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En esta página vamos a repasar conceptos muy importantes (derivada, integral, el Teorema fundamental del Cálculo) en un contexto muy simple: funciones lineales cuyo dominio se restringe a un intervalo abierto. La gráfica de estas funciones es un segmento.

Esto nos servirá también como introducción a las funciones definidas a trozos.

Esta es una fórmula que solemos usar para las funciones lineales:

Funciones lineales: fórmula | matematicasVisuales

En esta fórmula, m es la pendiente y c la llamamos 'ordenada en el origen' (corte con el eje Y, o eje de ordenadas).

También usamos la notación como función:

Funciones lineales: fórmula  | matematicasVisuales

REPASO

Funciones polinómicas (1): funciones afines
Dos puntos determinan una línea recta. Como función son las funciones afines. Estudiaremos la pendiente de la recta y como podemos obtener la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Estudiaremos el corte con el eje de abcisas.

El importante concepto de derivada de una función es muy sencillo en este caso pues la derivada de una función lineal es constante, su pendiente.

Solemos usar estas notaciones:

Funciones lineales: fórmula | matematicasVisuales

REPASO

Funciones polinómicas y derivada (1): Funciones afines
La derivada de una función lineal es la función constante cuyo valor es la pendiente de la recta.

Cuando el dominio de una función lineal se restringe a un intervalo abierto, la derivada es una función escalonada (con solo un trozo, un segmento horizontal constante):

Funciones lineales: función escalonada con un solo trozo horizontal constante | matematicasVisuales

Podemos considerar traslaciones verticales de una función lineal f

Funciones lineales: traslaciones verticales | matematicasVisuales

La pendiente de estas funciones es la misma que la pendiente de f. Es decir, que la derivada no cambia

Funciones lineales: pendientes | matematicasVisuales

En el siguiente applet podemos trasladar arriba y abajo la función (arrastrando el punto azul gordo) pero la derivada (la pendiente) es la misma. La idea es muy sencilla.

Funciones lineales: traslaciones verticales, la derivada no cambia | matematicasVisuales

Vamos a pensar en una cuestión muy semejante pero desde un punto de vista diferente.

Empezamos con una función constante (su gráfica es un segmento horizontal)

Funciones lineales: fórmula, función constante | matematicasVisuales

y buscamos funciones F tales que sus derivadas sean la función constante original

Funciones lineales: antiderivadas de una función constante | matematicasVisuales

En este caso la respuesta es simple

Funciones lineales: antiderivadas o primitivas | matematicasVisuales

Podemos jugar con el siguiente applet para ver esta idea:

Encontramos una familia de funciones. Cada una de estas funciones es una traslación vertical de una función lineal. Esta traslación depende de la constante C.

Llamamos a estas funciones antiderivadas, primitivas o integrales de la función f y podemo usar esta notación

Funciones lineales: antiderivatives or integrals | matematicasVisuales

En este contexto, C se llama constante de integración.

MÁS SOBRE ANTIDERIVADAS O PRIMITIVAS

Funciones polinómicas y derivada (5): Antiderivadas
Si la derivada de F(x) es f(x) decimos que F es una antiderivada de f. También decimos que F es una primitiva o una integral indefinida de f.

¿Por qué usamos la palabra 'integral' si estamos hablando de derivadas?

'Integral' está relacionada con 'suma' (en general con una suma de infinitos términos), por ejemplo, con la idea de área.

Podemos ver la integral de una función constante como el área de un rectángulo (pero con un signo, positivo o negativo).

Step functions: La integral definida de una función constante es el área de un rectángulo (positivo o negativo) | matematicasVisuales
Funciones lineales:  | matematicasVisuales

Esta integral (integral definida) es un número. Pero si a es fijo y b es variable (entonces, en vez de usar b usaremos x como hacemos habitualmente cuando hablamos de variables) podemos definir una función

Funciones lineales: función integral | matematicasVisuales
Funciones lineales: función integral | matematicasVisuales

que es una función lineal. Es el mismo resultado que hemos obtenido cuando buscábamos una antiderivada de una función constante.

Podemos ver esta idea de área en el siguiente applet.

Si movemos (hacia la derecha e izquierda) el valor de a obtenemos el mismo resultado que antes: una traslación vertical.

¿Qué ocurre si combinamos estas dos operaciones: integración y derivación (en este caso tan sencillo)? Obtenemos el Teorema fundamental del Cálculo (en la más elemental de las situaciones).

Si

Funciones lineales: Teorema Fundamental del Cálculo | matematicasVisuales

Entonces

Funciones lineales: Teorema Fundamental del Cálculo | matematicasVisuales

En general

Funciones lineales: Teorema Fundamental del Cálculo | matematicasVisuales
Funciones lineales: Teorema Fundamental del Cálculo | matematicasVisuales

Funciones lineales: Teorema Fundamental del Cálculo | matematicasVisuales

Si empezamos considerando una función lineal F(x)

y tomamos la derivada y después la integral recuperamos la función inicial (salvo una constante C)

Funciones lineales: Teorema Fundamental del Cálculo | matematicasVisuales
Funciones lineales: Teorema Fundamental del Cálculo | matematicasVisuales

En el siguiente applet podemos ver esa idea:

El siguiente paso que podemos dar es considerar una función lineal en general (que no tiene por qué ser una función constante).

