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La función racional

es, al igual que el ejemplo de la raíz cuadrada, un caso especial del Teorema del Binomio de Newton. Podemos calcular su serie de Taylor en x = 0 sencillamente.

Esta función tiene una singularidad en el punto x = -1. La aproximación es buena entre -1 y +1. Una vez más encontramos una aproximación útil que está centrada en el origen.

Polinomios de Taylor: Función racional. Círculo de convergencia | matematicasVisuales

En el punto x = +1 sus ordenadas son alternativamente iguales a 1 y a 0, mientras que la curva original tiene un valor de 1/2.

Polinomios de Taylor: Función racional. Comportamiento en  x = 1 | matematicasVisuales
Polinomios de Taylor: Función racional. Comportamiento en  x = 1 | matematicasVisuales

Podemos comparar este comportamiento con el otra función racional: Polinomios de Taylor (5): función racional 2.

REFERENCIAS

Felix Klein - Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint. Arithmetic, Algebra, Analysis (pags. 223-228) - Dover Publications

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Polinomios de Taylor (5): función racional 2
La función tiene una singularidad en -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.

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Polinomios de Taylor (3): raíz cuadrada
La función no está definida para valores menores que -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.

MÁS ENLACES

Polinomios de Taylor (6): función racional con 2 singularidades
La función tiene dos singularidades reales, en -1 y en 1. Los polinomios de Taylor aproximan la función entre en un intervalo simétrico respecto al centro del desarrollo. Su radio es la distancia a la singulardidad más próxima.
Polinomios de Taylor (7): función racional sin singularidades reales
La función es continua y no tiene singularidades reales. Sin embargo, los polinomios de Taylor sólo aproximan la función en un intervalo. Entenderemos un poco mejor este comportamiento estudiando una función compleja.
Mercator y Euler: La función logaritmo
Mercator publicó su famosa serie para la función logaritmo en 1668. Euler descubrió una serie práctica para el cálculo.
Polinomios de Taylor: función racional compleja con 2 singularidades
Podemos estudiar la aproximación a esta función por el polinomio de Taylor y su convergencia en el círculo de convergencia.
Polinomios de Taylor (1): función exponencial
Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función exponencial en un intervalo más y más amplio.
Polinomios de Taylor (2): función seno
Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función seno en un intervalo más y más amplio.
Funciones polinómicas y derivada (1): Funciones afines
La derivada de una función lineal es la función constante cuyo valor es la pendiente de la recta.
Funciones polinómicas y derivada (2): Funciones cuadráticas
La derivada de una función cuadrática es una función afín, es decir, es una línea recta.
Funciones polinómicas y derivada (3): Funciones cúbicas
La derivada de una función cúbica es una función cuadráticas, es decir, una parábola
Funciones polinómicas y derivada (4): Polinomios de Lagrange (funciones polinómicas en general)
Los polinomios de Lagrange son polinomios que pasan por n puntos dados. Usamos los polinomios de Lagrange para explorar funciones polinómicas más generales y sus derivadas.