En esta página he seguido la exposición de Serge Lang (A First Course in Calculus, p. 182-184).
Después de definir la función logaritmo como una integral, y estudiar alguna de sus
propiedades vamos a aplicar la teoría de la inversa de una función. Ya que la función logaritmo natural es estrictamente creciente,
la función inversa está definida y la llamamos la función exponencial (o antilogaritmo), exp.
La gráfica de la función exponencial se obtiene a partir de la gráfica de la función logaritmo por reflexión respecto la diagonal del primer cuadrante (recta y=x).
Puesto que para cada número real x existe uno y solo un y tal que log(y)=x,
entonces el dominio de la función exponencial está formado por todos los números reales.
Las funciones logaritmo y exponencial son inversas, entonces
Cada propiedad del la función logaritmo se traduce en una propiedad de la función exponencial.
Podemos definir el número e como
Si recordamos la interpretación geométrica del logaritmo como un área bajo la curva 1/x, entonces
e es el número tal que el área bajo la hipérbola equilátera entre 1 y e es igual a 1.
Usando la propiedad de la función logaritmo no es difícil probar que
Entonces
Si usamos la teoría de la derivada de la función inversa, sabemos que la función exponencial (exp) es diferencial y
Definimos
Podemos reescribir las propiedades (y ver los logaritmos como exponentes):
Por definición, la derivada de la función exponencial es el límite de este cociente con h aproximándose hacia 0.
Ahora sabemos calcular este límite
"No hubiera sido fácil de obtener este resultado directamente" (Serge Lang, p.184)
REFERENCIAS
A. I. Markushevich, Areas and Logarithms, D.C. Heath and Company, 1963.
Serge Lang, A First Course in Calculus, Third Edition, Addison-Wesley Publishing Company.
Tom M. Apostol, Calculus, Second Edition, John Willey and Sons, Inc.
Michael Spivak, Calculus, Third Edition, Publish-or-Perish, Inc.
Otto Toeplitz, The Calculus, a genetic approach, The University of Chicago Press, 1963.
Kenneth A. Ross, Elementary Analysis: The Theory of Calculus, Springer-Verlag New York Inc., 1980.
MÁS ENLACES
Estudiamos varias propiedades de las funciones exponenciales, sus derivadas y una introducción al número e.
Integrando la hipérbola equilátera podemos definir una nueva función que es el logaritmo natural.
Hemos definido la función logaritmo como una integral de la hipérbola equilátera. Esta integral tiene una importante propiedad que nos permitirá usar los logaritmos para transformar multiplicaciones en sumas.
Usando los logaritmos podemos multiplicar dos números haciendo una suma: el logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
El número e se puede definir como áquel cuyo logaritmo es 1. Partiendo de esta definición podemos aproximar su valor.
Mercator publicó su famosa serie para la función logaritmo en 1668. Euler descubrió una serie práctica para el cálculo.
Las funciones exponenciales pueden modelar la desintegración radioactiva.
Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función exponencial en un intervalo más y más amplio.
La función exponencial compleja extiende la función exponencial real al plano complejo.
La función exponencial compleja es periodica. Su desarrollo de Taylor converge en todo el plano complejo.
El Teorema Fundamental del Cálculo afirma que toda función continua tiene una antiderivada y nos muestra cómo construir una usando la integral.
El Segundo Teorema Fundamental del Cálculo nos proporciona una herramienta muy potente para calcular integrales definidas (si conocemos una primitiva o antiderivada de la función).
Como una introducción a las funciones lineales a trozos estudiamos el caso más sencillo, las funciones lineales restringidas a un intervalo abierto: sus gráficas son segmentos.
Una función constante a trozos (o función escalonada) está definida por varias subfunciones que son funciones constantes.
Una función continua lineal a trozos se define con varios segmentos o rayos que están unidos de un modo continuo, sin saltos entre ellos.
La integral de las funciones potencia era conocida por Cavalieri para n=1 hasta n=9. Fermat, entre otros, fue capaz de resolver este problema. Su técnica es un buen ejemplo del uso de progresiones geométricas.
Si la derivada de F(x) es f(x) decimos que F es una antiderivada de f. También decimos que F es una primitiva o una integral indefinida de f.
La integral formaliza el concepto intuitivo de área. Para su definición aproximamos el área usando rectángulos.
Las funciones monótonas definidas en intervalos cerrados son interables. En estos casos podemos acotar el error que cometemos al aproximar la integral usando rectángulos.
Si consideramos el límite inferior de integración fijado y podemos calcular la integral definida para diferentes valores del límite superior de integración entonces podemos definir una nueva función: una integral indefinida de f.
Se trata de encontrar el polinomio de menor grado que pasa por una serie de puntos del plano. Es un problema de interpolación que aquí resolvemos usando los polinomios de Lagrange.
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