La función exponencial compleja es una función compleja que podemos definir como una serie de potencias y que extiende
la función exponencial real a valores complejos.
La función exponencial compleja es periódica con periodo 
.
Esta serie converge en todo el plano complejo. Entonces el valor de la función se puede aproximar por una suma parcial (polinomio),
y tomando un grado suficientemente grande podemos hacer la aproximación tan precisa como queramos.
Lo podemos ver si nos fijamos en el Resto (la diferencia entre la función y el polinomio).
Por ejemplo, esto es un polinomio de aproximación de grado 6:
Y esta es una representación del resto. La aproximación es buena pero solo cerca del centro:
Podemos ver como mejora la aproximación cuando el polinomio es de grado 40:
Éste es el resto:
El comportamiento de la serie de potencias de la función exponencial compleja es muy bueno porque la serie convege en todo el plano.
Podemos ver un comportamiento semejante estudiando la función coseno compleja.
MÁS ENLACES
Las potencias de exponente natural tienen un cero de multiplicidad n.
Un polinomio de grado 2 tiene dos raíces o ceros. En esta representación podemos ver los óvalos de Cassini y la lemniscata.
Un polinomio de grado 3 tiene tres ceros o raíces. Podemos modificar los tres ceros de este tipo de polinomios.
Un polinomio de grado n tiene n ceros o raíces.
Podemos controlar qué partes del plano complejo se muestran con colores.
Podemos modificar las multiplicidades del cero y del polo de estas funciones sencillas.
Tenemos más control sobre qué partes del plano complejo se representa con colores.
La función exponencial compleja extiende la función exponencial real al plano complejo.
La función coseno compleja extiende la función real al plano complejo. Es una función periódica que comparte varias propiedades con la función real.
La función coseno compleja transforma rectas horizontales en elipses cofocales.
El concepto de función puede extenderse permitiendo que f(z) tenga diferentes valores para un valor z. En este caso decimos que f es una función multivaluada o multifunción.
La inversión es una transformación del plano que transforma rectas y circunferencias en rectas y circunferencias.
La inversión preserva la magnitud de los ángulos pero invierte el sentido. Circunferencias ortogonales se transforman en circunferencias ortogonales
Una multifunción puede tener más de un punto de ramificación. La multifunción considerada en esta página tiene dos valores y dos puntos de ramificación.
Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función exponencial en un intervalo más y más amplio.
Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función seno en un intervalo más y más amplio.
La función no está definida para valores menores que -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.
La función tiene una singularidad en -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.
La función tiene una singularidad en -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.
La función tiene dos singularidades reales, en -1 y en 1. Los polinomios de Taylor aproximan la función entre en un intervalo simétrico respecto al centro del desarrollo. Su radio es la distancia a la singulardidad más próxima.
SIGUIENTE
ANTERIOR
