Ya hemos visto que podemos definir la función logaritmo como una integral de la hipérbola equilátera 1/x. Esta función se llama logaritmo natural. Podemos esperar que diferentes hipérbolas (obtenidas multiplicando la hipérbola equilátera por un número)

den lugar a diferentes funciones logaritmo con las mismas interesantes propiedades.

Llamamos a estas funciones logaritmo en base b.

Vamos a explorar la relación entre esta base b y el factor por el que multiplicamos la hipérbola 1/x.

Esperamos que

Sustituyendo x por b

Entonces

Obtenemos una relación importante entre estas funciones logaritmo:

Logaritmos en base b se obtienen a partir del logaritmo natural multiplicando por una constante (y podemos cambiar la base de los logaritmos con facilidad. En las calculadoras solamente es necesaria una tecla de logaritmo. Con ella podemos calcular los logaritmos en cualquier base).

Podemos obtener la gráfica de la función logaritmo en base b a partir de la de la función logaritmo natural simplemente multiplicando las ordenadas por el mismo factor. Cuando b > 1 este factor es positivo.

Un caso que se ha usado particularmente es el logaritmo en base 10 o logaritmo decimal (debido a que usamos el sistema de numeración en base 10):

Cuando b < 1, este factor es negativo

No es difícil diferenciar la función logaritmo en base b

(S. Lang, p. 173) Empezando con

podemos trabajar con otras funciones exponenciales a^x con a > 0 arbitrario usando las reglas comunes a los logaritmos y exponentes, es decir, para cualquiera números b, c tenemos

Podemos definir la exponencial para cualquier a > 0

Por ejemplo

Y ahora ya podemos entender el significado de

Algunas propiedades

Logaritmos como exponentes: el logaritmo de un número es el exponente al que hay que elevar otro valor fijo (llamado base) para obtener ese número.

El logaritmo en base b es la función inversa de b^x.

Al igual que hacemos para obtener la gráfica de la función exponencial a partir de la del logaritmo natural por reflexión respecto de la diagonal del primer cuadrante, la recta y=x, la gráfica de estas funciones exponenciales generales se pueden obtener por reflexión de una función logaritmo respecto de la misma diagonal.

Podemos derivar usando la regla de la cadena:

Usando la definción de derivada:

Ahora podemos calcular el límite

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