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Partimos de la definición de función logarítmica como una integral de la hipérbola equilátera. Existe un número cuyo logaritmo es igual a 1. Esta es una de las definiciones del número e.

Logaritmos y exponenciales: Definición del número e como una integral, log(e) = 1 | matematicasVisuales

En el applet podemos ver dos aproximaciones a la función logaritmo. Para hacer estas aproximaciones usamos particiones con un número variable de rectángulos. Usando más y más rectángulos podemos hacer aproximaciones tan precisas como queramos. Las bases de estos rectángulos son todas iguales. Una de estas aproximaciones es por defecto y la otra es por exceso.

¿Cuántos rectángulos necesitamos para estar seguros de que log2 es menor que 1?

Logaritmos y exponenciales: log2 es menor que 1, aproximación por rectángulos | matematicasVisuales

Es fácil ver que log4 es mayor que 1: 3 rectángulos son suficientes.

Logaritmos y exponenciales: log4 mayor que 1, aproximación por rectángulos | matematicasVisuales

Entonces podemos decir que

Logaritmos y exponenciales: el valor del número e está entre 2 y 4 | matematicasVisuales

¿Son suficientes 6 rectángulos para estar seguro de que log3 es mayor que 1?. No. Lo podemos ver usando la lupa.

Pero son suficientes 7 rectángulos para poder afirmarlo. Hay que hacer unas cuentas.

Logaritmos y exponenciales: 7 rectángulos son suficientes para poder afirmar que e está entre 2 y 3 | matematicasVisuales

Entonces podemos decir que

Logaritmos y exponenciales: el valor del número e está entre 2 y 3 | matematicasVisuales

Usando más y más rectángulos obtenemos mejores aproximaciones del valor de la integral y del número e.

Logaritmos y exponenciales: mejores aproximaciones del número e usando más y más rectángulos | matematicasVisuales

El valor del número e es aproximadamente

Logaritmos y exponenciales: valor aproximado del número e | matematicasVisuales

Hay mejores maneras de calcular el valor de e pero éstos son buenos ejercicios para comprender su definición como una integral.

Polinomios de Taylor (1): función exponencial
Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función exponencial en un intervalo más y más amplio.

REFERENCIAS

A. I. Markushevich, Areas and Logarithms, D.C. Heath and Company, 1963.
Serge Lang, A First Course in Calculus, Third Edition, Addison-Wesley Publishing Company.
Tom M. Apostol, Calculus, Second Edition, John Willey and Sons, Inc.
Michael Spivak, Calculus, Third Edition, Publish-or-Perish, Inc.
Otto Toeplitz, The Calculus, a genetic approach, The University of Chicago Press, 1963.
Kenneth A. Ross, Elementary Analysis: The Theory of Calculus, Springer-Verlag New York Inc., 1980.

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