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Ya hemos visto que podemos definir la función logaritmo como una integral de la hipérbola equilátera 1/x. Esta función se llama logaritmo natural. Podemos esperar que diferentes hipérbolas (obtenidas multiplicando la hipérbola equilátera por un número)

Logaritmos y exponenciales: logaritmos con bases diferentes | matematicasVisuales

den lugar a diferentes funciones logaritmo con las mismas interesantes propiedades.

Llamamos a estas funciones logaritmo en base b.

Logaritmos y exponenciales: logaritmos con bases diferentes | matematicasVisuales

Vamos a explorar la relación entre esta base b y el factor por el que multiplicamos la hipérbola 1/x.

Logaritmos y exponenciales: logaritmos con bases diferentes | matematicasVisuales

Esperamos que

Logaritmos y exponenciales: logaritmos con bases diferentes | matematicasVisuales

Sustituyendo x por b

Logaritmos y exponenciales: logaritmos con bases diferentes | matematicasVisuales

Entonces

Obtenemos una relación importante entre estas funciones logaritmo:

Logaritmos en base b se obtienen a partir del logaritmo natural multiplicando por una constante (y podemos cambiar la base de los logaritmos con facilidad. En las calculadoras solamente es necesaria una tecla de logaritmo. Con ella podemos calcular los logaritmos en cualquier base).

Podemos obtener la gráfica de la función logaritmo en base b a partir de la de la función logaritmo natural simplemente multiplicando las ordenadas por el mismo factor. Cuando b > 1 este factor es positivo.

Logaritmos y exponenciales: gráfica de funciones logaritmo con diferentes bases | matematicasVisuales
Logaritmos y exponenciales: gráfica de funciones logaritmo con diferentes bases | matematicasVisuales

Un caso que se ha usado particularmente es el logaritmo en base 10 o logaritmo decimal (debido a que usamos el sistema de numeración en base 10):

Logaritmos y exponenciales: gráfica de logaritmo decimal | matematicasVisuales

Cuando b < 1, este factor es negativo

Logaritmos y exponenciales: gráfica de una función logaritmo cuando la base es menor que 1 | matematicasVisuales

EXPLORA

Explora la forma de diferentes funciones logaritmo.

¿Cuál es la relación entre la gráfica del logaritmo en base b y el logaritmo en base 1/b?

No es difícil diferenciar la función logaritmo en base b

Logaritmos y exponenciales: diferenciando  una función logaritmo | matematicasVisuales

(S. Lang, p. 173) Empezando con

Logaritmos y exponenciales: funciones exponenciales, fórmula | matematicasVisuales

podemos trabajar con otras funciones exponenciales a^x con a > 0 arbitrario usando las reglas comunes a los logaritmos y exponentes, es decir, para cualquiera números b, c tenemos

Logaritmos y exponenciales: funciones exponenciales, fórmula | matematicasVisuales

Podemos definir la exponencial para cualquier a > 0

Logaritmos y exponenciales: funciones exponenciales, fórmula | matematicasVisuales

Por ejemplo

Logaritmos y exponenciales: funciones exponenciales, fórmula | matematicasVisuales

Y ahora ya podemos entender el significado de

Algunas propiedades

Logaritmos y exponenciales: propiedades de funciones exponenciales | matematicasVisuales
Logaritmos y exponenciales: propiedades de funciones exponenciales | matematicasVisuales

Logaritmos como exponentes: el logaritmo de un número es el exponente al que hay que elevar otro valor fijo (llamado base) para obtener ese número.

Logaritmos y exponenciales: logaritmos como exponentes | matematicasVisuales

El logaritmo en base b es la función inversa de bx.

Al igual que hacemos para obtener la gráfica de la función exponencial a partir de la del logaritmo natural por reflexión respecto de la diagonal del primer cuadrante, la recta y=x, la gráfica de estas funciones exponenciales generales se pueden obtener por reflexión de una función logaritmo respecto de la misma diagonal.

Logaritmos y exponenciales: exponenciales como funciones inversas de funciones logarítmicas, gráficas | matematicasVisuales

EXPLORA

Explora la forma de diferentes funciones exponenciales. Algunas son crecientes y otras decrecientes.

¿Hay relación entre la gráfica de la función ax y la gráfica de (1/a)x?

Podemos derivar usando la regla de la cadena:

Logaritmos y exponenciales: derivada de funciones exponenciales usando la regla de la cadena | matematicasVisuales

Usando la definción de derivada:

Logaritmos y exponenciales: derivada de funciones exponenciales usando la definition | matematicasVisuales

Logaritmos y exponenciales: calculando un límite | matematicasVisuales

Ahora podemos calcular el límite

REFERENCIAS

A. I. Markushevich, Areas and Logarithms, D.C. Heath and Company, 1963.
Serge Lang, A First Course in Calculus, Third Edition, Addison-Wesley Publishing Company.
Tom M. Apostol, Calculus, Second Edition, John Willey and Sons, Inc.
Michael Spivak, Calculus, Third Edition, Publish-or-Perish, Inc.
Otto Toeplitz, The Calculus, a genetic approach, The University of Chicago Press, 1963.
Kenneth A. Ross, Elementary Analysis: The Theory of Calculus, Springer-Verlag New York Inc., 1980.

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