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Estamos interesados en estudiar la derivada de un funciones sencillas desde un punto de vista intuitivo y visual. Vamos a empezar con la función lineal.

Funciones polinómicas (1): funciones afines
Dos puntos determinan una línea recta. Como función son las funciones afines. Estudiaremos la pendiente de la recta y como podemos obtener la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Estudiaremos el corte con el eje de abcisas.

EL CONCEPTO DE DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

La derivada de una función en un punto puede definirse como la razón de cambio instantánea o como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto. Podemos decir que la pendiente de la tangente a una función es un punto es la pendiente de la función.

La pendiente de una función dependerá de x. Entonces, a partir de una función podemos obtener una nueva función, la función derivada de la función original.

El proceso de encontrar la derivada de una función se llama diferenciación.

El valor de la función derivada para un valor x es la pendiente de la función original en x.

¿Cómo podemos dibujar la función derivada de una función dada (en nuestro caso, una función afín)?

El procedimiento general es simple. Empezamos dibujando la recta tangente a la función en un determinado punto.

En el caso de las funciones afines es sencillísimo pues la recta tangente a una recta en cualquier punto es la misma recta:

Funciones polinómicas y derivadas. Funciones afines: la recta tangente a una recta en cualquier punto es la misma recta | matematicasVisuales

Entonces dibujamos una recta paralela a la tangente pasando a por el valor x-1 y obtenemos un triángulo rectángulo. La longitud del lado vertical es la pendiente de la tangente.

Funciones polinómicas y derivadas. Funciones afines: dibujando la derivada usando una recta paralela | matematicasVisuales

Entonces podemos dibujar la función derivada a una función afín. Es fácil porque es una función constante. El valor de esta función constante es la pendiente de la función afín original. El gráfico de una función constante es una recta horizontal.

Por ejemplo, una función afín con pendiente positiva:

Funciones polinómicas y derivadas. Funciones afines: línea recta con pendiente positiva | matematicasVisuales

Otro ejemplo, una función afín con pendiente negativa:

Funciones polinómicas y derivadas. Funciones afines: línea recta con pendiente negativa | matematicasVisuales
Funciones polinómicas y derivadas. Funciones afines: función derivada constante negativa | matematicasVisuales

Cuando la función es una función constante, es decir, su gráfica es una recta horizontal (con pendiente m = 0), entonces la función derivada es la función constante de valor 0.

Funciones polinómicas y derivadas. Funciones afines: la derivada de una recta horizontal, es decir, una función constante, es una función constante de valor 0 | matematicasVisuales

Una idea simple e interesante es que cuando trasladamos arriba y abajo el gráfico de la función (sumamos o restamos un número a la función original) la función derivada no cambia. La razón es muy intuitiva y podemos jugar con la siguiente versión del mathlet para ver esta propiedad. Cuando movemos el punto violeta trasladamos verticalmente la función y la función derivada no cambia:

Es importante notar que la derivada de un polinomio de grado 1 es una función constante (un polinomio de grado 0). Cuando derivamos una función polinómica el resultado es otra función polinómica que tiene un grado menos que la función original.

Cuando estudiamos la integral de un polinomio de grado 1 podemos ver que en este caso la nueva función es un polinomio de grado 2. Un grado más que la función original we can see that in this case the new function is a polynomial of degree 2. One degree more than the original function.

Estos resultados están relacionados con el Teorema Fundamental del Cálculo.

REFERENCIAS

Michael Spivak, Calculus, Third Edition, Publish-or-Perish, Inc.
Tom M. Apostol, Calculus, Second Edition, John Willey and Sons, Inc.

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La función tiene una singularidad en -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.
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