La función integral (ahora necesitamos dos variables, x y t, por ejemplo)

Funciones lineales: función integral | matematicasVisuales

Si recordamos la fórmula del área de un trapecio no es difícil calcular (para valores positivos):

Funciones lineales: integral, área de un trapecio  | matematicasVisuales

Es una parábola (una función cuadrática).

Funciones lineales: función integral, parábola | matematicasVisuales

Para calcular la derivada de una función cuadrática necesitamos alguna idea de límite de una función. La derivada de una función en un punto se puede ver como la pendiente de la tangente a la gráfica de la función en ese punto. En el siguiente applet podemos hacernos una idea del Teorema fundamental del Cálculo para este caso:

REFERENCIAS

Tom M. Apostol, Calculus, Second Edition, John Willey and Sons, Inc.
Gilbert Strang, Sums and Differences vs. Integrals and Derivatives, The College Mathematics Journal, January 1990. JSTOR.
Anthony J. Macula, The Point-Slope formula Leads to the Teorema Fundamental del Cálculo, The College Mathematics Journal, Mathematical Association of America, 1995.
Michael Spivak, Calculus, Third Edition, Publish-or-Perish, Inc.

MÁS ENLACES

Funciones continuas lineales a trozos
Una función continua lineal a trozos se define con varios segmentos o rayos que están unidos de un modo continuo, sin saltos entre ellos.
Funciones lineales a trozos no continuas
En general, las funciones lineales a trozos no son continuas. Hay puntos en los que un pequeño cambio en la x produce un salto en el valor de la función.
Potencias con exponentes naturales (y exponentes racionales positivos)
Potencias con exponente natural son funciones importantes pues son la base de los polinomios. Sus funciones inversas son las raíces que son funciones potencia con exponente racional positivo.
Funciones polinómicas (2): funciones cuadráticas
Las funciones cuadráticas son polinomios de grado 2. Sus gráficas son parábolas. Para encontrar los puntos de corte con el eje de abcisas tenemos que resolver una ecuación. El vértice de la parábola es un máximo o mínimo de la función.
Funciones polinómicas (3): funciones cúbicas
Las funciones cúbicas son polinomios de grado 3. Una función cúbica real siempre corta al eje de abcisas por lo menos una vez.
Funciones polinómicas (4): Polinomios de interpolación de Lagrange
Se trata de encontrar el polinomio de menor grado que pasa por una serie de puntos del plano. Es un problema de interpolación que aquí resolvemos usando los polinomios de Lagrange.
Funciones polinómicas y derivada (1): Funciones afines
La derivada de una función lineal es la función constante cuyo valor es la pendiente de la recta.
Funciones polinómicas y derivada (2): Funciones cuadráticas
La derivada de una función cuadrática es una función afín, es decir, es una línea recta.
Funciones polinómicas y derivada (3): Funciones cúbicas
La derivada de una función cúbica es una función cuadráticas, es decir, una parábola
Funciones polinómicas y derivada (4): Polinomios de Lagrange (funciones polinómicas en general)
Los polinomios de Lagrange son polinomios que pasan por n puntos dados. Usamos los polinomios de Lagrange para explorar funciones polinómicas más generales y sus derivadas.
Funciones polinómicas y derivada (5): Antiderivadas
Si la derivada de F(x) es f(x) decimos que F es una antiderivada de f. También decimos que F es una primitiva o una integral indefinida de f.
Funciones polinómicas e integral (1): Funciones afines
Es fácil calcular el área bajo una línea recta y el eje de abcisas. Es un primer ejemplo de integración que nos permite entender la idea e introducir algunos conceptos básicos: integral como área, límites de integración, áreas positivas y negativas.
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Calcular el área bajo una parábola es mucho más difícil que calcular áreas bajo una recta. Aquí mostramos como aproximar el área usando rectángulos y que una función integral de un polinomio de grado 2 es un polinomio de grado 3.
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La integral de las funciones potencia era conocida por Cavalieri para n=1 hasta n=9. Fermat, entre otros, fue capaz de resolver este problema. Su técnica es un buen ejemplo del uso de progresiones geométricas.
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Integral definida
La integral formaliza el concepto intuitivo de área. Para su definición aproximamos el área usando rectángulos.
Las funciones monótonas son integrables
Las funciones monótonas definidas en intervalos cerrados son interables. En estos casos podemos acotar el error que cometemos al aproximar la integral usando rectángulos.
Integral indefinida
Si consideramos el límite inferior de integración fijado y podemos calcular la integral definida para diferentes valores del límite superior de integración entonces podemos definir una nueva función: una integral indefinida de f.
El Teorema Fundamental del Cálculo (1)
El Teorema Fundamental del Cálculo afirma que toda función continua tiene una antiderivada y nos muestra cómo construir una usando la integral.
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El Segundo Teorema Fundamental del Cálculo nos proporciona una herramienta muy potente para calcular integrales definidas (si conocemos una primitiva o antiderivada de la función).
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Arquímedes explica en 'El Método' cómo se puede utilizar la ley de la palanca para descubrir cuál es el área de un segmento parabólico.