matematicas visuales home | visual math home

Podemos pensar que es fácil entender el significado de una función como 2x

Funciones exponenciales:  fórmula de función exponencial 2^x | matematicasVisuales

(o 3x o 10x) porque podemos calcular

Pero ¿cuál es el significado de la siguiente potencia?

No hay una manera sencilla de definir 2x para exponentes x irracionales.

En general, este tipo de funciones se llaman funciones exponenciales.

Funciones exponenciales: fórmula de una función exponencial general b^x | matematicasVisuales

Decimos que b es la base de la función exponencial.

Esperamos que esta función cumpla la ecuación fundamental

También

Funciones exponenciales: todas las funciones exponenciales pasan por el punto (0,1)| matematicasVisuales

Algunas de estas funciones son crecientes (cuando b > 1)

Funciones exponenciales: funciones exponenciales crecientes | matematicasVisuales

Algunas son decrecientes (cuando b < 1)

Funciones exponenciales: funciones exponenciales decrecientes | matematicasVisuales

Tangentes en x=0. Existencia del número e.

Si miramos la tangente a este tipo de funciones en x=0 podemos ver que hay una base para la que la pendiente de la tangente de la función en x=0 es 1. Llamaremos a ese número e (notación estándar que se debe a Euler)

Funciones exponenciales: exponential function with slope at 0 equal 1, e^x | matematicasVisuales

Siguiendo a Serge Lang: "La existencia de un número e que tiene la propiedad comentada arriba puede motivarse de la siguiente manera. Sean a, b números > 1 y supongamos que a < b. Entonces, para todos los números x se cumple

Si b es muy grande, entonces la curva y=bx tendrá una pendiente muy grande en x=0.

Funciones exponenciales: Si la base es muy grande, entonces la función exponencial tendrá una pendiente muy grande en x=0| matematicasVisuales

Es razonable pensar que conforme a crece desde números cercanos a 1 (y mayores que 1) a números muy grandes, la pendiente de ax en x=0 crece continuamente desde valores cercanos a 0 a valores muy grandes y, entonces, para algún valor de a, que llamamos e, esta pendiente será precisamente 1. Desde este punto de vista intuitivo, e es el número tal que la pendiente de ex en x=0 es igual a 1." (Serge Lang)

Más adelante veremos cómo se puede calcular aproximadamente e. Su valor es

Funciones exponenciales: valor aproximado de e | matematicasVisuales

Usando límites, la pendiente de la tangente en x = 0 es (si el límite existe)

Funciones exponenciales: e usando límites | matematicasVisuales

Notamos que este límite, si existe, solo depende de b.

Lo que decimos es que existe un número e tal que

Si pensamos un poco más en la derivada de una función exponencial, si el límite existe y usamos la propiedad de las exponenciales, podemos escribir

Funciones exponenciales: Derivada de funciones exponenciales | matematicasVisuales
Funciones exponenciales: Derivada de funciones exponenciales | matematicasVisuales
Funciones exponenciales: Derivada de funciones exponenciales | matematicasVisuales

Es decir, la derivida de una función exponencial es un múltiplo de la función (aunque todavía no conocemos el valor de ese factor).

Funciones exponenciales: derivada de una función exponencial es un múltiplo de esa función | matematicasVisuales

El número e una propiedad interesante: la derivada de la función ex es ella misma:

Funciones exponenciales: la derivada de la función exponencial e^x es la misma función | matematicasVisuales
Funciones exponenciales: la derivada de la función exponencial e^x es la misma función | matematicasVisuales
Funciones exponenciales: la derivada de la función exponencial e^x es la misma función | matematicasVisuales

En el siguiente mathlet podemos jugar con una función exponencial más general.

Funciones exponenciales: more general exponential function formula | matematicasVisuales

Una función exponencial está determinada cuando conocemos el valor de la función en dos puntos.

En esta página hemos practicado con funciones exponenciales pero seguimos teniendo el problema con la definición de este tipo de funciones. No conocemos todavía el significado de

La idea es introducir los logaritmos primero y usar los logaritmos para definir las funciones exponenciales.

