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Función Exponencial Compleja
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La función exponencial compleja es la función que podemos definir como la serie de potencias que extiende la función exponencial real al plano complejo. ![]() Esta serie converge en todo el plano complejo. En esta página intentamos mostrar la naturaleza geométrica de esta función: ![]() La función exponencial verifica: ![]() ![]()
La función exponencial es periódica con periodo ![]()
Cualquier banda horizontal del plano complejo de altura ![]() Una recta se transforma en una espiral (o en una recta o en una circunferencia). ![]() La fórmula de Euler ![]() puede interpretarse como que la función exponencial enrolla el eje imaginario alrededor de la circunferencia unidad (Tristan Needham). ![]() El semiplano a la izquierda del eje imaginario se mapea en el interior del círculo unidad, y el semiplano a la derecha del eje imaginario se mapea al exterior del círculo unidad. ![]() Las imágenes de cuadrados pequeños se asemejan a cuadrados y (en relación con esto) dos rectas que se intersectan se mapean en curvas que se intersectan con el mismo ángulo (Tristan Needham).
REFERENCIAS
Tristan Needham - Visual Complex Analysis. (pags. 64-77) - Oxford University Press
MÁS ENLACES ![]()
Un polinomio de grado 2 tiene dos raíces o ceros. En esta representación podemos ver los óvalos de Cassini y la lemniscata.
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Un polinomio de grado 3 tiene tres ceros o raíces. Podemos modificar los tres ceros de este tipo de polinomios.
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La inversión es una transformación del plano que transforma rectas y circunferencias en rectas y circunferencias.
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La inversión preserva la magnitud de los ángulos pero invierte el sentido. Circunferencias ortogonales se transforman en circunferencias ortogonales
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El concepto de función puede extenderse permitiendo que f(z) tenga diferentes valores para un valor z. En este caso decimos que f es una función multivaluada o multifunción.
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Una multifunción puede tener más de un punto de ramificación. La multifunción considerada en esta página tiene dos valores y dos puntos de ramificación.
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La función exponencial compleja es periodica. Su desarrollo de Taylor converge en todo el plano complejo.
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Podemos estudiar la aproximación a esta función por el polinomio de Taylor y su convergencia en el círculo de convergencia.
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Estudiamos varias propiedades de las funciones exponenciales, sus derivadas y una introducción al número e.
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