La función coseno real puede extenderse al plano complejo usando la función exponencial:
Como serie de potencias esta definición es equilavente a:
Esta serie converge en todo el plano complejo.
Si incrementamos el grado del polinomio de Taylor, este polinomio aproxima a la función más y mas.
Lo podemos ver si miramos el Resto (la diferencia entre la función y el polinomio).
Por ejemplo, esta es la representación del polinomio de Taylor de grado 5 (En el applet, podemos modificar no solo el grado sino también el centro):
Y este es el resto. Podemos ver que la aproximación es mucho mejor cerca del centro:
Si aumentamos el grado del polinomio, la aproximación es mejor (grado 10):
La zona donde la aproximación es buena es mucho mayor:
La función coseno compleja es periódica con periodo 
.
MÁS ENLACES
Las potencias de exponente natural tienen un cero de multiplicidad n.
Un polinomio de grado 2 tiene dos raíces o ceros. En esta representación podemos ver los óvalos de Cassini y la lemniscata.
Un polinomio de grado 3 tiene tres ceros o raíces. Podemos modificar los tres ceros de este tipo de polinomios.
Un polinomio de grado n tiene n ceros o raíces.
Podemos controlar qué partes del plano complejo se muestran con colores.
Podemos modificar las multiplicidades del cero y del polo de estas funciones sencillas.
Tenemos más control sobre qué partes del plano complejo se representa con colores.
La función exponencial compleja extiende la función exponencial real al plano complejo.
La función coseno compleja extiende la función real al plano complejo. Es una función periódica que comparte varias propiedades con la función real.
La función coseno compleja transforma rectas horizontales en elipses cofocales.
El concepto de función puede extenderse permitiendo que f(z) tenga diferentes valores para un valor z. En este caso decimos que f es una función multivaluada o multifunción.
La inversión es una transformación del plano que transforma rectas y circunferencias en rectas y circunferencias.
La inversión preserva la magnitud de los ángulos pero invierte el sentido. Circunferencias ortogonales se transforman en circunferencias ortogonales
Podemos estudiar la aproximación a esta función por el polinomio de Taylor y su convergencia en el círculo de convergencia.
Una multifunción puede tener más de un punto de ramificación. La multifunción considerada en esta página tiene dos valores y dos puntos de ramificación.
Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función exponencial en un intervalo más y más amplio.
Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función seno en un intervalo más y más amplio.
La función no está definida para valores menores que -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.
La función tiene una singularidad en -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.
La función tiene una singularidad en -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.
La función tiene dos singularidades reales, en -1 y en 1. Los polinomios de Taylor aproximan la función entre en un intervalo simétrico respecto al centro del desarrollo. Su radio es la distancia a la singulardidad más próxima.
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