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Como en el cso de la función exponencial, las parábolas osculatices (los polinomios de Taylor de grados cada vez mayores) nos dan aproximaciones en un intervalo cada vez mayor. Las parábolas hacen el esfuerzo de compartir con la función seno más y más oscilaciones. (Felix Klein)

Polinomio de Taylor: función seno. Tangente | matematicasVisuales
Polinomio de Taylor: función seno. Polynomio de Taylor de grado 3 | matematicasVisuales
Polinomio de Taylor: función seno.  Resto | matematicasVisuales
Polinomio de Taylor: función seno.  Mejor aproximación con un polinomio de Taylor | matematicasVisuales

La serie de Taylor de la función seno en x = 0 es:

Decimos que la función seno es una función impar porque en su serie de potencias (y en los polinomios de Taylor centrados en el origen) los únicos terminos son los de exponente impar.

Podemos cambiar el centro del desarrollo de Taylor y ver que el comportamiento de la aproximación es igualmente bueno.

Polinomio de Taylor: función seno. Podemos cambiar el centro del desarrollo de Taylor | matematicasVisuales

El comportameinto de esta serie de potencias es muy bueno. Decimos que la serie infinita de la función seno converge para todos los valores de x.

Este no puede ser el caso para todas las funciones. Por ejemplo, ¿qué ocurrirá si algunos valores no pertenecen al dominio de la función? Podemos estudiar un ejemplo sencillo: Polinomios de Taylor (3): raíz cuadrada.

REFERENCIAS

Felix Klein - Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint. Arithmetic, Algebra, Analysis (pags. 223-228) - Dover Publications

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Polinomios de Taylor (3): raíz cuadrada
La función no está definida para valores menores que -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.

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Polinomios de Taylor (1): función exponencial
Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función exponencial en un intervalo más y más amplio.

MÁS ENLACES

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