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Vamos a estudiar la función compleja

Nos ayudará a comprender el comportamiento de la serie de Taylor de una función real que no tiene singularidades reales. Esta función real coincide con la función compleja en el eje real:

La función real no tiene singularidades pero en el plano complejo tiene dos singularidades, en z = i y en z = -i.

Polinomios de Taylor complejos: función racional con dos singularidades complejas  | matematicasVisuales

Si consideramos la serie de potencias compleja centrada en algún punto, existe un círculo centrado en ese punto tal que la serie converge en todos los puntos del interior del círculo y diverge fuera de ese círculo. Vamos a ver que el radio de convergencia es la distancia desde el centro a la singularidad más próxima.

Es muy importante el hecho de que si la serie de potencias converge en un punto, entonces su valor puede aproximarse por una suma parcial (polinomio), y considerando un grado suficientemente grande podemos hacer la aproximación tan precisa como queramos. (Tristan Needham)

Por ejemplo, esta es la representación del polinomio de Taylor de grado 6:

Polinomios de Taylor complejos: función racional con dos singularidades complejas. Polinomio de Taylor de grado 6  | matematicasVisuales

El Resto es la diferencia entre la función y el polinomio. Un color claro, casi blanco, indica que el módulo es pequeño. Conforme incrementamos el grado del polinomio el área blanca se aproxima al círculo de convergencia.

Esta es una representación del resto cuando consideramos el polinomio de Taylor de grado 6. La aproximación es muy precisa cerca del centro:

Polinomios de Taylor complejos: función racional con dos singularidades complejas. Resto del Polinomio de Taylor de grado 6 | matematicasVisuales

La aproximación es mejor cuando consideramos el polinomio de grado 50:

Polinomios de Taylor complejos: función racional con dos singularidades complejas. Polinomio de Taylor de grado 50 | matematicasVisuales
Polinomios de Taylor complejos: función racional con dos singularidades complejas. Resto del Polinomio de Taylor de grado 50 | matematicasVisuales

Si restringimos nuestra visión al círculo de convergencia podemos ver cómo estos polinomios aproximan la función dentro del círculo de convergencia.

Esta es una representación del polinomio de Taylor de grado 50 sólo dentro del círculo de convergencia:

Polinomios de Taylor complejos: función racional con dos singularidades complejas. Polinomio de Taylor de grado 50 restringido al interior del círculo de convergencia | matematicasVisuales

Y esta es una representación de la función restringida al mismo círculo. Podemos ver que la imagen de arriba es semejante a esta.

Polinomios de Taylor complejos: función racional con dos singularidades complejas. Función restringida al interior del círculo de convergencia | matematicasVisuales

Otro ejemplo, cuando el polinomio de Taylor tiene sólo grado 15:

Polinomios de Taylor complejos: función racional con dos singularidades complejas. Polinomio de Taylor de grado 15 | matematicasVisuales

El mismo polinomio pero restringido al interior del círculo de convergencia:

Polinomios de Taylor complejos: función racional con dos singularidades complejas. Polinomio de Taylor de grado 15 restringido al interior del círculo de convergencia | matematicasVisuales

Y la función restringida al mismo círculo:

Polinomios de Taylor complejos: función racional con dos singularidades complejas. Función restringida al interior del círculo de convergencia | matematicasVisuales

Dentro del círculo de convergencia la función y la aproximación son semejante pero fuera pueden ser muy diferentes.

REFERENCIAS

Tristan Needham - Visual Complex Analysis. (pags. 64-77) - Oxford University Press

ENLACES

Polinomios de Taylor: función exponencial compleja
La función exponencial compleja es periodica. Su desarrollo de Taylor converge en todo el plano complejo.
Polinomios de Taylor: función coseno compleja
La función coseno compleja tiene un desarrollo de Taylor que converge en todo el plano complejo.
Polinomios de Taylor (7): función racional sin singularidades reales
La función es continua y no tiene singularidades reales. Sin embargo, los polinomios de Taylor sólo aproximan la función en un intervalo. Entenderemos un poco mejor este comportamiento estudiando una función compleja.
Polinomios de Taylor (1): función exponencial
Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función exponencial en un intervalo más y más amplio.
Polinomios de Taylor (2): función seno
Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función seno en un intervalo más y más amplio.
Polinomios de Taylor (3): raíz cuadrada
La función no está definida para valores menores que -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.
Polinomios de Taylor (4): función racional 1
La función tiene una singularidad en -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.
Polinomios de Taylor (5): función racional 2
La función tiene una singularidad en -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.
Polinomios de Taylor (6): función racional con 2 singularidades
La función tiene dos singularidades reales, en -1 y en 1. Los polinomios de Taylor aproximan la función entre en un intervalo simétrico respecto al centro del desarrollo. Su radio es la distancia a la singulardidad más próxima.
Más sobre funciones complejas
Ejemplos de funciones complejas: polinómicas, transformaciones de Moebius, etc.