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Podemos definir una función lox x como el área bajo la curva 1/x entre 1 y x si x >= 1,

Logaritmos y exponenciales: Definición de logaritmo como una integral | matematicasVisuales

y como el opuesto del área bajo la curva 1/x entre 1 y x si 0 < x < 1.

Logaritmos y exponenciales: Definición de logaritmo como una integral | matematicasVisuales

En particular,

Por lo tanto log x < 0 si 0 < x < 1 (la gráfica está por debajo del eje de las x) y log x > 0 si x > 1 (la gráfica está por encima del eje de las x).

Podemos usar la notación de integral:

Logaritmos y exponenciales: El logaritmo como una integral, notación integral | matematicasVisuales

Esta función se llama Logaritmo Natural. También se suele llamar Logaritmo Neperiano (en honor de su inventor, John Napier 1550-1617, aunque Napier siguió un camino diferente y definió una función que no es exactamente ésta, fue el que abrió el camino y calculó la primera tabla de logaritmos). En algunos libros y calculadoras es bastante habitual usar el símbolo ln(x).

Podemos recordar que de todas las integrales de las funciones potencia la integral con exponente -1 era la única que no podíamos calcular.

Logaritmos y exponenciales: Integral de las funciones potencia, fórmula | matematicasVisuales
Integral de funciones potencia
La integral de las funciones potencia era conocida por Cavalieri para n=1 hasta n=9. Fermat, entre otros, fue capaz de resolver este problema. Su técnica es un buen ejemplo del uso de progresiones geométricas.

El Teorema Fundamental del Cálculo nos dice en este caso que

Logaritmos y exponenciales: Derivada de la función logaritmo, Teorema Fundamental del Cálculo | matematicasVisuales
El Teorema Fundamental del Cálculo (1)
El Teorema Fundamental del Cálculo afirma que toda función continua tiene una antiderivada y nos muestra cómo construir una usando la integral.

(Podemos ver una demostración básica y bonita de esta propiedad en Serge Lang, p. 176).

Logaritmos y exponenciales: Derivada de la función logaritmo, Teorema Fundamental del Cálculo | matematicasVisuales

Si modificamos x (estamos modificando el límite superior de integración) podemos ver la tangente a la función logaritmo en ese punto y que la derivada en ese punto es su inversa (el valor está en la hipérbola equilátera) [La derivada no puede ser más simple, dice Spivak].

Una propiedad fundamental de la función logaritmo es que el logaritmo del producto es la suma de los logaritmos de los factores

Logaritmos y exponenciales: El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores | matematicasVisuales

Podemos deducir esta propiedad usando la regla de la cadena (ver Serge Lang, p. 177, o Spivak, p. 315, por ejemplo). Y Serge Lang escribe: "¡Por favor, apreciemos la elegancia y eficacia de estos argumentos!".

Pero veremos más adelante otro camino, como una propiedad de la integral de la hipérbola equilátera justifica la propiedad de la función logaritmo. Una aproximación muy visual e intuitiva.

[Esta relación entre el logaritmo y la hipérbola equilátera xy=1 fue descubierta por el jesuita belga Gregory St. Vincent en 1647]

La función log es claramente creciente (al estar definda como un área). Tiene derivada positiva siempre luego es estrictamente creciente.

Logaritmos y exponenciales: Log es estrictamente creciente | matematicasVisuales

Para valores pequeños de x, la pendiente es grande y crece sin cota al decrecer x hacia cero.

Logaritmos y exponenciales: La derivada de log crece sin cota al decrecer x hacia cero | matematicasVisuales

La curva tiene pendiente 1 cuando x=1. Para x > 1, la pendiente decrece gradualmente hacia cero al incrementar x indefinidamente.

Logaritmos y exponenciales: La pendiente de la recta tangente a la función log decrece hacia cero al incrementar x indefinidamente | matematicasVisuales

Ya que la derivada se hace cada vez más pequeña al crecer x, la función log crece cada vez más lentamente.

Logaritmos y exponenciales: Conforme x se hace más y más grande, la función log crece más lentamente | matematicasVisuales

No está claro si log está acotada o no. Podríamos suponer que los valores de log tienen una cota superior pero podemos probar que log no está acotada ni superior ni inferiormente. Ya que log es continua, toma todos los valores. Para cada número real a hay un número real positivo cuyo logaritmo es a.

Podemos definir la función inversa. El dominio de esta función inversa es todos los números reales. Esta función es muy importante y es la función exponencial.

Hay exactamente un número cuyo logaritmo natural es igual a 1. Este número es muy importante, como pi, y usamos un símbolo especial debido a Euler (1707-1783), e. Euler fue el primero en reconocer la importancia de este número.

Logarithms and exponentials: El número e como un área bajo la hipérbola equilátera | matematicasVisuales

REFERENCIAS

A. I. Markushevich, Areas and Logarithms, D.C. Heath and Company, 1963.
Serge Lang, A First Course in Calculus, Third Edition, Addison-Wesley Publishing Company.
Tom M. Apostol, Calculus, Second Edition, John Willey and Sons, Inc.
Michael Spivak, Calculus, Third Edition, Publish-or-Perish, Inc.
Otto Toeplitz, The Calculus, a genetic approach, The University of Chicago Press, 1963.
Kenneth A. Ross, Elementary Analysis: The Theory of Calculus, Springer-Verlag New York Inc., 1980.
C.H. Edwards, Jr., The Historical Development of the Calculus, Springer-Verlag New York Inc., 1979.

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