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En esta página he seguido la exposición de Serge Lang (A First Course in Calculus, p. 182-184).

Después de definir la función logaritmo como una integral, y estudiar alguna de sus propiedades vamos a aplicar la teoría de la inversa de una función. Ya que la función logaritmo natural es estrictamente creciente, la función inversa está definida y la llamamos la función exponencial (o antilogaritmo), exp.

Logaritmos y exponenciales:  | matematicasVisuales

La gráfica de la función exponencial se obtiene a partir de la gráfica de la función logaritmo por reflexión respecto la diagonal del primer cuadrante (recta y=x).

Logaritmos y exponenciales: La gráfica de la función exponencial se obtiene a partir de la gráfica de la función logaritmo por reflexión respecto la diagonal del primer cuadrante | matematicasVisuales

Puesto que para cada número real x existe uno y solo un y tal que log(y)=x, entonces el dominio de la función exponencial está formado por todos los números reales.

Las funciones logaritmo y exponencial son inversas, entonces

Cada propiedad del la función logaritmo se traduce en una propiedad de la función exponencial.

Podemos definir el número e como

Logaritmos y exponenciales:  | matematicasVisuales
Logaritmos y exponenciales: el número e | matematicasVisuales

Si recordamos la interpretación geométrica del logaritmo como un área bajo la curva 1/x, entonces e es el número tal que el área bajo la hipérbola equilátera entre 1 y e es igual a 1.

Logaritmos y exponenciales: El número e en relación con el área bajo la hipérbola equilátera | matematicasVisuales

Usando la propiedad de la función logaritmo no es difícil probar que

Logaritmos y exponenciales | matematicasVisuales

Entonces

Si usamos la teoría de la derivada de la función inversa, sabemos que la función exponencial (exp) es diferencial y

Logarithms and exponentials | matematicasVisuales
Logaritmos y exponenciales: derivative of the exponential function | matematicasVisuales

Definimos

Logarithms and exponentials | matematicasVisuales

Podemos reescribir las propiedades (y ver los logaritmos como exponentes):

Logarithms and exponentials | matematicasVisuales
Logarithms and exponentials | matematicasVisuales

Logarithms and exponentials | matematicasVisuales
Logarithms and exponentials | matematicasVisuales

Por definición, la derivada de la función exponencial es el límite de este cociente con h aproximándose hacia 0.

Logarithms and exponentials | matematicasVisuales

Ahora sabemos calcular este límite

"No hubiera sido fácil de obtener este resultado directamente" (Serge Lang, p.184)

La función exponencial se puede extender al plano complejo.

Podemos generar imágenes con muchos colores que representa esta función compleja:

Logaritmos y exponenciales: función exponencial compleja | matematicasVisuales
Logaritmos y exponenciales: función exponencial compleja | matematicasVisuales
Función exponencial compleja
La función exponencial compleja extiende la función exponencial real al plano complejo.
Polinomios de Taylor: función exponencial compleja
La función exponencial compleja es periodica. Su desarrollo de Taylor converge en todo el plano complejo.

REFERENCIAS

A. I. Markushevich, Areas and Logarithms, D.C. Heath and Company, 1963.
Serge Lang, A First Course in Calculus, Third Edition, Addison-Wesley Publishing Company.
Tom M. Apostol, Calculus, Second Edition, John Willey and Sons, Inc.
Michael Spivak, Calculus, Third Edition, Publish-or-Perish, Inc.
Otto Toeplitz, The Calculus, a genetic approach, The University of Chicago Press, 1963.
Kenneth A. Ross, Elementary Analysis: The Theory of Calculus, Springer-Verlag New York Inc., 1980.

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