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La función

es distinta de la función exponencial o de la función seno en el sentido de que esta función no está definida para todos los valores (su dominio no es la recta real entera), entonces no tiene sentido decir que un polinomio (o una serie infinita) se aproxima a la funcíón para todos los valores de x o que la serie converge para todos los valores.

Podemos calcular la serie de potencias en x = 0 fácilmente, usando el Teorema del Binomio de Newton, pero la función no está definida cuando x es menor que -1.

Nuestro interés se centrará en estudiar qué ocurre cuando x es mayor o igual que -1.

"En el intervalo (-1, +1) las parábolas aproxima a la curva original más y más conforme el orden aumenta; pero a la derecha de x = 1 se desvían de ella cada vez más, ahora por arriba, ahora por abajo, de un modo sorprendente." (Felix Klein)

Decimos que este intervalo (-1, +1) es el círculo o intervalo de convergencia de la serie de potencias. Es un comportamiento típico que una serie de potencias converga dentro de un intervalo de convergencia y diverja fuera del círculo. Entenderemos mejor este comportamiento y el uso de la palabra 'círculo' cuando estudiemos el plano complejo.

Polynomios de Taylor: raíz cuadrada. Círculo de convergencia | matematicasVisuales

Es interesante estudiar qué ocurre en la frontera, es decir en los puntos x = -1 y x = 1. En el punto x = -1, la rama de la curva original que aparece en el dibujo termina en una tangente vertical "todas las parabolas se extienden más allá de este punto pero aproximan a la curva original más y más en x = -1, volviendose cada vez más empinadas". En el punto x = +1, simétrico de x = -1, las parábolas aproximan la curva original cada vez con mayor precisión también.

Polynomios de Taylor: raíz cuadrada. En  x = 1 | matematicasVisuales

Podemos ver qué ocurre con alguna función con singularidades, por ejemplo, Polinomios de Taylor (4): función racional 1.

REFERENCIAS

Felix Klein - Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint. Arithmetic, Algebra, Analysis (pags. 223-228) - Dover Publications

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Polinomios de Taylor (4): función racional 1
La función tiene una singularidad en -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.

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Polinomios de Taylor (2): función seno
Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función seno en un intervalo más y más amplio.

MÁS ENLACES

Polinomios de Taylor (5): función racional 2
La función tiene una singularidad en -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.
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Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función exponencial en un intervalo más y más amplio.
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