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"La Logarithmotechnia de Nicolas Mercator (1620-1687)se publicó en 1668. Las dos primeras partes de este libro estaban dedicadas al cálculo de una tabla de logaritmos comunes. (...)

Es la tercera parte de la Logarithmotechnia, que es muy diferente, la que tiene ahora mayor interés. Aquí Mercator encuentra su famosa serie (que parece que ya fue usada por Newton previamente)

Serie de Mercator para la función logaritmo

para el área bajo la hipérbola

Hipérbola

sobre el intervalo de 0 a x."(Edwards, pág. 162)

Ya se sabía hacia 1660, como consecuencia del trabajo de Gregory St. Vincent y de Sarasa , que hay una relación entre el área bajo la hipérbola y el logaritmo.

La serie de Mercator para el logaritmo aproxima la función sólo entre 0 y 2. Además, su convergencia es muy lenta y su uso no es práctico para calcular logaritmos.

Serie de Mercator para la función logaritmo | matematicasvisuales

Euler sustituye x por -x en la serie de Mercator y resta los logaritmos para obtener

Serie de Euler para la función logaritmo

Euler usa una función racional

Función racional que usa Euler para su serie de la función logaritmo
Función racional que usa Euler para su serie de la función logaritmo

y su serie converge para todos los números reales.

Además, podemos ver en el mathlet lo rápido que converge esta serie de Euler.

Serie de Euler para la función logaritmo

REFERENCIAS

C. H. Edwards - The Historical Development of the Calculus - Springer-Verlag

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