Funciones complejas (5): Polinomio de grado n (variante)
Para representar funciones complejas puede ser conveniente utilizar algún tipo de escalado.
Se ha añadido sobre el vídeo de la función polinómica el control sobre qué partes del plano complejo se muestran con colores.
Por ejemplo, en esta representación de un polinomio de grado 7 con dos raices simples, una doble y una triple, están coloreados solamente los puntos cuyos transformados tienen módulo entre 1 y 10:
REFERENCIAS
Tristan Needham - Visual Complex Analysis. Oxford University Press.
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Un polinomio de grado n tiene n ceros o raíces.
MÁS ENLACES
Las potencias de exponente natural tienen un cero de multiplicidad n.
Un polinomio de grado 2 tiene dos raíces o ceros. En esta representación podemos ver los óvalos de Cassini y la lemniscata.
Un polinomio de grado 3 tiene tres ceros o raíces. Podemos modificar los tres ceros de este tipo de polinomios.
Dos puntos determinan una línea recta. Como función son las funciones afines. Estudiaremos la pendiente de la recta y como podemos obtener la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Estudiaremos el corte con el eje de abcisas.
Las funciones cuadráticas son polinomios de grado 2. Sus gráficas son parábolas. Para encontrar los puntos de corte con el eje de abcisas tenemos que resolver una ecuación. El vértice de la parábola es un máximo o mínimo de la función.
Las funciones cúbicas son polinomios de grado 3. Una función cúbica real siempre corta al eje de abcisas por lo menos una vez.
Se trata de encontrar el polinomio de menor grado que pasa por una serie de puntos del plano. Es un problema de interpolación que aquí resolvemos usando los polinomios de Lagrange.
Tenemos más control sobre qué partes del plano complejo se representa con colores.
Una primera aproximación a estas transformaciones. Representación de dos haces coaxiales de circunferencias ortogonales.
La función exponencial compleja extiende la función exponencial real al plano complejo.
La función coseno compleja extiende la función real al plano complejo. Es una función periódica que comparte varias propiedades con la función real.
La función coseno compleja transforma rectas horizontales en elipses cofocales.
La inversión es una transformación del plano que transforma rectas y circunferencias en rectas y circunferencias.
La inversión preserva la magnitud de los ángulos pero invierte el sentido. Circunferencias ortogonales se transforman en circunferencias ortogonales
El concepto de función puede extenderse permitiendo que f(z) tenga diferentes valores para un valor z. En este caso decimos que f es una función multivaluada o multifunción.
Una multifunción puede tener más de un punto de ramificación. La multifunción considerada en esta página tiene dos valores y dos puntos de ramificación.
La función exponencial compleja es periodica. Su desarrollo de Taylor converge en todo el plano complejo.
La función coseno compleja tiene un desarrollo de Taylor que converge en todo el plano complejo.
Podemos estudiar la aproximación a esta función por el polinomio de Taylor y su convergencia en el círculo de convergencia.