EL CONCEPTO DE DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
La derivada de una función en un punto puede definirse como la razón de cambio instantánea o como la pendiente de la recta tangente a la
gráfica de la función en ese punto. Podemos decir que la pendiente de la tangente a una función es un punto es la pendiente de la función.
La pendiente de una función dependerá de x. Entonces, a partir de una función podemos obtener una nueva función, la función derivada de la
función original.
El proceso de encontrar la derivada de una función se llama diferenciación.
El valor de la función derivada para un valor x es la pendiente de la función original en x.
La derivada de una función afín, cuya gráfica es una recta, es muy sencilla y por eso empezamos por este tipo de funciones. El concepto de derivada nos mostrará su potencia cuando
estudiemos funciones más complicadas.
Si el concepto de derivada está relacionado con la tasa de variación instantánea y la pendiente de la tangente, en el caso de las funciones afines
vemos que esa tasa de variación es siempre constante (y es la pendiente de la recta) y que la recta tangente a una recta en cualquier punto es siempre la misma recta.
Es por eso que todo va a ser fácil en este caso y nos va a permitir familiarizarnos con ideas básicas relacionadas con la derivada.
¿Cómo podemos dibujar la función derivada de una función dada (en nuestro caso, una función afín)?
El procedimiento general no es simple si lo queremos hacer con precisión. Podemos intentar dibujar
la recta tangente a la función en un determinado punto.
En el caso de las funciones afines es sencillísimo pues la recta tangente a una recta en cualquier punto es la misma recta:
Un procedimiento que vamos a utilizar más adelante es el siguiente:
dibujamos una recta paralela a la tangente pasando a por el valor x-1 y obtenemos un triángulo rectángulo. La longitud del
lado vertical es la pendiente de la tangente. Lo que estamos haciendo es considerar la pendiente de la recta.
Entonces podemos dibujar la función derivada a una función afín repitiendo este proceso en muchos puntos.
En nuestro caso es una función constante. El valor de esta función
constante es la pendiente de la función afín original. El gráfico de una función constante es una recta horizontal.
Por ejemplo, una función afín con pendiente positiva:
Otro ejemplo, una función afín con pendiente negativa:
Cuando la función es una función constante, es decir, su gráfica es una recta horizontal (con pendiente m = 0), entonces
la función derivada es la función constante de valor 0.
Una idea simple e interesante es que cuando trasladamos arriba y abajo el gráfico de la función (sumamos o restamos un número a la función original)
la función derivada no cambia. La razón es muy intuitiva. Podemos jugar con la aplicación interactiva para ver esta propiedad. Cuando movemos
el punto violeta trasladamos verticalmente la función pero la función derivada no cambia:
Es importante notar que la derivada de un polinomio de grado 1 es una función constante (un polinomio de grado 0).
Cuando derivamos una función polinómica el resultado es otra función polinómica que tiene un grado menos que la función original.
Cuando estudiamos la integral de un polinomio de grado 1
podemos ver que en este caso la nueva función es un polinomio de grado 2. Un grado más que la función original
Estos resultados están relacionados con el Teorema Fundamental del Cálculo.
REFERENCIAS
Michael Spivak, Calculus, Third Edition, Publish-or-Perish, Inc.
Tom M. Apostol, Calculus, Second Edition, John Willey and Sons, Inc.
MÁS ENLACES
La derivada de una función cúbica es una función cuadráticas, es decir, una parábola
Los polinomios de Lagrange son polinomios que pasan por n puntos dados. Usamos los polinomios de Lagrange para explorar funciones polinómicas más generales y sus derivadas.
Si la derivada de F(x) es f(x) decimos que F es una antiderivada de f. También decimos que F es una primitiva o una integral indefinida de f.
Dos puntos determinan una línea recta. Como función son las funciones afines. Estudiaremos la pendiente de la recta y como podemos obtener la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Estudiaremos el corte con el eje de abcisas.
Potencias con exponente natural son funciones importantes pues son la base de los polinomios. Sus funciones inversas son las raíces que son funciones potencia con exponente racional positivo.
Las funciones cuadráticas son polinomios de grado 2. Sus gráficas son parábolas. Para encontrar los puntos de corte con el eje de abcisas tenemos que resolver una ecuación. El vértice de la parábola es un máximo o mínimo de la función.
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Una función constante a trozos (o función escalonada) está definida por varias subfunciones que son funciones constantes.
Una función continua lineal a trozos se define con varios segmentos o rayos que están unidos de un modo continuo, sin saltos entre ellos.
La integral formaliza el concepto intuitivo de área. Para su definición aproximamos el área usando rectángulos.
Las funciones monótonas definidas en intervalos cerrados son interables. En estos casos podemos acotar el error que cometemos al aproximar la integral usando rectángulos.
Si consideramos el límite inferior de integración fijado y podemos calcular la integral definida para diferentes valores del límite superior de integración entonces podemos definir una nueva función: una integral indefinida de f.
Es fácil calcular el área bajo una línea recta y el eje de abcisas. Es un primer ejemplo de integración que nos permite entender la idea e introducir algunos conceptos básicos: integral como área, límites de integración, áreas positivas y negativas.
Calcular el área bajo una parábola es mucho más difícil que calcular áreas bajo una recta. Aquí mostramos como aproximar el área usando rectángulos y que una función integral de un polinomio de grado 2 es un polinomio de grado 3.
Estudiamos algunos conceptos básicos sobre integración aplicados a funciones polinómicas de cualquier grado. Las funciones integrales de funciones polinómicas son polinomios de un grado más que la función original.
El Teorema Fundamental del Cálculo afirma que toda función continua tiene una antiderivada y nos muestra cómo construir una usando la integral.
El Segundo Teorema Fundamental del Cálculo nos proporciona una herramienta muy potente para calcular integrales definidas (si conocemos una primitiva o antiderivada de la función).
Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función exponencial en un intervalo más y más amplio.
Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función seno en un intervalo más y más amplio.
La función no está definida para valores menores que -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.
La función tiene una singularidad en -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.
La función tiene una singularidad en -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.
La función tiene dos singularidades reales, en -1 y en 1. Los polinomios de Taylor aproximan la función entre en un intervalo simétrico respecto al centro del desarrollo. Su radio es la distancia a la singulardidad más próxima.
La función es continua y no tiene singularidades reales. Sin embargo, los polinomios de Taylor sólo aproximan la función en un intervalo. Entenderemos un poco mejor este comportamiento estudiando una función compleja.
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