
Si empezamos considerando una función lineal F(x)
y tomamos la derivada y después la integral recuperamos la función inicial (salvo una constante C)
En el siguiente vídeo podemos ver esa idea:
El siguiente paso que podemos dar es considerar una función lineal en general (que no tiene por qué ser una función constante).
La función integral (ahora necesitamos dos variables, x y t, por ejemplo)
Si recordamos la fórmula del área de un trapecio no es difícil calcular (para valores positivos):
Es una parábola (una función cuadrática).
Para calcular la derivada de una función cuadrática necesitamos alguna idea de límite de una función. La derivada de una función en un punto se puede ver como
la pendiente de la tangente a la gráfica de la función en ese punto. En el siguiente vídeo podemos hacernos una idea del Teorema fundamental del Cálculo
para este caso:
REFERENCIAS
Tom M. Apostol, Calculus, Second Edition, John Willey and Sons, Inc.
Dos puntos determinan una línea recta. Como función son las funciones afines. Estudiaremos la pendiente de la recta y como podemos obtener la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Estudiaremos el corte con el eje de abcisas.
En general, las funciones lineales a trozos no son continuas. Hay puntos en los que un pequeño cambio en la x produce un salto en el valor de la función.
Potencias con exponente natural son funciones importantes pues son la base de los polinomios. Sus funciones inversas son las raíces que son funciones potencia con exponente racional positivo.
Las funciones cuadráticas son polinomios de grado 2. Sus gráficas son parábolas. Para encontrar los puntos de corte con el eje de abcisas tenemos que resolver una ecuación. El vértice de la parábola es un máximo o mínimo de la función.
Se trata de encontrar el polinomio de menor grado que pasa por una serie de puntos del plano. Es un problema de interpolación que aquí resolvemos usando los polinomios de Lagrange.
Los polinomios de Lagrange son polinomios que pasan por n puntos dados. Usamos los polinomios de Lagrange para explorar funciones polinómicas más generales y sus derivadas.
Es fácil calcular el área bajo una línea recta y el eje de abcisas. Es un primer ejemplo de integración que nos permite entender la idea e introducir algunos conceptos básicos: integral como área, límites de integración, áreas positivas y negativas.
Calcular el área bajo una parábola es mucho más difícil que calcular áreas bajo una recta. Aquí mostramos como aproximar el área usando rectángulos y que una función integral de un polinomio de grado 2 es un polinomio de grado 3.
La integral de las funciones potencia era conocida por Cavalieri para n=1 hasta n=9. Fermat, entre otros, fue capaz de resolver este problema. Su técnica es un buen ejemplo del uso de progresiones geométricas.
Estudiamos algunos conceptos básicos sobre integración aplicados a funciones polinómicas de cualquier grado. Las funciones integrales de funciones polinómicas son polinomios de un grado más que la función original.
Las funciones monótonas definidas en intervalos cerrados son interables. En estos casos podemos acotar el error que cometemos al aproximar la integral usando rectángulos.
Si consideramos el límite inferior de integración fijado y podemos calcular la integral definida para diferentes valores del límite superior de integración entonces podemos definir una nueva función: una integral indefinida de f.
El Segundo Teorema Fundamental del Cálculo nos proporciona una herramienta muy potente para calcular integrales definidas (si conocemos una primitiva o antiderivada de la función).
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