matematicas visuales home | visual math home

La función coseno real puede extenderse al plano complejo usando la función exponencial:

Polinomio de Taylor complejo: función coseno.  | matematicasVisuales

Como serie de potencias esta definición es equilavente a:

Esta serie converge en todo el plano complejo.

Si incrementamos el grado del polinomio de Taylor, este polinomio aproxima a la función más y mas. Lo podemos ver si miramos el Resto (la diferencia entre la función y el polinomio).

Por ejemplo, esta es la representación del polinomio de Taylor de grado 5 (En el applet, podemos modificar no solo el grado sino también el centro):

Polinomio de Taylor complejo: función coseno. Polinomio de Taylor de grado 5| matematicasVisuales

Y este es el resto. Podemos ver que la aproximación es mucho mejor cerca del centro:

Polinomio de Taylor complejo: función coseno.  Resto del polinomio de grado 5 | matematicasVisuales

Si aumentamos el grado del polinomio, la aproximación es mejor (grado 10):

Polinomio de Taylor complejo: función coseno. Polinomio de Taylor de grado 10 | matematicasVisuales

La zona donde la aproximación es buena es mucho mayor:

Polinomio de Taylor complejo: función coseno. Resto del polinomio de grado 10 | matematicasVisuales

La función coseno compleja es periódica con periodo .

Polinomio de Taylor complejo: función coseno es periódica con periodo 2*pi| matematicasVisuales

REFERENCIAS

Tristan Needham - Visual Complex Analysis. (pags. 84) - Oxford University Press

ENLACES

La función coseno compleja
La función coseno compleja extiende la función real al plano complejo. Es una función periódica que comparte varias propiedades con la función real.
La función coseno compleja: transformación de una recta horizontal
La función coseno compleja transforma rectas horizontales en elipses cofocales.
Polinomios de Taylor (2): función seno
Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función seno en un intervalo más y más amplio.
Polinomios de Taylor: función exponencial compleja
La función exponencial compleja es periodica. Su desarrollo de Taylor converge en todo el plano complejo.
Polinomios de Taylor (1): función exponencial
Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función exponencial en un intervalo más y más amplio.
Polinomios de Taylor: función racional compleja con 2 singularidades
Podemos estudiar la aproximación a esta función por el polinomio de Taylor y su convergencia en el círculo de convergencia.
Más sobre funciones complejas
Ejemplos de funciones complejas: polinómicas, transformaciones de Moebius, etc.