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La función exponencial compleja es la función que podemos definir como la serie de potencias que extiende la función exponencial real al plano complejo.

Esta serie converge en todo el plano complejo.

En esta página intentamos mostrar la naturaleza geométrica de esta función:

La función exponencial verifica:

La función exponencial es periódica con periodo.

La función exponencial es periódica con periodo 2 pi | matematicasvisuales

Cualquier banda horizontal del plano complejo de altura se transforma en todo el plano complejo (con la excepción del origen).

Cualquier banda del plano complejo de altura 2 pi se transforma en todo el plano excepto el origen | matematicasvisuales

Una recta se transforma en una espiral (o en una recta o en una circunferencia).

Una recta se transforma en una espiral (o en una recta o en una circunferencia) | matematicasvisuales

La fórmula de Euler

puede interpretarse como que la función exponencial enrolla el eje imaginario alrededor de la circunferencia unidad (Tristan Needham).

La formula de Euler puede interpretarse como que la función exponencial enrolla el eje imaginario alrededor de la circunferencia unidad (Tristan Needham) | matematicasvisuales

El semiplano a la izquierda del eje imaginario se mapea en el interior del círculo unidad, y el semiplano a la derecha del eje imaginario se mapea al exterior del círculo unidad.

El semiplano a la izquierda del eje imaginario se mapea en el interior del círculo unidad, y el  semiplano a la derecha del eje imaginario se mapea al exterior del círculo unidad | matematicasvisuales

Las imágenes de cuadrados pequeños se asemejan a cuadrados y (en relación con esto) dos rectas que se intersectan se mapean en curvas que se intersectan con el mismo ángulo (Tristan Needham).

REFERENCIAS

Tristan Needham - Visual Complex Analysis. (pags. 64-77) - Oxford University Press

ENLACES

Polinomios de Taylor: función exponencial compleja
La función exponencial compleja es periodica. Su desarrollo de Taylor converge en todo el plano complejo.
La función coseno compleja
La función coseno compleja extiende la función real al plano complejo. Es una función periódica que comparte varias propiedades con la función real.
La función coseno compleja: transformación de una recta horizontal
La función coseno compleja transforma rectas horizontales en elipses cofocales.
Exponenciales y Logaritmos (7): La exponencial como inversa del logaritmo
Partiendo de la definición de logaritmo podemos definir la exponencial como su inversa.
Exponenciales y Logaritmos (1): Funciones exponenciales
Estudiamos varias propiedades de las funciones exponenciales, sus derivadas y una introducción al número e.
Polinomios de Taylor (1): función exponencial
Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función exponencial en un intervalo más y más amplio.
Inversión
La inversión es una transformación del plano que transforma rectas y circunferencias en rectas y circunferencias.
Multifunciones: Potencias con exponente fraccionario
El concepto de función puede extenderse permitiendo que f(z) tenga diferentes valores para un valor z. En este caso decimos que f es una función multivaluada o multifunción.
Más sobre funciones complejas
Ejemplos de funciones complejas: polinómicas, transformaciones de Moebius, etc.