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La función exponencial compleja es una función compleja que podemos definir como una serie de potencias y que extiende la función exponencial real a valores complejos.

Polinomios de Taylor Complejos: Función Exponencial. | matematicasVisuales

La función exponencial compleja es periódica con periodo .

Esta serie converge en todo el plano complejo. Entonces el valor de la función se puede aproximar por una suma parcial (polinomio), y tomando un grado suficientemente grande podemos hacer la aproximación tan precisa como queramos.

Lo podemos ver si nos fijamos en el Resto (la diferencia entre la función y el polinomio).

Por ejemplo, esto es un polinomio de aproximación de grado 6:

Polinomios de Taylor Complejos: Función Exponencial. Polinomio de Taylor de grado 6 | matematicasVisuales

Y esta es una representación del resto. La aproximación es buena pero solo cerca del centro:

Polinomios de Taylor Complejos: Función Exponencial. Resto del polinomio de grado 6| matematicasVisuales

Podemos ver como mejora la aproximación cuando el polinomio es de grado 40:

Polinomios de Taylor Complejos: Función Exponencial. Polinomio de Taylor de grado 40 | matematicasVisuales

Éste es el resto:

Complex Taylor polynomials: Resto del polinomio de grado 40 | matematicasVisuales

El comportamiento de la serie de potencias de la función exponencial compleja es muy bueno porque la serie convege en todo el plano. Podemos ver un comportamiento semejante estudiando la función coseno compleja.

REFERENCIAS

Tristan Needham - Visual Complex Analysis. (pag. 80) - Oxford University Press

ENLACES

Función exponencial compleja
La función exponencial compleja extiende la función exponencial real al plano complejo.
Polinomios de Taylor (1): función exponencial
Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función exponencial en un intervalo más y más amplio.
Exponenciales y Logaritmos (7): La exponencial como inversa del logaritmo
Partiendo de la definición de logaritmo podemos definir la exponencial como su inversa.
Polinomios de Taylor: función coseno compleja
La función coseno compleja tiene un desarrollo de Taylor que converge en todo el plano complejo.
Polinomios de Taylor: función racional compleja con 2 singularidades
Podemos estudiar la aproximación a esta función por el polinomio de Taylor y su convergencia en el círculo de convergencia.
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