REFERENCIAS

A. I. Markushevich, Areas and Logarithms, D.C. Heath and Company, 1963.
Serge Lang, A First Course in Calculus, Third Edition, Addison-Wesley Publishing Company.
Tom M. Apostol, Calculus, Second Edition, John Willey and Sons, Inc.
Michael Spivak, Calculus, Third Edition, Publish-or-Perish, Inc.
Otto Toeplitz, The Calculus, a genetic approach, The University of Chicago Press, 1963.
Kenneth A. Ross, Elementary Analysis: The Theory of Calculus, Springer-Verlag New York Inc., 1980.

MÁS ENLACES

Exponenciales y Logaritmos (3): Una propiedad de la integral de la hipérbola
Hemos definido la función logaritmo como una integral de la hipérbola equilátera. Esta integral tiene una importante propiedad que nos permitirá usar los logaritmos para transformar multiplicaciones en sumas.
Exponenciales y Logaritmos (4): El logaritmo de un producto
Usando los logaritmos podemos multiplicar dos números haciendo una suma: el logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
Exponenciales y Logaritmos (5): Aproximación del número e
El número e se puede definir como áquel cuyo logaritmo es 1. Partiendo de esta definición podemos aproximar su valor.
Exponenciales y Logaritmos (6): Dos definiciones del número e
El número e, la base de los logaritmos naturales, se puede definir como una integral o como el límite de una sucesión relacionada con el interés compuesto. Ambas definiciones coinciden.
Exponenciales y Logaritmos (7): La exponencial como inversa del logaritmo
Partiendo de la definición de logaritmo podemos definir la exponencial como su inversa.
Exponenciales y Logaritmos (8): Hipérbolas, logaritmos y exponenciales
Diferentes hipérbolas permiten definir logaritmos y exponenciales (sus inversas).
Mercator y Euler: La función logaritmo
Mercator publicó su famosa serie para la función logaritmo en 1668. Euler descubrió una serie práctica para el cálculo.
Desintegración radioactiva
Las funciones exponenciales pueden modelar la desintegración radioactiva.
Polinomios de Taylor (1): función exponencial
Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función exponencial en un intervalo más y más amplio.
Función exponencial compleja
La función exponencial compleja extiende la función exponencial real al plano complejo.
Polinomios de Taylor: función exponencial compleja
La función exponencial compleja es periodica. Su desarrollo de Taylor converge en todo el plano complejo.
El Teorema Fundamental del Cálculo (1)
El Teorema Fundamental del Cálculo afirma que toda función continua tiene una antiderivada y nos muestra cómo construir una usando la integral.
El Teorema Fundamental del Cálculo (2)
El Segundo Teorema Fundamental del Cálculo nos proporciona una herramienta muy potente para calcular integrales definidas (si conocemos una primitiva o antiderivada de la función).
Funciones lineales a trozos. El caso más sencillo: un segmento
Como una introducción a las funciones lineales a trozos estudiamos el caso más sencillo, las funciones lineales restringidas a un intervalo abierto: sus gráficas son segmentos.
Funciones constantes a trozos
Una función constante a trozos (o función escalonada) está definida por varias subfunciones que son funciones constantes.
Funciones continuas lineales a trozos
Una función continua lineal a trozos se define con varios segmentos o rayos que están unidos de un modo continuo, sin saltos entre ellos.
Integral de funciones potencia
La integral de las funciones potencia era conocida por Cavalieri para n=1 hasta n=9. Fermat, entre otros, fue capaz de resolver este problema. Su técnica es un buen ejemplo del uso de progresiones geométricas.
Funciones polinómicas y derivada (5): Antiderivadas
Si la derivada de F(x) es f(x) decimos que F es una antiderivada de f. También decimos que F es una primitiva o una integral indefinida de f.
Integral definida
La integral formaliza el concepto intuitivo de área. Para su definición aproximamos el área usando rectángulos.
Las funciones monótonas son integrables
Las funciones monótonas definidas en intervalos cerrados son interables. En estos casos podemos acotar el error que cometemos al aproximar la integral usando rectángulos.
Integral indefinida
Si consideramos el límite inferior de integración fijado y podemos calcular la integral definida para diferentes valores del límite superior de integración entonces podemos definir una nueva función: una integral indefinida de f.
Funciones polinómicas (4): Polinomios de interpolación de Lagrange
Se trata de encontrar el polinomio de menor grado que pasa por una serie de puntos del plano. Es un problema de interpolación que aquí resolvemos usando los polinomios de Lagrange.