Partimos de la definición de función logarítmica como una integral de la hipérbola equilátera.
Existe un número cuyo logaritmo es igual a 1. Esta es una de las definiciones del número e.
En el applet podemos ver dos aproximaciones a la función logaritmo. Para hacer estas aproximaciones usamos particiones con un número variable de rectángulos.
Usando más y más rectángulos podemos hacer aproximaciones tan precisas como queramos. Las bases de estos rectángulos son todas iguales.
Una de estas aproximaciones es por defecto y la otra es por exceso.
¿Cuántos rectángulos necesitamos para estar seguros de que log2 es menor que 1?
Es fácil ver que log4 es mayor que 1: 3 rectángulos son suficientes.
Entonces podemos decir que
¿Son suficientes 6 rectángulos para estar seguro de que log3 es mayor que 1?. No. Lo podemos ver usando la lupa.
Pero son suficientes 7 rectángulos para poder afirmarlo. Hay que hacer unas cuentas.
Entonces podemos decir que
Usando más y más rectángulos obtenemos mejores aproximaciones del valor de la integral y del número e.
El valor del número e es aproximadamente
Hay mejores maneras de calcular el valor de e pero éstos son buenos ejercicios para comprender su definición como una integral.
Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función exponencial en un intervalo más y más amplio.
REFERENCIAS
A. I. Markushevich, Areas and Logarithms, D.C. Heath and Company, 1963.
Serge Lang, A First Course in Calculus, Third Edition, Addison-Wesley Publishing Company.
Tom M. Apostol, Calculus, Second Edition, John Willey and Sons, Inc.
Michael Spivak, Calculus, Third Edition, Publish-or-Perish, Inc.
Otto Toeplitz, The Calculus, a genetic approach, The University of Chicago Press, 1963.
Kenneth A. Ross, Elementary Analysis: The Theory of Calculus, Springer-Verlag New York Inc., 1980.
MÁS ENLACES
Estudiamos varias propiedades de las funciones exponenciales, sus derivadas y una introducción al número e.
Integrando la hipérbola equilátera podemos definir una nueva función que es el logaritmo natural.
Hemos definido la función logaritmo como una integral de la hipérbola equilátera. Esta integral tiene una importante propiedad que nos permitirá usar los logaritmos para transformar multiplicaciones en sumas.
Partiendo de la definición de logaritmo podemos definir la exponencial como su inversa.
Diferentes hipérbolas permiten definir logaritmos y exponenciales (sus inversas).
Mercator publicó su famosa serie para la función logaritmo en 1668. Euler descubrió una serie práctica para el cálculo.
Las funciones exponenciales pueden modelar la desintegración radioactiva.
Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función exponencial en un intervalo más y más amplio.
La función exponencial compleja extiende la función exponencial real al plano complejo.
La función exponencial compleja es periodica. Su desarrollo de Taylor converge en todo el plano complejo.
El Teorema Fundamental del Cálculo afirma que toda función continua tiene una antiderivada y nos muestra cómo construir una usando la integral.
El Segundo Teorema Fundamental del Cálculo nos proporciona una herramienta muy potente para calcular integrales definidas (si conocemos una primitiva o antiderivada de la función).
Como una introducción a las funciones lineales a trozos estudiamos el caso más sencillo, las funciones lineales restringidas a un intervalo abierto: sus gráficas son segmentos.
Una función constante a trozos (o función escalonada) está definida por varias subfunciones que son funciones constantes.
Una función continua lineal a trozos se define con varios segmentos o rayos que están unidos de un modo continuo, sin saltos entre ellos.
La integral de las funciones potencia era conocida por Cavalieri para n=1 hasta n=9. Fermat, entre otros, fue capaz de resolver este problema. Su técnica es un buen ejemplo del uso de progresiones geométricas.
Si la derivada de F(x) es f(x) decimos que F es una antiderivada de f. También decimos que F es una primitiva o una integral indefinida de f.
La integral formaliza el concepto intuitivo de área. Para su definición aproximamos el área usando rectángulos.
Las funciones monótonas definidas en intervalos cerrados son interables. En estos casos podemos acotar el error que cometemos al aproximar la integral usando rectángulos.
Si consideramos el límite inferior de integración fijado y podemos calcular la integral definida para diferentes valores del límite superior de integración entonces podemos definir una nueva función: una integral indefinida de f.
Se trata de encontrar el polinomio de menor grado que pasa por una serie de puntos del plano. Es un problema de interpolación que aquí resolvemos usando los polinomios de Lagrange.
SIGUIENTE
ANTERIOR
