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La inversión en una circunferencia es una transformación de los puntos del plano (excepto un punto). A la circunferencia la llamamos circunferencia de inversión. Consideraremos una circunferencia C de radio r y centro el punto q. El centro de la circunferencia de inversión (centro de inversión) no tiene imagen.

Si el centro de la circunferencia de inversión es el origen y el radio es 1 esta transformación tiene una fórmula simple:

En el caso general, la inversión viene determinada por:

Los puntos de la circunferencia de inversión se transforman en ellos mismos y cada punto de dentro de la circunferencia se transforma en un punto de fuera (y viceversa). Cada punto, su imagen y el centro de la circunferencia están en la misma recta. A veces, nos referimos a la inversión como reflexión en una circunferencia.

Cada recta que pasa por el centro de inversión se transforma en ella misma.

Cada recta que pasa por el centro de inversión se transforma en ella misma | matematicasvisuales

Cada recta que no pasa por el centro de inversión se transforma en una circunferencia que pasa por el centro de inversión.

Cada recta que no pasa por el centro de inversión se transforma en una circunferencia que pasa por el centro de inversión | matematicasvisuales

El inverso de una circunferencia es una recta o una circunferencia. Si la circunferencia pasa por el centro de inversión, su inversa es una recta que no pasa por el centro de inversión.

Si una circunferencia pasa por el centro de inversión, su inversa es una recta que no pasa por el centro de inversión | matematicasvisuales

La imagen de una circunferencia que no pasa por el centro de inversión es otra circunferencia que no pasa por el centro de inversión.

La imagen de una circunferencia que no pasa por el centro de inversión es otra circunferencia que no pasa por el centro de inversión | matematicasvisuales

REFERENCIAS

Hilber and Cohn-Vossen - Geometry and the Imagination (pag. 253) - Chelsea Publishing Company
Coxeter - Fundamentos de Geometría - Ed. Limusa
Pedoe - Circles, a Mathematical View - Dover
Tristan Needham - Visual Complex Analysis. (pag. 124) - Oxford University Press
Rademacher and Toeplitz - Números y Figuras - Alianza Editorial
Ogilvy - Excursions in Geometry (pag. 24)- Oxford University Press

ENLACES

Inversion: una transformación anticonforme
La inversión preserva la magnitud de los ángulos pero invierte el sentido. Circunferencias ortogonales se transforman en circunferencias ortogonales
Transformaciones de Moebius
Una primera aproximación a estas transformaciones. Representación de dos haces coaxiales de circunferencias ortogonales.
Función exponencial compleja
La función exponencial compleja extiende la función exponencial real al plano complejo.
La función coseno compleja
La función coseno compleja extiende la función real al plano complejo. Es una función periódica que comparte varias propiedades con la función real.
La función coseno compleja: transformación de una recta horizontal
La función coseno compleja transforma rectas horizontales en elipses cofocales.
Más sobre funciones complejas
Ejemplos de funciones complejas: polinómicas, transformaciones de Moebius, etc.
Multifunciones: Potencias con exponente fraccionario
El concepto de función puede extenderse permitiendo que f(z) tenga diferentes valores para un valor z. En este caso decimos que f es una función multivaluada o multifunción.