Podemos definir una función lox x como el área bajo la curva 1/x entre 1 y x si x >= 1,
y como el opuesto del área bajo la curva
1/x entre 1 y x si 0 < x < 1.
En particular,
Por lo tanto log x < 0 si 0 < x < 1 (la gráfica está por debajo del eje de las x) y
log x > 0 si x > 1 (la gráfica está por encima del eje de las x).
Podemos usar la notación de integral:
Esta función se llama Logaritmo Natural. También se suele llamar Logaritmo Neperiano (en honor de su inventor, John Napier 1550-1617,
aunque Napier siguió un camino diferente y definió una función que no es exactamente ésta, fue el que abrió el camino y calculó la primera tabla de logaritmos).
En algunos libros y calculadoras es bastante habitual usar el símbolo ln(x).
Podemos recordar que de todas las integrales de las funciones potencia la integral con exponente -1 era la única que no podíamos calcular.
La integral de las funciones potencia era conocida por Cavalieri para n=1 hasta n=9. Fermat, entre otros, fue capaz de resolver este problema. Su técnica es un buen ejemplo del uso de progresiones geométricas.
El Teorema Fundamental del Cálculo nos dice en este caso que
El Teorema Fundamental del Cálculo afirma que toda función continua tiene una antiderivada y nos muestra cómo construir una usando la integral.
(Podemos ver una demostración básica y bonita de esta propiedad en Serge Lang, p. 176).
Si modificamos x (estamos modificando el límite superior de integración) podemos ver la tangente a la función logaritmo en
ese punto y que la derivada en ese punto es su inversa (el valor está en la hipérbola equilátera)
[La derivada no puede ser más simple, dice Spivak].
Podemos deducir esta propiedad usando la regla de la cadena (ver Serge Lang, p. 177, o Spivak, p. 315, por ejemplo).
Y Serge Lang escribe: "¡Por favor, apreciemos la elegancia y eficacia de estos argumentos!".
[Esta relación entre el logaritmo y la hipérbola equilátera xy=1 fue descubierta por el jesuita belga
Gregory St. Vincent en 1647]
La función log es claramente creciente (al estar definda como un área). Tiene derivada positiva siempre luego es
estrictamente creciente.
Para valores pequeños de x, la pendiente es grande y crece sin cota al decrecer x hacia cero.
La curva tiene pendiente 1 cuando x=1. Para x > 1, la pendiente decrece gradualmente hacia cero al incrementar x indefinidamente.
Ya que la derivada se hace cada vez más pequeña al crecer x, la función log crece cada vez más lentamente.
No está claro si log está acotada o no. Podríamos suponer que los valores de log tienen una cota superior pero podemos probar
que log no está acotada ni superior ni inferiormente.
Ya que log es continua, toma todos los valores. Para cada número real a hay un número real positivo cuyo logaritmo es a.
Podemos definir la función inversa. El dominio de esta función inversa es todos los números reales. Esta función es muy
importante y es la función exponencial.
Hay exactamente un número cuyo logaritmo natural es igual a 1. Este número es muy importante, como pi, y usamos un
símbolo especial debido a Euler (1707-1783), e. Euler fue el primero en reconocer la importancia de este número.
REFERENCIAS
A. I. Markushevich, Areas and Logarithms, D.C. Heath and Company, 1963.
Serge Lang, A First Course in Calculus, Third Edition, Addison-Wesley Publishing Company.
Tom M. Apostol, Calculus, Second Edition, John Willey and Sons, Inc.
Michael Spivak, Calculus, Third Edition, Publish-or-Perish, Inc.
Otto Toeplitz, The Calculus, a genetic approach, The University of Chicago Press, 1963.
Kenneth A. Ross, Elementary Analysis: The Theory of Calculus, Springer-Verlag New York Inc., 1980.
C.H. Edwards, Jr., The Historical Development of the Calculus, Springer-Verlag New York Inc., 1979.
Hemos definido la función logaritmo como una integral de la hipérbola equilátera. Esta integral tiene una importante propiedad que nos permitirá usar los logaritmos para transformar multiplicaciones en sumas.
Usando los logaritmos podemos multiplicar dos números haciendo una suma: el logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
El número e, la base de los logaritmos naturales, se puede definir como una integral o como el límite de una sucesión relacionada con el interés compuesto. Ambas definiciones coinciden.
El Segundo Teorema Fundamental del Cálculo nos proporciona una herramienta muy potente para calcular integrales definidas (si conocemos una primitiva o antiderivada de la función).
Como una introducción a las funciones lineales a trozos estudiamos el caso más sencillo, las funciones lineales restringidas a un intervalo abierto: sus gráficas son segmentos.
La integral de las funciones potencia era conocida por Cavalieri para n=1 hasta n=9. Fermat, entre otros, fue capaz de resolver este problema. Su técnica es un buen ejemplo del uso de progresiones geométricas.
Las funciones monótonas definidas en intervalos cerrados son interables. En estos casos podemos acotar el error que cometemos al aproximar la integral usando rectángulos.
Si consideramos el límite inferior de integración fijado y podemos calcular la integral definida para diferentes valores del límite superior de integración entonces podemos definir una nueva función: una integral indefinida de f.
Se trata de encontrar el polinomio de menor grado que pasa por una serie de puntos del plano. Es un problema de interpolación que aquí resolvemos usando los polinomios de Lagrange.
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